3341

6Ct 6 ( 0,5) 2 6 м/с2 .

10

Знак šминусŸ показывает, что в момент времени t 2 c направление вектора скорости не совпадает с положительным направлением оси X .

Ускорение

аx d x

dt

Знак šминусŸ в этом случае указывает на то, что в заданный момент времени векторы скорости и ускорения имеют противоположное направление.

	Средняя скорость (модуль вектора средней скорости)*
				х		x(t) x(0)			0
						t
(обратите внимание на различие x и								х ).
	Среднее ускорение				(t) (0)
			ах				3 м/с2
						t
(обратите внимание на то, что аx и							ах		также отличаются друг от
друга).									аx 6 м/с2 ;
	Ответ:		x 4 м ;	x 4 м/с ;						х 0 ;
ах	3 м/с2 .
	*Примечание. Кроме указанной							в задаче средней скоро-
сти	х	рассматривают среднюю путевую скорость s								, опреде-

ляемую отношением пути S ко времени t, за которое пройден этот путь. Самостоятельно убедитесь в том, что эти скорости не равны (см. пример 2).

Пример 2. Ускорение материальной точки, движущейся вдоль оси X , изменяется по закону: ax (t) A Bt , где A 1 м/c2 ,

В 4 м/с3 . Начальная скорость 0x 6 м/с , начальная координата x0 4 м . Запишите уравнение движения точки, определите ее координату, скорость, перемещение и пройденный точкой путь через t = 3 с после начала движения.

11

Решение. Определение вида кинематического уравнения движения по известному параметру (в данном случае это ускорение) является обратной задачей кинематики. Из уравнений (2.16) и (2.11) находим вид зависимости скорости точки от времени

	t	Bt2
	x (t) 0 x ax (t)dt 0 x At
		2
	0

и вид зависимости координаты точки от времени (кинематическое уравнение движения)

	t		At2		Bt3
	x x0 x (t)dt x0	0xt				.
			2		6
	0

Подставляя в записанные уравнения значение времени t 3 c, получаем значения скорости и координаты

x 6 1 3	4 9	9 м/с ;	x 4 6 3	1 9		4 27	8,5 м .
2			2		6

Модуль вектора перемещения r x x x0 4,5 м

(определите самостоятельно, совпадает ли направление вектора перемещения с положительным направлением оси X ).

Поскольку начальная скорость точки положительна, а конечная – отрицательна, это значит, что скорость в процессе движения меняет знак, и путь не равен модулю вектора перемещения. Решая

уравнение	х (t) 0 x At	Bt	2	относительно t , и учитывая, что
	2

время положительно, определяем его значение t0 2 c , при котором скорость обращается в нуль.

Тогда пройденный путь равен

S x(t0 ) x0 x(t0 ) x 12,84 м .

Ответ: x 8,5 м ; 9 м/с ; r 4,5 м ; S 12,84 м .

Пример 3. Для случая, представленного на рис. 2.5, записать: 1) кинематическое уравнение движения r r (t) точки А;

12

2)ее уравнения движения в проекциях на оси X и Y : x x(t) и y y(t) ;

3)уравнение траектории y y( x) .

Y

На рисунке изображены координатные оси,

A

0

указано начальное положение точки А, начальная

g

скорость 0

и ускорение, равное ускорению сво-

h

бодного падения g .

r0

j

Решение. Поскольку ускорение свободного

X

S O i

падения постоянно по величине и направлению,

Рис. 2.5

движение является равноускоренным и описыва-

ется уравнением (2.22):

gt 2

r r0 0t

,

2

где r0

Si hj

– радиус-вектор начального положения точки.

В проекциях на оси X и Y получаем:

g

x

t

2

y y0

0 yt

g yt 2

x x0 0xt

;

.

2

2

В данной задаче g x 0

(ускорение свободного падения на-

правлено перпендикулярно оси

X ), g y g (знак šминусŸ пока-

зывает, что направление вектора ускорения свободного падения не совпадает с положительным направлением оси Y ), 0 x 0 cos ,

0 y 0 sin , x0 S , y0 h .

Таким образом, уравнения движения в проекциях на оси X и

Y имеют вид:						2
x S 0 cos t ;	y h 0 sin t				gt		.
			2
Исключая время из двух последних уравнений, получаем
уравнение траектории:		g x S 2
y h x S tg
				.
		2 02 cos2

							13
							gt 2		x S 0 cos t ;
	Ответ:		r		r0	0t		;
							2
			2						g x S 2
		gt		; y h x S tg
	y h 0 sin t									.
	2								2 02 cos2

Пример 4. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через промежуток времени t 2 c камень упал на землю на расстоянии S 40 м от основания вышки. Определить высоту вышки h , начальную 0 и конечную скорости камня, нормальное an и тангенциальное a ускорения камня, а также радиус кривизны R траектории в начальный момент времени и в момент

падения камня на землю.
	Решение.		Ситуация, описанная в			условии, представлена
Y					на рис. 2.6.
					Выбирая	систему	координат так,
	0
		g			как показано на рисунке, и используя
h					метод составления уравнений движения,
					представленный в предыдущей задаче,
O			x		получаем уравнения движения:
					X
	S an		a			x 0t ;
	g
						gt
	y						2
	Рис. 2.6				y h		.
						2

В момент падения камня на землю его координаты x S , y 0. Поэтому уравнения движения принимают вид:

			S 0t ;				gt 2
				0 h				.
							2
		Из этих уравнений определяем начальную скорость камня
0		S	20 м/с и высоту башни h		gt2		20 м .
		t
				2

Для расчета проекций x , y скорости на координатные оси и ее значения дифференцируем x(t) и y(t) по времени (2.7, 2.8):

14

х dx 0 , в момент падения х 0 20 м/с ; dt

у dу gt , в момент падения y 20 м/с ; dt

2x 2y , в момент падения 28,2 м/с .

В начальный момент времени полное ускорение g перпендикулярно скорости 0 , поэтому а 0, аn g . Чтобы найти нормальное и тангенциальное ускорение в момент падения, воспользуемся рис. 2.6, на котором изображены компоненты скорости x и y , полная скорость , тангенциальное a , нормальное an и

полное ускорение g в момент падения камня на землю. Из рисунка видно, что

y a cos ,

g

где – угол между y и (или, соответственно, между а и g ). Поэтому значения тангенциального и нормального ускорения

a g cos g

y

g 2t

3,5 м/с2 ;

02 g 2t 2

an g sin g

x

g 0

3,5 м/с2 .

02 g 2t 2

Радиус кривизны траектории определяется формулой (2.19).

2

В начальный момент времени 0 ,

аn g и

R

0

40 м . В

g

,

момент

падения

камня

на

землю

02 g 2t 2

an g

0

и R 56 м .

02 g 2t 2

Следует отметить, что начало координат и направления координатных осей можно было бы выбрать иным образом. Напри-

15

мер, поместить начало координат в точку бросания и направить ось Y вниз. Уравнения движения в этом случае изменятся, но результаты, естественно, останутся прежними.

Ответ: h 20 м ; 0 20 м ; 28,2 м/с ; в начальный момент времени – аn g , а 0, R 40 м ; в момент падения на землю –

an 3,5 м/с2 , a	3,5 м/с2 , R 56 м .
Пример 5. Определить угловое ускорение тела, если после
N 50 полных	оборотов частота	его вращения изменилась от
n1 4 об/с до n2	6 об/с .		n вращения
Решение. Полное число оборотов N и частота
связаны с углом поворота и угловой скоростью			соотноше-
ниями:	2 N ;	2 n .

Считая, что начальный угол 0 0 , и, учитывая, что по условию задачи n2 n1, запишем уравнения движения равноускоренно вращающегося тела (2.29):

t	t 2			2 n t	t 2	,
1		2	1		2
2 1 t ;			2 n2 2 n1 t .

Решая совместно эти уравнения, получаем:

	n	2	n	2			рад
	2		1			1,26		.
							с2
		N

Ответ: 1,26 рад/с2 .

3 . З А Д А Ч И Д Л Я С А М О К О Н Т Р О Л Я

Решая задачи из каждого подраздела, студент имеет возможность проверить усвоение основных физических закономерностей кинематики, ее соотношений и формул. При необходимости мож-

16

но вернуться к более детальному рассмотрению некоторых ее положений.

3 . 1 . С т а н д а р т н ы е з а д а ч и

3.1.1. Прямолинейное движение тела вдоль оси Х описывается уравнениями:

1)х Аsin t ; A 2 м ; с-1;

2)х Аcos t ; A 1 м ; с-1;

2

3)х А Bt3 ; A 2 м ; B 0,5 м/с3 ;

4)х Аsin t ; A 3 м ; с-1;

4

5)х Аt Bt 4 ; A 2 м/c ; B 0,2 м/с4 ;

6)х Аt3 ; A 2 м/c3 ;

7)х Аt 2 Bt3 ; A 2 м/c2 ; B 0,1 м/с3 ;

8)х Аt B sin t ; A 1 м ; B 2 м ; с-1;

														2
												с-1;
9) х А cos Bt				;			A 1 м ; B
		6
							12
10)	х Аt2 Bt 4 ;			A 2 м/c2 ; B 0,25 м/с4 ;
														с-1;
11)	х Аsin Bt					;	A 1 м ; B
									24
			3

12)х Аt Bt3 ; A 3 м/c ; B 0,6 м/с3;

13)х А Bt 2 ; A 4 м ; B 0,25 м/с2 ;

14)х Аt 2 Bt5 ; A 4 м/c2 ; B 0,02 м/с5 .

Для момента времени t 4 c определить координату, мгновенную скорость и мгновенное ускорение тела. Найти среднюю скорость и среднее ускорение за первые четыре секунды движения.

17

3.1.2. Заданы начальная координата точки х0 , ее начальная скорость х0 и переменное ускорение ах ах (t) . Совпадают ли путь и модуль перемещения для момента времени t 2 c? Совпадают ли направления векторов скорости и перемещения в этот момент времени? Записать уравнение движения точки и определить координату x точки через первые 2 с движения.

1)х0 2 м ; х0 5 м/с ; ах Аt ; A 2 м/с3 ;

2)х0 1 м ; х0 3 м/с ; ах Аt В ; A 1 м/с3 ; В 5 м/с2 ;

3)х0 3 м ; х0 2 м/с ; ах А Вt 2 ; A 8 м/с2 ; В 2 м/с4 ;

4)х0 2 м ; х0 1м/с ; ах Аt 2 ; A 0,5 м/с4 ;

5)х0 4 м ; х0 5 м/с ; ах Аt Вt 2 ; A 5 м/с3 ; В 6 м/с4 ;

6)х0 3 м ; х0 2 м/с ; ах Аt 3 ; A 0,6 м/с5 ;

7)х0 1 м ; х0 1м/с ; ах А Вt ; A 8 м/с2 ; В 5 м/с3 ;

8)х0 5 м ; х0 3 м/с ; ах Аt ; A 2 м/с2 ;

9)х0 6 м ; х0 2 м/с ; ах А Вt 2 ; A 2 м/с ; В 0,6 м/с3 ;

10)х0 1 м ; х0 6 м/с ; ах Аt 2 Вt3 ; A 3 м/с4 ; В 2 м/с5 ;

11)х0 0 ; х0 0 ; ах Аt Вt 2 ; A 3 м/с3 ; В 6 м/с4 ;

12)х0 5 м ; х0 2 м/с ; ах А Вt ; A 2 м/с2 ; В 4 м/с3 ;

13)х0 2 м ; х0 10 м/с ; ах Аt ; A 4 м/с3 ;

14)х0 3 м ; х0 5 м/с ; ах Bt 2 ; В 0,6 м/с3.

3.1.3.Записать кинематические уравнения движения тела и уравнение траектории для каждого из случаев, представленных на рис. 3.1–3.14. На каждой позиции рисунков изображены координатные оси, указаны начальное положение (точка А) тела, его начальная скорость 0 и ускорение свободного падения g .

3.1.4.Найти нормальное и тангенциальное ускорение тела в начальный момент времени и через 1 с после начала движения для каждого из случаев, представленных на рис. 3.1–3.14.

Начальные условия: g 10 м/с2 ; рис. 3.1. 0 10 м/с ;

		18
рис. 3.2.	0	5 м/с ; 30 ;
рис. 3.3.	0	20 м/с ; 45 ;
рис. 3.4.	0	10 м/с ; 60 ;
рис. 3.5.	0	15 м/с ;
рис. 3.6.	0	20 м/с ; 30 ;
рис. 3.7.	0	5 м/с ; 45 ;
рис. 3.8.	0	10 м/с ; 45 ;
рис. 3.9.	0	8 м/с ; 30 ;

рис. 3.10.	0	5 м/с ;
рис. 3.11.	0	12	м/с ; 30 ;
рис. 3.12.	0	10	м/с ; 45 ;
рис. 3.13.	0	10	м/с ; 30 ;
рис. 3.14.	0	10	м/с ; 30 ; 15 .

у

g

у

g

у

g

S

O

х

O

0

х

O

х

A

h

0

h

A

0

A

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Рис. 3.3

у

g 0

у

g

0

у

g

A

A

A

h

h

h

0

O

х

O

х

O

х

S

S

S

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Рис. 3.6

19

0

у

g

у

g

у

g

A

A

S

h

h

O

0

х

S

O х

S

O

х

0

h

A

Рис. 3.7

Рис. 3.8

Рис. 3.9

у

g

у

g

у

g

A

S

S

O

O

h

0

A

0

h х

0

h

х

O

S

х

A

Рис. 3.10

Рис. 3.11

Рис. 3.12

у

g

у

g

O

0

0

O

A

A

х

х

Рис. 3.13

Рис. 3.14

3.1.5.

1)Самолет, летевший на высоте 2940 м со скоростью 360 км/ч, сбросил бомбу. За какое время t до прохождения над целью и на каком расстоянии S от нее по горизонтали должен самолет сбросить бомбу, чтобы попасть в цель?

2)С какой скоростью бомба в условиях предыдущей задачи упадет на землю?

3)Мяч бросили со скоростью 10 м/с под углом 30 к горизонту. Определить дальность полета и время движения камня.

4)С башни высотой 25 м бросили горизонтально камень со скоростью 15 м/с. Определить время движения камня, дальность его полета и скорость в момент падения на землю.