Matematika_7_8_k_r

60. найти		площадь	фигуры,			ограниченной	кривыми
y 1,	y 4,	y 2x,	y		.
				x

Криволинейные интегралы по длине дуги (I рода)

61-90. Найти массу m части линии l , линейная плотность которой меняется по закону

61. l – отрезок прямой от точки A 0,0 до точки B 4,3 , x y .

	x t,
62. l	– дуга параболы	1			2
	y		t			,
		2
						2
	x
					2
63. l	– дуга окружности
						2
	y
					2

0 t 1 , 2y .

cos t,

0 t , x y .

2

sin t,

64.

l

– дуга кривой y ln x,

3

x

15

, 4x2 .

x 3 t sin t ,

1

65.

l

– дуга арки циклоиды

t 2 ,

y .

6

y

3 1

cos t ,

66. l – отрезок прямой от точки A 0, 2

до точки B 4,0 ,

1

.

x y

67.

l

– дуга параболы y2 2x,

0 x 1

, 2y .

x 4 cos t,

x y

68. l

– дуга окружности

t ,

.

2

4

y 4 sin t,

69.

l

– часть эллипса x cos t,

0 t

, 2y .

2

y 3sin t,

2 cos t,

70.

l

– часть окружности x

0 t

, 2x y .

2 sin t,

2

y

x

71. l – часть арки циклоиды

y

		1
	x			cos t,
		2
	72. l – часть эллипса	1
	y	3		sin t,

2 t sin t ,
		0 t 2 ,	2y .
2 1 cos t ,
0 t ,	3xy .

73.

l

– часть окружности x 5 cos t,

0 t , x .

y 5 sin t,

74.

l

– часть эллипса x 2cos t,

0 t , y .

y 3sin t,

75.

l

– часть окружности x cos t,

0 t ,

1

y .

y sin t,

2

76.

l

– часть арки циклоиды x t sin t,

0 t ,

1

y .

y 1 cos t,

2

x t,

77.

l

– часть параболы

1

t2

0 t 2

, x .

y

,

2

78. l	– часть окружности x 3cos t,	0 t , 2y x .
	y 3sin t,
79. l	– отрезок прямой от точки O 0,0		до точки A 1,2 , x y2 .
80. l	– отрезок прямой от точки O 0,0		до точки A 4,2 , xy .

81. l – отрезок прямой от точки A 0, 2 до точки B 2,0 , x y2 .

82.

l

– дуга параболы y2 x,

0 x 2 , 2

.

x

83. l – отрезок прямой от точки A 0,1

до точки B 1,0 , 2y x .

84.

l

– часть параболы y x2 ,

0 x 1

,

2y

.

– часть эллипса x 2cos t,

x

85.

l

0 t

, x .

y sin t,

2

86.

l

x 4 t sin t ,

– часть арки циклоиды

1 cos t

,

t 2 , y .

y 4

87. l – отрезок прямой от точки A 1,3 до точки B 2,4 , 2 y .

x

88. l – часть параболы y	1	x2 ,	0 x 2	,	4y	.
2					x

89. l	– отрезок прямой от точки A 0, 1		до точки B 2,3 , xy .
90. l	– часть эллипса x cos t,	0 t		,	1	y .
			2
	y 2sin t,			2

Криволинейные интегралы по координатам (II рода)

91-120. Определить работу, совершаемую переменной силой

	F P x, y i Q x, y j				при перемещении некоторой массы из точки
	A в точку B по пути l
	91.				l	–	верхняя			половина	эллипса
		F y2 i x2 j ,
	x 2cos t,			y 3sin t , пробегаемая по ходу часовой стрелки.
	92.				– отрезок прямой от точки A 0,0						до точки
		F y2 i x2 j , l
	B 2,1 .
								1
	93.	F 2xyi x2 j , l			– дуга параболы y				x2 , пробегаемая от точ-
	ки A 0,0			до точки B 2,1 .			4
	94.				l –	отрезок прямой,				соединяющий точки
		F 2xyi x2 j ,
	A 2, 2		и B 2,2 .
	95.	F yi	xj , l – четверть дуги окружности x R cos t,								y R sin t ,

лежащая в первой четверти и пробегаемая против хода часовой стрелки.

96.					– дуга кривой y x		3 1, пробегаемая от точки
	F y2 i x			2 j , l
A 0,1		до точки B 1,2 .
97.	F yi xj ,			l	–	верхняя	половина	эллипса
x a cos t,			y b sin t , пробегаемая по ходу часовой стрелки.
98.	F xyi		x y j ,		l – прямая y x		от точки A 0,0	до точки

B 1,1 .

99.F 2xyi x2 j , l – дуга параболы x 2y2 , пробегаемая от точки

A 0,0 до точки B 2,1 .

100.F xyi x y j , l – парабола y x2 от точки A 0,0 до точки

B 1,1 .
					y x2 , пробе-
101. F x	2	2xy i y	2 2xy j , l – дуга параболы
гаемая от точки A 1,1				до точки B 1,1 .

102.

F sin2 xi y2 j ,

l – дуга линии

y cosx

от точки

A 0,1

до

точки B , 1 .

103.

x2

– дуга

параболы

y x2

от

точки

F

x y i

3y j , l

A 0,0

до точки B 1,1 .

x

y

– отрезок прямой от точки A 1,1

104.

F

i

j , l

до

x3 y3

x2

y2

точки B 2,2 .

1

105.

F cos2 xi

j ,

l – дуга линии y tgx от точки

A

,1

до

y3

4

точки B

,

.

3

3

106.

x2 y2

– дуга кривой y ex

от точки A 0,1

до

F

i xyj , l

точки B 1, e .

1

107.

F sin 3 xi

j ,

l – дуга кривой y ctgx от x 0 до

x

.

y2

3

108.

x3 y2

– дуга линии y ax

от точки A 0,1

до

F

i xyj , l

точки B 1,a .

109.

y t от точки A 1,1

до

F xyi y2 j , l – дуга кривой x t2 ,

точки B 4,2 .

110.

x t,

y t3

от точки

A 0,0

F x2yi y2xj , l – дуга кривой

до точки B 1,1 .

111.

F x y i x y j ,

l

–

дуга

окружности

x R cos t,

y R sin t , от точки A R,0 до точки B 0,R .

112.

x a cos t,

y b sin t , от точки

F y2 i xyj , l – дуга эллипса

A a,0

до точки B 0,b .

113.

F yi xj ,

l

– дуга астроиды

x cos3 t,

y sin3 t , от точки

A 1,0

до точки B 0,1 .

114.

F yi xj ,

l

–

первая

арка

циклоиды

x a t sin t ,

y a 1 cos t , от точки A 0,0

до точки B 2 a,0 .

115.					– отрезок прямой от точки A 1,1 до точ-
	F	x3 y2 i yj , l
ки B 4,4 .
116.				l	– контур, ограниченный				параболами
	F x2yi x3 j ,
y x2 ,		y2 x , пробегаемый против хода часовой стрелки.
117.	F y2xi x2 yj , l – дуга кривой x						cos t , y		sin t , от точ-
ки A 1,0 до точки B 0,1 .
118.			y x2		– дуга кривой y 2x x2 , расположенная
	F yi			j , l
над осью Ox и пробегаемая по ходу часовой стрелки.
119.						– дуга параболы y x2				от точки
	F	x2 2xy i 2xy y2 j , l
A 1,1		до точки B 2,4 .
120.				l	–	верхняя	половина			эллипса
	F y2 i x2 j ,
x a cos t,			y b sin t , пробегаемая по ходу часовой стрелки.

Двойные интегралы

121-150. Вычислить двойные интеграл. Указанные области D построить

	a)	y ln xdxdy,
	121.	D
			cos		x2 y2
	b)
				x2 y2
		D

		1
D y			,	y			x, x		2 .
		x
			2			x2 y2 4 2
dxdy,	D									.
				4

a)

122.

b)

	sin x y dxdy,
				D x 0,		y		, y x .
							2
	D
			dxdy,		D x2 y2			9 .
		25 x2 y2
	D

a)	cos 2x sin y dxdy,						D x 0,	4x 4y ,	y 0 .
123.	D		1				D x2 y2 16 .
b)						dxdy,
			25 x
	D			2 y2

a)

x y dxdy,

D y 2x 1,

y 2 x2 .

124.

D

D 1 x2

4 .

x2

y2 dxdy,

y2

b)

D

D x2

y x 3 .

a)

3x y dxdy,

y2 9,

125.

D

D 1 x2 y2

4 .

x4

2x2y2

y4 dxdy,

b)

D

D y x2 ,

x 2 .

a)

2x y dxdy,

y x,

126.

D

D x2

y2 4 .

x6

3x4 y2

3x2y4

y6 dxdy,

b)

D

D y x,

x 3 .

a)

x y dxdy,

y x3 ,

127.

D

D 1 x2 y2 4,

3x .

1

b)

dxdy,

x y

9 x2

D

y2

a)

xdxdy,

D xy 6,

x y 7 .

128.

D

x2

y2 2

D x2 y2

1 .

b)

dxdy,

D

D x y 2,

x2 y2 4 .

a)

xy2dxdy,

129.

D

D x2

y2 1 .

x2

y2 5 dxdy,

b)

D

D xy 1,

x 2 .

a)

x4 ydxdy,

y x 0,

130.

D

D x2

1 .

1 x2

y2

y2

b)

dxdy,

D

D 0 y ,

0 x sin y .

a)

x y dxdy,

131.

D

D x2 y2 4 .

b)

sin

x2 y2

dxdy,

D

xy2

1 dxdy,

x

a)

D

x

y

.

2

132.

D

2

b)

R 2

x2 y2

dxdy,

D x2 y2

R 2 ,

x y

3x .

D

a)	ex ydxdy,			D y ex ,		x 0,	y 2 .
133.	D				D x2				y 0 .
		x2 y2 dxdy,				y2 a 2 ,
b)								x 0,

D

a)

134.

b)

x

2y dxdy,

x

D y

1, y 4x 6, x 1 .

2

D

ln

x2 y

2

dxdy,

D e2

x2 y2 e4 .

x

2

y

2

D

x 2y dxdy,

x

x

5

a)

D 1

x 3,

1 y

.

2

2

2

135.

D

x

D x2

y2

2 ,

x 0 .

b)

dxdy,

2

y

2

D x

2x y dxdy,

2x

x

a)

D y

6,

y

1,

x

3 .

3

2

136.

D

y

D x2

y2

2 ,

y 0 .

b)

dxdy,

2

y

2

D x

a)	2ydxdy,	D y		x	,	y 0,
137.	D
	x2 y2 dxdy,					2 y2
b)
			D x
	D

x y 2 .

	x
2,				y x .
3

		x	2			1
a)				dxdy,	D y		,	y x, x 2 .
			2
	D y					x

138.

cos

x

2

y

2

2

x2 y2 2

b)

dxdy,

D

.

4

x2 y2

D

D y ex ,

y 2 .

a)

exdxdy,

x 0,

139.

D

D 4 x2

y2 16 .

x2

y2

b)

dxdy,

D

y dxdy,

D y x2 ,

y2 x .

a)

x2

140.

D

D 9 x2 y2 25 .

x2

y2

b)

9 dxdy,

D

a)

cos x y dxdy,

D x 0,

y ,

y x .

141.

D

1

D x2 y2

y 0 .

R 2 ,

b)

dxdy,

x 0,

R 2 x2

D

y2

a)

2x y dxdy,

D x 2y 5,

4x y 6, x 0 .

142.

D

x2 y2

D 1 x2

y2 4,

0 y x .

b)

dxdy,

2

D

x

D x y 2,

y 0 .

a)

xdxdy,

x 1,

143.

D

y

x

b)

arctg

dxdy,

D 1 x2 y2 9,

y

3x .

x

3

D

a)

xydxdy,

D y sin x,

0 x

,

y 3 .

2

144.

D

dxdy,

D x2 y2

R 2 ,

y 0 .

b)

R 2 x2

y2

D

D y x,

y x 5 .

a)

2x y dxdy,

1 x 3,

145.

D

D x2

y 0 .

1 x2

y2

y2

b)

dxdy,

1,

x 0,

D

D y x3 ,

y 1 .

a)

x y2 dxdy,

y x,

146.

D

x2

y2 4

D x2

y2

y 0 .

b)

dxdy,

1,

D

D 0 x 4,

2x .

a)

xdxdy,

0 y

147.

D

x2

y2 5

D x2

y2

y 0 .

b)

dxdy,

1,

D

x

a)

dxdy,

D y x,

0 x 5,

y 3x .

148.

D y2

D x2

y 0 .

y2 4,

b)

4 x2

y2

dxdy,

D

D y ln x,

y 0 .

a)

x y dxdy,

x e,

149.

D

1

D x2 y2 16,

y 0 .

b)

dxdy,

x 0,

25 x2

D

y2

		x 2y dxdy,			1		2 , y
	a)			D y		x		x .
					8
	150.	D
		x2 y2 3		D x2			y2 4,		y 0 .
	b)		dxdy,

D

Контрольная работа №8

Обыкновенные дифференциальные уравнения

1-30. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

1.y y x 0 . x

2.x2 y2 dy 2xydx .

3. y ay emx .

4.ydy x 2y dx 0 .

5.xdy x y dx .

6.y x y y ln x .

y

7.1 x2 y xy 1.

8.y x y x yy .

9.xdy ydx ydy .

10.dx x y 0 .

dy

11.x y y x2y 0 .

12.xdy 2ydx ydy .

13.y 3y x 0 .

14.y2 3x2 dx 2xydy 0 .

15.y 2y e x .

16.y2 x2 y xyy .

17.y 1 2x y 1. x2

18.		y	.
	xy y xe	x
19.	y 2xy x3		0 .

20.y x dx x y dy .

21.y y xex .

22.ydx 2xy x dy 0 .

23.1 x2 y 2xy 1 x2 2 .

24.y tg y y . x x

25.x 2y ydx x2dy .

26.y x y .

27.y ln x y x .

		x
	28.	y cosx y sin x x .
	29.	y arctgx	y	2x .
			1 x2
	30.	2xy yy y .

31-60. Найти общее решение дифференциального уравнения, используя метод понижения порядка уравнения

31.y y x . x

32.y 2yy .

33.x yy y 2 2yy (подстановка z yy ).

34.yy y 2 .

35.xy 2y x 0 .

36.y x .

37.yy y2y y 2 .

38.yy y 2 1.

39.x2 y xy 1.

40.y yy y .

41.y x y .

42.y 2 y .

43.xy y x sin y .

x

44.y y3 1.

45.y ex 1 y 0 .

46.xy y x .

47.2xy y y 2 1.

48.yy y 2 y 3 .

49.yy y 2 x (подстановка z yy ).

50.x y x y y 0 .

51.x y 1 y .

52.1 x2 y xy 2.

53.y 2ctgx y sin3 x .

54.2y y 3y 2 4y2 .

55.x y 2 y 0 .