Teor.Ver. glava 1

Решение:

воспользуемся формулой :

Поставим на шахматное поле 1-ую ладью, это можно сделать 64 способами, значит Р1=

Для 2-ой ладьи свободных клеток 63, а благоприятных расстановок 49, значит Р2=

Для 3-ей ладьи свободных клеток осталось 62, а благоприятных – 36, значит Р3=

Окончательно получаем Р=1=0,45

Ответ:

1.40. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы одно из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0.3; 0.4 и 0.6

Решение:

P1=0.3 q1=0.7 P2=0.4 q2=0.6 P3=0.6 q3=0.4

- вероятность выхода из строя всей сети. Вероятность отказа одного прибора:

Вероятность отказа 2 приборов:

Вероятность отказа 3 приборов:

А – сеть работает:

Ответ: .

1.41. Студент пришел на экзамен, зная 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает эти вопросы.

Решение:

используем теорему умножения вероятностей:

.

Представим сложное событие как произведение трех событий , где - студент знает 1-й вопрос, - студент знает 2-й вопрос, - студент знает 3-й вопрос. Тогда вероятность того, что студент знает все три вопроса:

.

.

Ответ: .

1.42. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказа первого, второго и третьего элемента соответственно равны: . Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

Решение:

тока в сети не будет, если откажет хоть 1 элемент

Ответ:

1.43. Оптовая база обслуживает 12 магазинов. От каждого из них заявка на товары на следующий день может поступить с вероятностью 0,3. Найти наивероятнейшее число заявок на следующий день.

Решение:

искомая величина лежит между числами и . То есть она равна 3.

Ответ: 3.

1.44. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0,2, 0,3 и 0,5. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равны: для первой кассы 0,2, для второй 0,3, для третьей 0,4. Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что это была первая касса?

Решение:

вероятность купить билет в первой кассе равна , вероятность купить билет в какой-н. кассе равна . Тогда вероятность равна .

Ответ:

1.45. Имеется две партии деталей, причем известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в другой партии 1/4 деталей недоброкачественные. Деталь, взятая из наудачу выбранной партии, оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что деталь взята из второй партии.

Решение:

1.46. Вероятность возникновения опасной для прибора перегрузки в каждом опыте равна 0,4. Проводится испытание прибора в трех независимых опытах. Вероятность отказа прибора при одной опасной перегрузке равна 0,2; при двух перегруз как равна 0,5; при трех перегрузках равна 0,8. Определить вероятность отказа прибора в испытании.

Решение:

. По формуле Бернулли . Тогда искомая вероятность равна .

Ответ:

1.47. В квадрат с вершинами (0;0), (1;0), (0;1), (1;1) наудачу брошена точка М(a;b). Найти вероятность того, что кори уравнения ,будут действительными.

Решение:

корни данного уравнения будут действительными, если дискриминант квадратного уравнения будет больше 0, т.е.

И

Изобразим картинку.

Вероятность того, что корни уравнения будут действительными – это площадь заштрихованной области, т.е.

Ответ: Р=8,3%.

1.48. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что за смену не будет выпущено ни одной нестандартной детали, равна 0,93. Найти вероятность того, что не будет выпущено ни одной нестандартной детали: а) за две смены; б) за три смены.

Решение:

. Тогда

a)

б)

Ответ: a) б)

1.49. На факультете обучаются 650 студентов. Найти вероятность того, что ровно 4 студента имеют день рождения 4 апреля.

Решение:

воспользуемся формулой Бернулли: где

Ответ:

1.50. Вероятность наступления события в каждом опыте равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Найти вероятность того, что придется производить четвертый опыт.

Решение:

вероятность, что придётся производить 4-ый опыт равна и по формуле Бернулли .

Ответ:

1.51. В круг радиуса R вписан квадрат. Чему равна вероятность того, что поставленные наудачу внутри круга две точки окажутся внутри квадрата?

Решение:

возможностей оказаться внутри круга равно площади круга, т. е. , возможностей оказаться в квадрате равно площади квадрата, т. е. . Тогда вероятность для 1-ой точки оказаться внутри квадрата равна А для 2-х - .

Ответ:

1.52. Имеются две партии изделий по 15 и 10 штук, причём в каждой партии есть одно бракованное изделие. Изделие взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

Решение:

для решения задачи воспользуемся формулой полной вероятности:

где H₁ – взятое из первой партии изделие бракованное, H₂ – взятое из первой партии изделие не бракованное, A/H₁, A/H₂ – взятое из второй партии изделие бракованное;

Ответ:

1.53. В ящике содержится 16 деталей завода № 1, 20 деталей завода № 2, 24 деталей завода № 3. Вероятность того, что детали завода № 1 отличного качества, равна 0,9; для деталей заводов № 2 и № 3 она соответственно равна 0,65 и 0,92. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

Решение:

общее число деталей равно 16+24+20=60, тогда по формуле полной вероятности

.

Ответ:

1.54. Вероятность того, что во время работы ЭВМ возникают сбои в про-цес-соре, оперативной памяти и в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятность обнаружения сбоя в процессоре, оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,84, 0,78 и 0,93. Найти вероятность того, что возникший в ЭВМ сбой будет обнаружен.

Решение:

по формуле полной вероятности .

Ответ:

1.55. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый выпускает 22%, второй - 30%, третий - 48% деталей данного типа. Первый автомат дает 0,26% брака, второй - 0,13%, третий - 0,18%. Найти вероятность поступления на сборку бракованной детали.

Решение:

1.56. Шар помещен внутри эллипсоида . Найти вероятность того, что брошенная наудачу внутрь эллипсоида точка окажется внутри шара.

Решение:

воспользуемся формулой:

m – объём шара;

n – объём эллипсоида;

Ответ:

1.57. Имеется 15 билетов по два вопроса, которые не повторяются. Студент может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и дополнительный вопрос из другого билета.

Решение:

P₁= – ответил на два вопроса

P₂= – ответил на дополнительный вопрос

– ответил на первый и не ответил на второй, или ответил на второй и не ответил на первый.

Ответ: Р=94%.

1.58. Разрыв электрической цепи может произойти вследствие выхода из строя элемента А₁ или двух элементов А₂ и А₃, которые выходят из строя независимо друг от друга соответственно с вероятностями 0,35, 0,24 и 0,12. Найти вероятность разрыва электрической цепи.

Решение:

по формуле суммы вероятностей .

Ответ:

1.59. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Решение:

всего двузначных 90, кратных 2-м 45; 5-ти -18; 5 и 2 – 9.

Воспользуемся формулой: и Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Р=

Ответ:

1.60. Из последовательности чисел 1,2,3,...,10 наудачу выбираются два числа. Какова вероятность, что одно из них меньше 6, а другое больше 7?

Решение:

числа х и y могут лежать в промежутке [1, 10], событие А — когда х<6 и у>7. Согласно геометрической интерпретации задачи искомая вероятность равна .

Ответ:

Задания для контрольной работы № 1

1.1-4. Передача экономической информации от пункта A в пункт В может осуществляться по следующей схеме:

З десь P_i – вероятности передачи информации без искаженнй i-ом блоке. Определить надежность данной схемы, т.е. Вероятность получения в пункте В достоверной (без искажений) информации.

Решение:

А — событие, когда получена достоверная информация. Согласно формулам сложения и умножения вероятностей получаем:

.

Ответ:

1.2-4. На 3 станках при одинаковых и независимых условиях изготавливаются детали одного наименования. На первом станке изготавливается а%, на втором - b%, на третьем - с% всех деталей. Для каждой детали вероятность быть бездефектной равна p₁, если она изготовлена на первом станке, p₂ - если она изготовлена на втором станке, p₃ - если она изготовлена на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь не окажется дефектной.

Решение:

А — событие, когда взятая деталь недефектная, тогда согласно формуле сложения веротностей получаем: .

Ответ:

1.3-4. На склад поступила партия N деталей, среди которых М дефектных. Из партии для контроля выбираются случайным образом К деталей. Если среди контрольных окажется более L дефектных, то вся партия бракуется. Найти вероятность того, что партия будет забракована.

Решение:

А — событие, когда партия забракована. - возможность выбрать L деталей из M дефектных, - возможность выбрать K изделий из общего количества N, - возможность выбрать детали из недефектных, тогда - вероятность выбрать ровно L бракованных деталей. Тогда

Ответ:

4.12. В одном ящике упаковано N₁ деталей, из них M₁ с дефектами; в другом ящике упаковано N₂ деталей, из них M₂ с дефектами. Контролер случайным образом открыл один из этих ящиков и взял деталь на экспертизу. Деталь оказалась с дефектом. Какова вероятность того, что и вторая деталь из того же ящика окажется с дефектом?

N₁=20 N₂=22

M₁=3 M₂=2

Решение:

пусть В – это событие, соответствующее тому, что первая взятая из ящика деталь является бракованной. Тогда по формуле полной вероятности можно найти вероятность этого события:

, где

- контролер взял деталь из первого ящика,

- контролер взял деталь из второго ящика.

Для вычисления вероятностей гипотез при условии события В, воспользуемся формулой :

Отсюда видно, что вероятность события В равна:

.

Для решения исходной задачи будем пользоваться также формулой полной вероятности, но примененной к новым гипотезам:

- наугад взятая из первого ящика деталь оказалась бракованной.

- наугад взятая из второго ящика деталь оказалась бракованной.

По формуле Байеса найдем вероятности новых гипотез:

Пусть А – это событие, соответствующее тому, что вторая взятая из того же ящика, что и первая деталь, окажется бракованной. Тогда:

В итоге, для нахождения вероятности события А вновь воспользуемся формулой вероятности: