Часть 2 Теория

	æ− 8		4	ö
Собственные значения матрицы A = ç				÷ второй из этих
1	ç	- 8	- 2	÷
	è			ø

систем – комплексно-сопряженные числа λ1,2 = -5 ± i23. Поэтому

состояние равновесия M2(–1,–2) – устойчивый фокус. Все траектории, начинающиеся в достаточно малой окрестности точки M2, спирале- видно наматываются на эту точку.

e = (0,0796; − 0,04)

(-1,-2)

Рис. 1.3.5

Для определения направления закручивания спиралей достаточ- но выбрать какую-либо точку в

достаточно малой окрестности точки М2 и найти вектор, каса-

тельный к траектории системы в выбранной точке. Так, например, для точки М(–1; –1,98) вектор ка- сательной будет таким: e = (0,0796; − 0,04). Это означает,

что спирали будут закручиваться по ходу часовой стрелки

(рис.1.3.5).

		Замечание 1.3.1. Для того, чтобы найти особые точки уравнения
	dy	=	− 4x + 2xy − 8	, следует перейти к эквивалентной системе (1.3.3)
	dx		4x2 - y2

и рассуждать так же, как и в примере 1.3.1.

1.4 Производная в силу системы. Первые интегралы

	Рассмотрим систему:
	x& =	dx	= f (t, x), x Rn .	(1.4.1)
		dt
				пространства Rtn,x+1
	Будем предполагать, что в некоторой области G

для системы (1.4.1) выполнены условия теоремы Коши.

Пусть v(t, x) – некоторая непрерывно дифференцируемая в обла- сти G функция переменных t, x, а x = ϕ(t)– интегральная кривая уравнения (1.4.1) . Тогда w(t) = v[t,ϕ(t)] – функция одной переменой.

Дифференцируя эту функцию по t, получаем:

dw

∂v

n ∂v

dx

i

∂v

n

∂v

=

+ å

=

+ å

f

i

(t, x)

x=ϕ (t)

.

(1.4.2)

dt

∂t

i=1∂xi

dt

∂t

i=1∂xi

Полученное выражения называется производной функции v(t, x) в си-

лу системы (1.4.1).
Если система (1.4.1) автономна:
		x& = f (x),		x Rn ,		(1.4.3)
а v(t, x) = v(x), то формула (1.4.2) приобретает вид:
	dw		n	∂v
		= v&(x)	= å		fi (x) = (grad v, f (x)) .	(1.4.4)
	dt			∂xi
			i=1
Лемма 1.4.1. Пусть производная v&(x)функции v(x) в силу систе-
мы (1.4.3) сохраняет знак:				v&(x) ³ 0 (v&(x) £ 0) в некоторой области

G Rn . Тогда функция v[ϕ(t)] не убывает (не возрастает) вдоль лю- бой фазовой траектории γ ={x : x = ϕ(t)} системы (1.4.3) в области

G.

Определение 1.4.1. Функция u(x) называется первым интегралом автономной системы (1.4.3), если она постоянна вдоль каждой фа- зовой траектории этой системы, то есть если u[ϕ(t)] = const для

любого решения x = ϕ(t) системы (1.4.3).

Теорема 1.4.1. Для того, чтобы функция u(x) была первым инте- гралом системы (1.4.3), необходимо и достаточно, чтобы она удо- влетворяла соотношению:

	n	∂u	fi (x) = (grad u, f (x)) = 0.
	å			(1.4.5)
		∂xi
	i=1

Остановимся на вопросе о существовании и числе первых инте- гралов системы (1.4.3). При этом изучение первых интегралов систе- мы (1.4.3) будем проводить чисто локально в некоторой открытой

окрестности	точки x = a , не являющейся положением равновесия
( f (a) ¹ 0).

Первые интегралы u1(x),u2 (x),K,uk (x) , определенные в окрест- ности , называются независимыми в точке a , если функциональная

	æ	¶u	i			ö
матрица	ç			(a) ÷
	ç				j	, i =1,K, k; j =1,K, n имеет ранг k . Оказывается, что
		¶x				÷
	è					ø

справедлива следующая теорема, которую мы приведем без доказа- тельства.

Теорема 1.4.2. Пусть точка x = a не является положением рав-

новесия системы (1.4.3). Тогда в некоторой окрестности				точки a
существует	n −1	независимых	первых	интегралов

u 1 ( x ), u 2 ( x ), K , u n − 1 ( x ) , и всякий первый интеграл u(x) есть некоторая функция от них, т.е. u(x) = F(u1(x),u2 (x),K,un−1(x)).

Иными словами, если u(x) – первый интеграл системы (1.4.3) и в

этой системе	сделана	гладкая обратимая замена			переменных
x =ψ (y) , то			~	f [ψ ( y)]
	для новой	системы y& =	f (y) =				функция
				¢
				ψ ( y)

u~(y) = u[ψ (y)] также будет первым интегралом.

Первый интеграл u(x) системы, это некоторый закон сохранения энергии в этой системе. При движении вдоль траекторий системы величина u(x) сохраняет свое первоначальное значение. Именно из этих соображений и были получены первые интегралы многих урав- нений классической механики.

Пример 1.4.1. Функция Гамильтона H(x,p) есть первый интеграл

гамильтоновой системы:
	dxi	=	∂H (x, p)	;	dpi		= -	∂H (x, p)			, i = 1,2,..., n.
	dt		¶pi		dt				¶xi
Действительно:
&			n ¶H ¶H		n		¶H		¶H
H (x, p) = iå=1 ¶xi ¶pi					+iå=1¶pi				(- ¶xi	) = 0.

Функция Гамильтона, это энергия соответствующей механиче- ской системы и тот факт, что она – первый интеграл, выражает закон сохранения энергии.

Пример 1.4.2. Одномерное движение материальной частицы мас- сы m в потенциальном поле описывается уравнением Ньютона:

m&x& = −U (x).	(1.4.6)
′

Здесь U(x) – потенциал поля. Первый интеграл уравнения (1.4.6) – функция v(x, x&), которая постоянна при x = ϕ(t), x& = ϕ&(t), где x = ϕ(t)– решение этого уравнения.

Для того, чтобы найти первый интеграл, умножим обе части

уравнения (1.4.6) на x&:			æ mx&			2		ö
		d
	¢		ç					÷
m&x&x&			ç					+U (x)÷ = 0.
	= -U (x)x& Þ				2
		dt è						ø
Таким образом,v(x, x&) =				mx&2			+U (x) и есть первый интеграл урав-
					2

нения (1.4.6). Этот интеграл носит название интеграл энергии, по-

скольку он равен сумме кинетической	mx&	2	и потенциальной U(x)
	2

энергии частицы. Как видим, в данном случае сумма кинетической и потенциальной энергии системы постоянна:

mx&	2	+U (x) = E = const ,	(1.4.7)
2

то есть рассеяние энергии отсутствует. Такие системы называют кон-

сервативными.

Соотношение (1.4.7) позволяет исследовать и построить фазовый портрет системы (1.4.6), рассматривая ее фазовые траектории как од- нопараметрическое семейство кривых, где роль параметра играет ве- личина E полной энергии системы.

	Если заданы начальные			условия x(0) = x0 , x&(0) = x&0 ,		то
E =	mx&0	2	+U (x0 ). Переписав уравнение (1.4.6) в виде системы:
	2
			x& = y,	′	(1.4.8)
				my& = −U (x),
видим,		что состояния равновесия системы имеют вид			(x,0),	где
′
U (x) = 0.

Пусть, например, гра-

U(x)

Е0

фик функции U(x), имеет

вид,

показанный

на

E

рис.1.2.1. Точки О и

~

x со-

ответствуют

состояниям

~x

равновесия системы. Ины-

x1

O

x2

x3

ми словами, состояния рав-

новесия

соответствуют

точкам

экстремума

функ-

Рис.1.4.1

ции

U(x)

потенциальной

энергии системы.

Построим

фазовый

портрет

системы

(1.4.8).

Положим

E0 = maxU (x)= U (x) .

Зададимся некоторым значением E < E0. Из

~

(1.4.7) следует,

что U[x(t)] = E −

mx&2 (t)

< E

вдоль любого решения

2

системы

(1.4.6).

Значит

траектории

этих

решений таковы, что

x(t) (x1, x2 ) или

x(t) (x3 ,∞). При этом связь между x

и

y = x&

определяется соотношением x& = ±

2

.

Направление дви-

E −U (x)

m

жения вдоль траекторий определяется так: при x& > 0 (то есть в верх- ней полуплоскости) x(t) возрастает как функция времени. Соответ- ственно в нижней полуплоскости она убывает. Для значения E, вы- бранного так, как указано на рис.1.2.1, получим две траектории си- стемы (см. рис.1.4.2). Варьируя значения E, можем схематически по- строить фазовый портрет системы (1.4.6) (рис.1.4.3).

U(x)			U(x)
E
x1 O	x2 x3	X	O	~x
	x&
			x
Рис. 1.4.2			Рис. 1.4.3

Отметим, что структура траекторий в окрестности точки (~x,0) та-

кая же, как и в окрестности седла. Кривые «входящие» в указанную особую точку и «выходящие» из нее – сепаратрисы седла. Сепара-

трисы разделяют области на фазовой плоскости с различным типом поведения траекторий.

Пример 1.4.3. (Колебания маятника в среде без сопротивления).

Колебания маятника в несопротивляющейся среде описываются уравнением

&x&+ k sin x = 0.

	d æ x&2				ö
Этому уравнению можно придать вид		ç		- k cos x÷		=
	ç		2		÷
	dt è				ø
первый интеграл уравнения (1.4.9) имеет вид					u(x) =
Легко видеть, что состояниями равновесия системы
ìx& = y
í
îy& = -k sin x					(πl,0), l
эквивалентной уравнению (1.4.9), будут точки

(1.4.9)

0. Поэтому

x&2 - k cos x . 2

(1.4.10)

= 0,±1,±2,....

Используя вид графика функции U (x) = −k cos x и пользуясь перио- дичностью функции cos x , можем построить (рис.1.2.4) фазовый портрет уравнения (1.4.9) на плоскости (x, x&) (или, что тоже, системы

(1.4.10) на плоскости (x,y)).

		κ
-kcos
−3π	−π	π	3π	x
		0

−κ

Рис. 1.4.4

При | E |< k на фазовой плоскости получаем замкнутые кривые, охватывающие точки вида 2π l (l = 0,±1,±2,...). Такие кривые соот-

ветствуют периодическим колебаниям маятника относительно точки подвеса. При | E |> k получаем незамкнутые неограниченные по x 2π- периодические кривые, соответствующие вращательным движениям маятника вокруг точки подвеса.

1.5. Уравнения с частными производными первого порядка

До настоящего времени рассматривались дифференциальные уравнения относительно неизвестной функции (или вектор-функции), которая зависит от одной переменной. Предположим теперь, что неизвестная функция зависит от двух и ли более переменных: u = u(x1, x2 ,K, xn ) . Соотношение между перемен-

ными x1, x2 ,K, xn , неизвестной функцией u и ее частными производными

∂u ,K, ∂u называется уравнением с частными производными первого порядка.

¶x1 ¶xn

Таким образом, уравнение с частными производными первого порядка имеет

вид

F(x ,K, x	n	,u,	∂u	,L,	∂u	) = 0 .	(1.5.1)
1			¶x1		¶xn

Ниже будет показано, что интегрирование уравнений вида (1.5.1) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задачи, приводящие к уравнениям с частыми производными первого порядка

К уравнению вида (1.5.1) мы пришли ранее, рассматривая задачу о суще- ствовании первых интегралов автономной системы обыкновенных дифферен- циальных уравнений. Вспомним, что функция u = u(x1, x2 ,K, xn ) является пер-

вым интегралом автономной системы

x&i = fi (x1 ,Kxn ),i =1,K, n

(1.5.2) тогда и только тогда, когда выполнено условие

∂u	f1 +	∂u		f2 + L+	∂u		fn = (gradu, f ) = 0,
¶x		¶x	2		¶x	n
1

(1.5.3)

означающее, что вектор gradu в точке (x1, x2 ,K, xn ) фазового пространства си- стемы (1.5.2) ортогонален вектору поля этой системы в данной точке.

Для большей наглядности рассмотрим теперь одну задачу в R3 . Пусть в R3 задано поле направлений, определенное функциями a(x, y, z),b(x, y, z),c(x, y, z).

Требуется найти поверхность Π , заданную уравнением z = z(x, y) , в каждой точке p(x, y, z) которой вектор F ( p) = F (a(x, y, z),b(x, y, z),c(x, y, z)) лежит в касательной плоскости к этой поверхности в указанной точке. Иными словами,

æ ¶z		,	¶z	ö
вектор g( p) = ç				,-1÷ нормали к поверхности Π должен быть ортогонален
ç	¶x		¶y	÷
è				ø

вектору поля направлений F ( p) : g( p) × F ( p) = 0. Последнее условие можно за-

писать в виде

a(x, y, z) ∂∂xz + b(x, y, z) ∂∂xz = c(x, y, z).

(1.5.4)

Мы пришли к уравнению с частными производными первого порядка, ре- шением которого будет функция z = z(x, y) . Задаваемую уравнением z = z(x, y)

поверхность будем называть интегральной поверхностью уравнения (1.5.4). Отметим, что интегральные кривые в пространстве R3 , соответствующие

полю направлений F ( p) , определяются системой обыкновенных дифференци-

альных уравнений

dx	=	dy	=	dz
					.
a(x, y, z)		b(x, y, z)		c(x, y, z)

(1.5.5)

Эти кривые называются характеристическими кривыми или характеристика-

ми уравнения (1.5.4). Если ввести параметр t , меняющийся вдоль характери- стической кривой, то уравнения (1.5.5) примут вид

		dx	= a(x, y, z),	dy	= b(x, y, z),	dz	= c(x, y, z) .
	(1.5.6)	dt		dt		dt

Из приведенных рассуждений становится очевидной связь между характе- ристиками уравнения (1.5.4) и интегральной поверхностью, определяемой этим уравнением: если z = z(x, y) – некоторая интегральная поверхность уравнения

(1.5.4), то она может быть целиком покрыта характеристиками этого урав-

нения. Так как решение системы (1.5.6) дифференциальных уравнений при до-

статочно	общих предположениях относительно свойств функций	a(x, y, z),
b(x, y, z),	c(x, y, z) однозначно определяется начальными значениями	x, y, z при

t = 0, то мы получаем следующий результат: любая характеристик, имеющая общую точку с интегральной поверхностью, целиком лежит на этой поверх- ности.

Вспомним, что система обыкновенных дифференциальных уравнений име- ет бесконечно много решений зависящих от параметров, количество которых совпадает с порядком этой системы. Обратимся к простому примеру, позволя-

ющему понять структуру всех решений уравнения с частными производными

(1.5.4). Рассмотрим уравнение

y

∂z

− x

∂z

= 0.

(1.5.7)

∂y

∂x

Соответствующая ему система (1.5.6) имеет вид

dx

= y,

dy

= −x,

dz

= 0.

(1.5.8)

dt

dt

dt

Решения системы (1.5.8) легко находятся и имеют вид x(t) = C1 cost + C2 sin t, y(t) = −C1 sin t + C2 cos y, z(t) = C3 . Для этих решений справедливо соотношение

x2 (t) + y2 (t) = C12 + C22 , z(t) = C3 . Иными словами, характеристики уравнения (1.5.7) представляют собой окружности, расположенные в плоскости z = C3

перпендикулярной оси Oz . Радиусы этих окружностей определяются началь- ными условиями x(0) = x0 , y(0) = y0 . Поскольку характеристики располагаются

на интегральной поверхности, то интуитивно ясно, что интегральная поверх- ность должна быть поверхностью вращения вокруг оси Oz . Уравнение любой поверхности вращения вокруг оси Oz имеет вид

z = ϕ(x2 + y2 ).

(1.5.9)

Предполагая функцию ϕ достаточно гладкой, убедимся в том, что любая функ- ция вида (1.5.9) является решением уравнения (1.5.7). Действительно,

¶∂xz = 2xϕ¢(x2 + y2 ), ¶∂yz = 2yϕ¢(x2 + y2 ) Þ y ¶∂xz - x ¶∂yz = 0 .

Итак, мы увидели, что уравнение (1.5.7) с частными производными первого порядка имеет бесконечно много решений, и все они определяются с точностью

до функции ϕ(x2 + y2 ) .

Классификация уравнений с частными производными 1-го порядка

Уравнение	называется	линейным,	если	неизвестная	функция
u = u(x1, x2 ,K, xn )	и все ее частные производные входят в уравнение линейно.

Общий вид линейного уравнения с частными производными первого порядка следующий:

	n	¶u
	åai (x1,Kxn )		+ b(x1,Kxn )u = f (x1,Kxn ) .	(1.5.10)
	i=1	¶xi

Уравнения (1.5.3) и (1.5.7) линейные. Уравнение называется квазилинейным, если частные производные функции u входят в уравнение линейно. Общий вид квазилинейного уравнения следующий:

	n	¶u
	åai (x1,Kxn ,u)		= b(x1,Kxn ,u) .	(1.5.11)
	i=1	¶xi

Уравнение (1.5.4) квазилинейное. Оно будет линейным, если функции a и b не зависят от z , а функция c является линейной по переменной z .

Уравнение, не являющееся квазилинейным, называется нелинейным.

Задача Коши для уравнения с частными производными

Мы сформулируем задачу Коши для квазилинейного уравнения (1.5.11), ограничившись для простоты и наглядности случаем трех переменных, то есть уравнением (1.5.4). Для линейного уравнения (1.5.10), которое может рассмат-