ТР 4.2 Крив
.pdf
|
x2dydz , где σ - внешняя сторона части |
|
( y2 |
z2 )dydz,где σ - внешняя сторона |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
поверхности параболои- |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
части параболоиды x a2 y2 z2 , отсе- |
|||||||||||||||||||||
|
|
ды z |
4 |
|
( x |
2 |
y |
2 |
),x 0,y 0,z R. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
чённой плоскостью yOz . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dxdy |
, где σ - внешняя сторона |
сферы |
|
z2dxdy,где σ – внешняя сторона полу- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
сферы x2 y2 z2 R2,z 0. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 z2 a2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( z 1)dxdy,где σ – внешняя сторона |
||||||||||
7 |
4 x2 y2 |
dxdy,где σ - нижняя сторона |
22 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
круга x2 y2 a2. |
|
|
|
|
полусферы x2 y2 z2 R2,z 0; |
||||||||||||||
|
x2dydz z2dxdz zdxdy , где S – часть |
|
( y2 z2 )dydz, где S – часть поверхно- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8 |
поверхности параболоида x 9 y2 z2 |
23 |
сти параболоида x 9 y2 z2 (нормаль- |
||||||||||||||||||||||||
|
(нормальный вектор n которой образует |
|
ный вектор n которой образует острый |
||||||||||||||||||||||||
|
острый угол с ортом k), отсекаемая плос- |
|
|
|
угол с ортом i), отсеченная плоско- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
костью z 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стью x 0 . |
|||||||
9 |
|
z2dxdy , где S – внешняя сторона по- |
24 |
( z 1)dxdy, где S – внешняя сторона |
|||||||||||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
верхности эллипсоида x2 y2 2z2 2. |
|
поверхности сферы x2 y2 z2 16. |
||||||||||||||||||||||||
|
xzdxdy xydydz yzdxdz , где S – верхняя |
|
yzdydz xzdxdz xydxdy , где S – верхняя |
||||||||||||||||||||||||
10 |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
часть плоскости x y z 1, отсеченной |
|
сторона плоскости x y z 4 , отсечен- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
координатными плоскостями. |
|
|
|
ной координатными плоскостями. |
|||||||||||||||||||
|
yzdxdy xzdydz xydxdz , где S – наруж- |
|
x2dydz y2dxdz z2dxdy, где S – внеш- |
||||||||||||||||||||||||
11 |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ная поверхность цилиндра x2 y2 1, |
няя сторона сферы x2 y2 z2 16, ле- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
отсеченная плоскостями z 0,z 5. |
|
|
|
|
|
жащая в первом октанте. |
||||||||||||||||||
|
y2zdxdy xzdydz x2ydxdz, где S – часть |
|
x2dydz z2dxdy, где S – часть поверхно- |
||||||||||||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
поверхности параболоида z x2 |
y2 |
27 |
сти конуса x 9 y2 z2 (нормальный |
||||||||||||||||||||||
(нормальный вектор n которой образует |
вектор n которой образует тупой угол с |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
острый угол с ортом k), вырезаемая ци- |
|
|
ортом k), лежащая между плоскостя- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
линдром x2 y2 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ми z 0,z 1. |
|||||||||||
|
(2y2 z)dxdy , где S – часть поверхно- |
|
|
|
|
|
dxdy |
|
, где S – часть поверхности |
||||||||||||||||||
|
|
|
( x |
2 |
y |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13 |
сти параболоида z2 x2 y2 (нормальный |
28 |
гиперболоида x2 y2 z2 1 (нормаль- |
||||||||||||||||||||||||
|
вектор n которой образует тупой угол с |
|
ный вектор n образует тупой угол с ортом |
||||||||||||||||||||||||
|
|
ортом k), отсекаемая плоскостью z=2. |
|
k), отсекаемая плоскостями z 0,z |
3 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
dydz y |
2 |
dxdz |
, где S – часть поверхно- |
|
x2dydz y2dxdz zdxdy, где S – часть |
||||
|
|
|
|
S |
|
|
||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
поверхности конуса z2 x2 y2 (нор- |
|||
14 |
сти параболоида z x2 y2 (нормальный |
29 |
||||||||||
мальный вектор n которой образует ост- |
||||||||||||
|
вектор n которой образует тупой угол с |
|
рый угол с ортом k), отсекаемая плоско- |
|||||||||
|
ортом k), отсекаемая плоскостью z 4 . |
|
||||||||||
|
|
стями z 0,z 3. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2xdydz (1 z)dxdy , где S – внутренняя |
|
z2dxdy,где σ – внешняя сторона части |
|||||||||
15 |
S |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
сторона цилиндра x2 y2 4 , отсекаемая |
эллипсоида x2 y2 2z2 2, лежащая в |
|||||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
плоскостями z 0,z 1. |
|
первом октанте. |
|||||||
Задание 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В номерах 1-15 Пользуясь формулой Остро- |
В номерах 16-30 Используя формулу Стокса, |
|||||||||||
градского-Гаусса, вычислить интегралы: |
вычислить интегралы: |
|
|
|||||||||
|
z |
2 |
dxdy,где σ – внешняя поверхность |
|
(2x y)dx 2ydy,где – периметр тре- |
|||||||
1 |
|
16 |
l |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
эллипсоида x2 y2 2z2 2. |
|
угольника с вершинами |
|
|
|||||||
|
|
A(0; 1),B(0;2),C(2;0). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
zdxdy ydxdz xdydz,где σ – внутрен- |
|
(z y)dx ( x z)dy ( y x)dz,где – |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
няя поверхность куба, ограниченного |
17 |
l |
|
|
|||||||
периметр треугольника с вершинами |
||||||||||||
|
плоскостями |
|
|
|
|
|
A(a;0;0),B(0;a;0),C(0;0;a). |
|||||
|
x 0,x 1,y 0,y 1,z 0,z 1. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
( z 1)dxdy,где σ – внешняя поверхность |
|
x2y3dx dy zdz,где – окружность |
|||||||||
3 |
18 |
l |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 R2 в качестве поверхности |
|||||
|
сферы x2 y2 z2 |
R2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
принять полусферу z |
R2 x2 y2 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
xzdxdy xydydz yzdxdz,где σ – внеш- |
|
ydx xdy adz,где – a const,и |
|||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
19 |
||||
няя сторона пирамиды, ограниченной |
l |
|
|
|||||||||
|
плоскостями |
|
|
|
x y z 1 |
|
окружность x2 y2 |
1,z 0 |
||||
|
x 0,y 0,z 0, |
|
|
|
|
|||||||
|
(3xzcos 2xcos ycos )ds,где σ – |
|
(x 3y 2z )dx (2x z)dy ( x y)dz,гд |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
||
внешняя сторона поверхности, ограничен- |
|
|
||||||||||
е - периметр треугольника с вершинами |
||||||||||||
|
ной плоскостями |
|
|
M(2;0;0),N(0;3;0),P(0;0;1) |
||||||||
|
x y z 2,x 1,x 0,y 0,z 0. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(cos(N,x) cos(N,y) cos( |
|
|
|
|
||
|
|
x2 y2 z2 |
|
(x 2)dx (x y)dy 2zdz,где - пе- |
||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
если N – внешняя нормаль к поверхности |
риметр треугольника с вершинами |
|||||||||||
|
сферы x2 y2 z2 |
R2. |
|
A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1). |
|
( x3 cos( N,x) y3 cos( N,y) z3 cos( N,z ) |
|
x |
2 |
y |
3 |
dx dy zdz , где |
|
- окружность |
|||||
7 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где N – внешняя нормаль к поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
сферы x2 y2 z2 R2. |
|
x2 y2 a2,z 0 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( xcos ycos zcos )ds ,где σ – |
|
xdx xzdy zdz,где |
- контур, образо- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
23 |
ванный пересечением поверхно- |
|
|
||||||
верхняя поверхность плоскости |
сти z2 4 x2 y2 с плоскостями коорди- |
|||||||||||||
|
x y z a , расположенной в первом |
|
нат. В качестве поверхности σ принять |
|||||||||||
|
октанте. |
|
||||||||||||
|
|
расположенную в первом октанте часть |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
данной поверхности. |
|
|
|
|
||||
|
(x2 |
y2 )cos ( y2 x2 )cos ( y2 z2 )cos ds |
|
(x 2z)dx ( x 3y z)dy (5x y)dz,гд |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9 |
, где σ – внешняя сторона поверхности, |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ограниченной цилиндром x2 y2 1и |
|
е - периметр треугольника с вершинами |
|||||||||||
|
плоскостями z 0,z 1. |
|
A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(zx y)cos (zy x)cos ( x2 y2 )cos ds, |
|
yzdx xzdy xydz,где |
- периметр тре- |
||||||||||
10 |
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где σ – внешняя поверхность полусферы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
угольника с вершинами |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z |
|
1 x2 y2 и плоскости z 0. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
O(0;0;0),A(1;1;0),B(1;1;1) |
|
|
|||||||||
|
( x2 cos xycos 3zcos )ds,где σ - |
|
x(z y)dx y( x z )dy z( y x)dz,где |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11 |
внешняя сторона поверхности, ограничен- |
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ной конусом x2 y2 z2 и плоскостью |
|
- периметр треугольника с вершинами |
|||||||||||
|
|
A(a;0;0),B(0;a;0)c(0;0;a) |
|
|
||||||||||
|
z 4. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
yzdxdy xzdydz xydxdz,где σ – внеш- |
|
z2dx x2dy y2dz,где |
- контур пересе- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
няя сторона поверхности, расположенной |
27 |
чения сферы x2 y2 z2 |
R2 с |
плоско- |
|||||||||
в первом октанте и составленной из ци- |
стью x y z R . За поверхность σ при- |
|||||||||||||
|
линдра x2 y2 R2 и плоскостей |
|
||||||||||||
|
|
нять часть сферы, расположенную в пер- |
||||||||||||
|
x 0,y 0,z 0,z 4. |
|
вом октанте. |
|
|
|
|
|||||||
|
( zcos yzcos xycos )ds,где σ – |
|
y2dx xydy ( x2 y2 )dz,где |
- контур |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13 |
|
|
|
|
28 |
пересечения параболоида x2 y2 |
Rz с |
|||||||
внешняя сторона поверхности цилинд- |
плоскостями x 0,y 0,z R . За поверх- |
|||||||||||||
|
ра x2 y2 4 и плоскостей z 0,z 1. |
|
||||||||||||
|
|
ность σ принять параболоида, располо- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
женную в первом октанте. |
|
|
||||||
|
x |
2 |
cos ds,где σ – внешняя сторона |
|
ydx (1 x)dy zdz,где - контур пере- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14 |
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сечения полусферы z |
|
R2 x2 y2 и |
|||||||||
поверхности, ограниченной плоскостями |
|
|||||||||||||
|
z 1 x y,x 0,y 0,z 0. |
|
цилиндра x2 y2 1. За поверхность σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принять данную полусферу. |
|
|
( y |
2 |
cos z |
2 |
ycos x |
2 |
zcos )ds,где σ |
|
xzdx dy ydz,где |
- контур пересече- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
ния сферы x2 y2 z2 |
4 и плоскости |
– внешняя поверхность сферы |
|||||||||||||||
|
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
1 |
|
|
|
|
z 1. За поверхность σ принять верхнюю |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
часть сферы. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|