MathCadTV 5semestr

ORIGIN 1

Распределе ние двуме рной случайной величины

0	1	2	3
1	0.1	0.1	0.2
2	0.2	0.2	0.2

Распределе ние случайной ве личины

	2 3 1					1
submatrix			1
						2
						4
j 1 2		tmp							i		0.4
				j				j 1		tmp
						i 2			T		0.6
			2 3 1				T
stack submatrix							1	tmp
1		2
0.4		0.6

Мате матическое ожидание

	2
	M 1 i 2 i					M
	i 1
	Условные мате матические ожидания
	2
		i 1 1 i 1 j 1
j 1 3	Tj	i 1
			2
		i 1 j 1
		i	1
	T1
M	T2		M
	T3

Точечный график ре гре ссииM =f(y)

M j

1 j 1

Распределе ние случайной ве личины

submatrix( 1			1 2 4) ( 1 2 3 )
			3
j 1 3			tmpj i j 1
			i 2
			T
stack submatrix( 1 1 2 4) tmp
1	2	3
0.3	0.3	0	.4

Мате матическое ожидание

	3
M 1 i 2 i				M 2.1
i	1
Условные мате матические ожидания
		3
			1 i1 j1 i1
j 1 2		Tj	i 1
		3
			j1 i1
			i 1
	T1			2.25
M			M
	T2			2

0.3

tmp 0.3

0.4

Точечный график ре гре ссииM^=f(y)

4

M j 2

0	2		4
	j 1 1

Видно, что условное математическое ожидание случайной величины является функцией значений случайной величины , т.е. M( / = y) = f1(y) и совершенно аналогично M( / = x) = f2(x).

Функцию f1(y) называют регрессией случайной величины на случайную величину , a f2(x) – регрессией случайной величины на случайную величину .

Формулы условных математических ожиданий для дискретных случайных величин естественным образом обобщаются на непрерывные

случайные величины. Если p , (x,y) – совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины ( , ), то

xp

(x, y)dx

yp

(x, y)dy

M ξ/η y

ξ,η

, M η/ x

ξ,η

.

p

(x, y)dx

p

(x, y)dy

ξ,η

ξ,η

Рассмотрим непрерывный случайный вектор ( , ) с плотностью распределения

	x 1				,x2 y2 1
p (x,y)		π
ξ,η			2		y	2	1
	0,x
Нетрудно проверить, что					p		(x,y)dxdy1
	x2 y2 1					ξ,η

Найдем распределения компонент случайного вектора и их математические ожидания и условные математические ожидания:

1 x2

1 x dy

2

p

x

p

(x,y)dy

x 1

1 x2 ;

ξ

ξ,η

π

π

1 x2

y

1 x2

1 x dy

2

p

p

(x,y)dx

1 y2 ;

ξ,η

π

π

1 x2

1

2

1

Mξ

x

x 1 1 x2dx

;

1

π

4

1

2

Mη

y

1 y2dy

0 ;

π

1

1 y2

1 x

x

dx

π

M ξ/η y

1 y2

1

2

1;

1 y

,

y

1 y2

1 x

3

dx

π

1 y2

M η/ξ x 0 .

В этом случае регрессия на равна нулю, а регрессия на описывается уравнением

M ξ/η y	1		y	2
		1		.
	3

ЗАДАНИЕ 5.26

Вычислите условные математические ожидания и постройте графики регрессий компонентов двумерных случайных величин из заданий 5.14 и 5.15.

Порядок выполнения задания

1.Прочитайте файл, содержащий вычисление условных распределений в задании 5.14.

2.Удалите вычисление условных распределений.

3.Вычислите математические ожидания обеих компонент.

4.Вычислите условные математические ожидания каждой компоненты для всех значений другой компоненты.

5.Изобразите точечные графики регрессий.

6.Прочитайте файл, содержащий вычисление условных распределений в задании 5.15.

7.Вычислите условные математические ожидания каждой компоненты для всех значений другой компоненты.

8.Постройте графики регрессий.

Пример выполнения задания

Ниже приведен примерный вариант выполнения задания в среде MathCAD для дискретного случайного вектора, имеющего следующее распределение:

	3	5	10	11
1	0.01	0.01	0.17	0.011
7	0.1	0.2	0.1	0.2
8	0.02	0.05	0.09	0.04

ORIGIN 1

Распределение двумерной случайной величины

0		3	5		10		11
1		0.01	0.01	0.17			0.01
	7	0.1	0.2	0.1			0.2
8		0.02	0.05	0.09			0.04
Распределение случайной величины
							1
submatrix		2 4 1 1					7
							8
							5							0.2
j 1 3			tmpj					j 1 i		tmp				0.6
						i	2							0.2
								T	T		1		7	8
stack submatrix				2 4 1 1					tmp
										0.2			0.6 0.2
Распределение случайной величины
	3
M 1 i 2 i										M 6
i	1
Условные математические ожидания
								2
								i 1 1 i 1 j 1
j 1 4						Tj		i 1
									2
									i 1 j 1

i 1

			T1
			T2
	M				M
			T3
			T4

Точечный график регрессииM =f(y)

6.455

6.714

3.222

6.714

5

M j

0	5		10
	1 j 1

Распределение случайной величины
							10 11 )
submatrix 1 1 2 5 ( 3 5												0.13
					4
j 1 4				tmpj i j 1						tmp		0.26
												0.36
						2
					i			T
					1 1 2							0.25
stack submatrix							5	tmp
		3	5	10	11
		0.13 0.26 0.36 0.25
Математическое ожидание
			4
M 1 i 2 i								M 8.04
		i	1
Условные математические ожидания
								3
								1 j 1 i 1 j 1
j 1 3						Tj		i 1
								3
								i 1 j 1
	0		3	5	10	11		i 1		T1
	1		0.01	0.01	0.17	0.01
										M T2
		7	0.1	0.2	0.1	0.2
			0.02	0.05	0.09	0.04				T3
	8

Точечный график регрессииM =f(y)

10

M j

5

0	5		10
	j 1 1

3

M 510

Указание. После того как математическое ожидание компоненты вычислено, найдите ее условные математические ожидания и сохраните их в матрице. Для этого определите диапазон изменения номеров строк в матрице (в приведенном фрагменте — это диапазон от 1 до 4 для первой компонены и от 1 до 3 — для второй), затем вычислите условные математические ожидания каждой компоненты, определите размерность и введите элементы матрицы условных математических ожиданий и изобразите точечные графики функциональной зависимости условного математического ожидания одной компоненты от значений другой. На рис. 5.4 приведен вид окон настройки точечных графиков.

Рис. 5.4. Окна настройки параметров точечных графиков

Ниже приведен фрагмент рабочего документа, содержащий решение задачи для описанного выше непрерывного случайного вектора с распределением

x 1

2

y

2

1,

, x

p ,

x, y

0, x2

y2

1.

x 1

if x2 y2 1

p (x y)

0

if x2 y2 1

1 x2

i(x)

x 1

dy

1 x2

1 y2

x 1

i1(y)

dx

1 y2

1

1

y2

2

2 1

1 y2

i1(y) 2

i1(y) 2

1 y2

	1
i(x) 2 1 x2	2		(x 1)

							1
				1	y2	2			1
1			2							y2
2

Р аспределение плотности вероятностей величины

i1(y) 2

1 y2

Распределение

плотности

Распределение

плотности

вероятностей величины

вероятностей величины

p (x) i(x)

if

x

1

p (y)

i1(y)

if

y 1

0

if

x

1

0 if

y

1

Математическое ожидание

Математическое ожидание

1

x i(x) dx

M

1

1

y i1(y) dy

M

M

4

1

1

Условные математические

Условные математические

ожидания

ожидания

1 y2

x 1

1 x2

x 1

x

dx

y

dy

1 y2

M (y)

M (x)

1 x2

1 y2

1 x2

x 1

dx

x 1

dy

1 y2

1 x2

i 1 100

ti 1 i 0.02

Xi M ti

Yi M ti

1

0.4

Xi

0.2

Yi

1

0

1

1

0

1

1

ti

ti

Ковариация

Если между случайными величинами и существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи, является ковариация cov( , ). Ковариацию вычисляют по формулам:

cov( , ) = M [( – M )( – M )] = M( ) – M M .

Если случайные величины и независимы, то cov( , ) = 0. Обратное, вообще говоря, неверно. Из равенства ковариации нулю не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимы, в то время как их ковариация нулевая!

Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации.

Интересно отметить, что cov( , ) = D и cov( , ) = D . Кроме того, важны следующие свойства ковариации:

cov( + C1 , + C2) = cov( , ); cov( , ) = cov( , );

cov(C1 + C2 , ) = C1 cov( , ) + C2 cov( , )

Ковариационной матрицей случайного вектора ( , ) называется матрица вида

cov ξ,ξ	cov ξ,η			σ	2	cov ξ,η
					ξ
Cov(ξoη)
						σ	2
cov η,ξ	cov η,η		cov η,ξ
							η

Эта матрица симметрична и положительно определена. Ее определитель называется обобщенной дисперсией и может служить мерой рассеяния системы случайных величин ( , ).

Как уже отмечалось ранее, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D( , ) = D + D . Если же случайные величины

зависимы, то

D( ) = D + D 2cov( , ).
Рассмотрим пример. Пусть дискретный случайный вектор ( ,					) имеет
распределение
		2	4
	1	0.1	0.2
	3	0.3	0.4

Ниже представлены вычисления в среде MathCAD ковариации его компонент и вычисление дисперсии их суммы по приведенной формуле и непосредственно. Видно, что, как и следовало ожидать, вычисленные разными способами значения дисперсии совпадают.