решение 18 вариант

Задание 13. Двумерная дискретная случайная величина (Х, У), задана законом распределения. Найти: а) математические ожидания M(X), M(У),

дисперсии D(X),D(У), коэффициент корреляции rХУ; б) условные законы распределения случайных величин Х (для нечетных вариантов) или У (для четных вариантов); в) ряд распределения для функции Z = (x, y).

Решение. Сложив вероятности по столбцам и строкам, находим законы распределения.

	0	1	2
-1	0,05	0,06	0,05	0,16
0	0,05	0,3	0,15	0,5
1	0,09	0,15	0,1	0,34
	0,19	0,51	0,3

Закон распределения составляющей Х:

X		-1	0	1
p		0,16	0,5	0,34
Закон распределения составляющей Y:
Y		0	1	2
p		0,19	0, 51	0,3
a)Находим	математические ожидания M(X), M(У), дисперсии D(X),D(У),

коэффициент корреляции rХУ

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений еѐ возможных значений на их вероятности:

n

M (X ) xi pi 1 0,16 0 0,5 1 0,34 0,18

i 1

m

M(Y) yj pj 0 0,19 1 0,51 2 0,3 1,11

j 1

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от еѐ математического ожидания

D(X ) M[X M(X )]2

Дисперсию удобно считать по формуле

D(X ) M(X 2 ) [M(X )]2 1 2 0,16 02 0,5 12 0,34 0,182 0,4676 ;

X D(X ) 0,684

D(Y) M(Y 2 ) [M(Y)]2 0 2 0,19 12 0,51 22 0,3 1,112 0, 4779

Y D(Y) 0,691

n m

M (XY) xi yj pij 0 1 0,05 0 0,05 1 0,09

i 1 J 1

1 1 0,06 0 0,3 1 0,15 2 1 0,05 0 0,15 1 0,1 0,19

Вычисляем ковариацию KXY

KXY M(XY) M(X )M(Y) 0,19 0,18 1,11 0,0098

Вычисляем коэффициент корреляции

		KXY		0,0098		0,021
		X Y		0,684 0,691

б)находим условные законы распределения случайной величины У

Для получения условного закона распределения У при условии Х=-1

вероятности стоящие в первой строке, делим на их сумму, т.е. p(X=-1) и т.д.

YX=-1

yj	0	1	2
Pi(yj)	0,313	0,375	0,313
YX=-0
yj	0	1	2
Pi(yj)	0,1	0,6	0,3
YX=1
yj	0	1	2
Pi(yj)	0,265	0,441	0,294

в) находим ряд распределения для функции Z = (x, y)

Z =|X-Y|

Находим значения функции Z =|X-Y|, таких значений оказалось 4,

вероятности, стоящие на пересечении строк и столбцов, при которых получились данные значения, складываем. В результате получаем ряд распределения для функции Z

Z =|X-Y|	0	1	2	3
p	0,05+0,15=0,2	0,05+0,3+0,09+0,1=0,54	0,06+0,15=0,21	0,05
Z =|X-Y|	0	1	2	3
p	0,2	0,54	0,21	0,05

Задание 14.

Двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную плотность

f(x,y).

Найти значение параметра a, маргинальные плотности fХ(x), fУ(y),

математические ожидания M(X), M(У), дисперсии D(X), D(У), коэффициент корреляции rХУ.

Являются ли случайные величины Х и У независимыми?

a g x, y , при (x, y) D f (x, y)

0, при (x, y) D

где g(x, y) и D заданы в таблице.

№ вар.	g(x, y)		D – область (A, B, C и D - вершины данной фигуры)
18	1		Треугольник: А(1, 0), В(0,-2), C(0, 2)
Решение.
Имеем
	a, при (x, y) D
f (x, y)			при (x, y) D
	0,

Если все возможные значения (X, У) принадлежат конечной области

D, то

f x, y dxdy 1

D

Получаем

1
a
	dxdy
	D
Площадь треугольника ABC равна SABC dxdy							1	4 1 2 , отсюда a=0,5.
						D	2
		1		, при (x, y) D
f (x, y)		2
	0,			при (x, y) D
Найдем плотность распределения составляющей Х:
				2
fX (x)		f (x, y)dy 0,5dy 0,5y				22 2
				2

Аналогично плотность распределения составляющей Y:

	1
fY (y)	f (x, y)dx 0,5dx 0,5x		10 0,5
	0

Зная плотности распределения составляющих X и У непрерывной двумерной случайной величины (X, У), можно найти их математические ожидания и дисперсии:

	1			10 1
M(X ) xfX (x)dx 2xdx x2
	0
	2	1 y2				2
M (Y) yfY (y)dy 0,5ydy							0
	2	4				2
		1						2 x3		1	1
D(X ) x2 fX (x)dx M(X ) 2 2x2dx 1										1
		0						3		0	3