Лекции по ЧМ

3.3. Œ¥â®¤ ‡¥©¤¥«ï

• áᬮâਬ á¨á⥬ã ãà ¢-¥-¨© Ax = b. •à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ ª ¢¨¤ã

x = Bx +		(1)
‘®£« á-® ¬¥â®¤ã ¯à®á⮩ ¨â¥à 樨 á«¥¤ãî饥 ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥
xk+1 = (xk+1	; : : : xk+1)T
1	n
- 室¨âáï ¯® ¯à¥¤ë¤ã饬㠯ਡ«¨¦¥-¨î
xk = (xk; : : : xk )T
1	n

¯ã⥬ ¯®¤áâ -®¢ª¨ xk ¢ ¯à ¢ãî ç áâì ¢ëà ¦¥-¨ï (1), ¯à¨ç¥¬ ¯®à冷ª ¢ë¡®à ãà ¢- -¥-¨© ¤«ï ¯®¤áâ -®¢®ª ஫¨ -¥ ¨£à ¥â. ‘®£« á-® ¬¥â®¤ã ‡¥©¤¥«ï ¯à®¨§¢®¤¨âáï à - §ã¬-ë© ¢ë¡®à ¯®à浪 ãà ¢-¥-¨© ¤«ï ¯®¤áâ -®¢®ª. •à¨ í⮬ ®áãé¥á⢫ï¥âáï -¥- ¬¥¤«¥--ë© ¢¢®¤ ¢ëç¨á«¥-

¨©, ª ¦¤®£® ¨§ ¯®«ãç¥--ëå "ᢥ¦¨å" ¯à¨¡«¨¦¥-¨© ¤«ï -¥¨§¢¥áâ-ëå. •ãáâì ¤«ï ¯¥à¥å®¤ ®â xk ª á«¥¤ãî饬㠯ਡ«¨¦¥-¨î xk+1 ¢ë¡à - -¥ª®â®àë© ¯®à冷ª ¯à¨¢«¥-

з¥-¨п га ¢-¥-¨п ¤«п ¯®¤бв -®¢®ª. ˆ§¬¥-пп, ¥б«¨ -¥®¡е®¤¨¬®, -г¬¥а ж¨о га ¢-¥-¨© ¨ -¥¨§¢¥бв-ле, ¬®¦-® бз¨в вм, зв® га ¢-¥-¨п ¤«п ¯®¤бв -®¢®ª ¡¥агвбп ¢ ¯®ап¤ª¥ а®бв ¨е -®¬¥а®¢. • ª ¦¤®¬ и £¥ ¨в¥а ж¨®--®£® ¯а®ж¥бб ¯®а冷ª ¯а¨¢«¥з¥-¨п га ¢-¥-¨© ¤«п ¯®¤бв -®¢®ª ¬®¦¥в ¡лвм б¢®¨¬. Žз¥¢¨¤-®, зв® ¯¥а¥бв -®¢ª га ¢-¥-

-¨© ¨ ¨§¬¥-¥-¨¥ -㬥à 権 ¯à¨¢®¤¨â ª ¨§¬¥-¥-¨î ¬ âà¨æë ‚ ¨ ¢¥ªâ®à . —â®¡ë ®â¬¥â¨âì íâ®, ¡ã¤¥¬ ®¡®§- ç âì - ª ¦¤®¬ è £¥ ¬ âà¨æë ‚ ç¥à¥§ Bk ¨ k ᮮ⢥â-

á⢥--®.

‚ ¬¥â®¤¥ ‡¥©¤¥«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï ¯à®¢®¤ïâáï ¯® á«¥¤ãî騬 ä®à¬ã« ¬:

x1k+1 = b11k x1k
xk+1	= bk	xk+1
2	21	1
: : :	= bk	xk+1
xk+1
n	n1	1

+b12k xk2 + : : : +bk1nxkn + 1k +b22k xk2 + : : : +bk2nxkn + 2k

+bkn2xk2+1 + : : : +bknnxkn + nk

•®á«¥ - 宦¤¥-¨ï xk+1, ãáâ - ¢«¨¢ ¥âáï -®¢ë© ¯®à冷ª ¯®¤áâ -®¢®ª ¢ ãà ¢-¥-¨ï §- ç¥-¨© xki +1, ¯®á«¥ 祣® ¯¥à¥å®¤ïâ ª ¢ëç¨á«¥-¨î ¢¥ªâ®à xk+2.

• бᬮва¨¬ ¯а¨-ж¨¯ гбв -®¢«¥-¨п ¯®ап¤ª ¯а¨¢«¥з¥-¨п га ¢-¥-¨© ¤«п ¯®¤бв - -®¢®ª. –¥«¥б®®¡а §-® ¯®бв а вмбп г«гзи¨вм вг б®бв ¢«пойго а¥и¥-¨п, ª®в®а п - ©¤¥- - ¨¬¥-¥¥ в®з-®, б в¥¬, зв®¡л ¯а¨ - 宦¤¥-¨¨ ¢б¥е ®бв «м-ле ¯а¨¡«¨¦¥- -¨© ¨б¯®«м§®¢ вм ¥¥ г«гзи¥--®¥ §- з¥-¨¥.

Ž â®ç-®á⨠¯à¨¡«¨¦¥-¨ï xk ¬®¦-® á㤨âì ¯® ¢¥ªâ®àã ¯®¯à ¢ª¨ -					è £¥ k:
			k = ( k; : : : ; k)T ;
	1			n
£¤¥ ik = jxik , xik,1j;
	i = 1; n
‚¥«¨ç¨-ë ¯®¯à ¢®ª ( i) -г¬¥аговбп ¢ ¯®ап¤ª¥ г¡л¢ -¨п ¨е ¬®¤г«¥© ¨ ¢ ⮬ ¦¥
¯®ап¤ª¥ ¢лз¨б«повбп, б®бв ¢«пп б«¥¤гой¥¥ ¯а¨¡«¨¦¥-¨¥ xk+1. ‘- ç «					¢ëç¨á«ïîâ

вг б®бв ¢«пойго, ª®в®а п ®в¢¥з ¥в - ¨¡®«ми¥© ¯® ¬®¤г«о ¯®¯а ¢ª¥ ¨ в. ¤.

11

•à¨¬¥à 4. • áᬮâਬ á¨á⥬ã
4x1	+0:24x2	,0î8x3 = 8
0:9x1	+3x2	,0:15x3 = 9
0:4x1	,0:8x2	+4x3 = 20
	•¥è¥-¨¥

‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¤«ï ¤ --®© á¨áâ¥¬ë ¢ë¯®«-ï¥âáï ãá«®¢¨¥ á室¨¬®á⨠¨â¥à - 樮--®£® ¯à®æ¥áá : ¬®¤ã«¨ ¤¨ £®- «ì-ëå í«¥¬¥-⮢ ¡®«ìè¥ áã¬¬ë ¬®¤ã«¥© -¥¤¨ - £®- «ì-ëå ¢¥«¨ç¨-.

•à¨¢¥¤¥¬ á¨á⥬㠪 ¢¨¤ã

x1 = 2 , 0:006x2 + 0:02x3 x2 = 3 , 0:03x1 + 0:05x3 x3 = 5 , 0:01x1 + 0:02x2

‡ - ç «ì-®¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥ ¯à¨¬¥¬ á⮫¡¥æ ᢮¡®¤-ëå ç«¥-®¢

x0	= 2	x0	= 3	x0	= 5
1		2		3

•®¤áâ ¢«ïï í⨠§- ç¥-¨ï ¢ ¯à ¢ë¥ ç á⨠¯à¨¢¥¤¥--®© á¨á⥬ë, ¯®«ã稬 ¯¥à¢®¥

¯à¨¡«¨¦¥-¨¥
x0	= 1:92	x0	= 3:19	x0	= 5:04
1		2		3

„ «¥¥ ¯®¤áâ ¢«ï¥¬ - ©¤¥--®¥ ¯¥à¢®¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥ ¢ ¯à ¢ë¥ ç á⨠¯à¨¢¥¤¥--®© á¨- áâ¥¬ë ¨ - 室¨¬ ¢â®àë¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï

x2	= 1:9094	x2	= 3:1944 x2		= 5:0446
1		2		3
¨ â ª ¤ «¥¥
•à®æ¥áá ¬®¦-® § ª®-ç¨âì, ª®£¤
	jxik+1 , xikj "			8 i = 1; 2; : : : ;
£¤¥ " | â®ç-®áâì

— áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ã¯à®é¥--ë© ¢ ਠ-â ¬¥â®¤ ‡¥©¤¥«ï, ª®â®àë© - §ë¢ ¥âáï áâ 樮- à-ë¬ ¬¥â®¤®¬ ‡¥©¤¥«ï. ‘®£« á-® ¥¬ã, ¯à¨ ¨â¥à æ¨ïå ¯®à冷ª ãà ¢-¥-¨© á®åà -ï¥âáï, §- ç¨â -¥¨§¬¥--묨 ®áâ îâáï ¬ âà¨æ ‚ ¨ ¢¥ªâ®à . ‚ëç¨á«¥-¨ï ¯à®¨§¢®¤ïâ ¯® ä®à¬ã« ¬ (2) ¢ ª®â®àëå á«¥¤ã¥â ã¡à âì ¨-¤¥ªá k ã ª®íää¨æ¨¥-⮢ bij ¨ ᢮¡®¤-ëå ç«¥-®¢ i.

„«ï áâ 樮- à-®£® ¬¥â®¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥-¨¥: "ˆâ¥à 樮--ë© ¯à®æ¥áá á室¨âáï ¯à¨ «î¡®¬ - ç «ì-®¬ ¢¥ªâ®à¥ x0, ¥á«¨ ¢á¥ ª®à-¨ ãà ¢-¥-¨ï

b11 ,	b12	: : :	b1n
b21	b22 , : : :		b2n	= 0
: : :
bn1	bn2	: : : bnn ,

¯® ¬®¤ã«î ¬¥-ìè¥ ¥¤¨-¨æë". •â® -¥®¡å®¤¨¬®¥ ¨ ¤®áâ â®ç-®¥ ãá«®¢¨¥ á室¨¬®áâ¨. “ª ¦¥¬ ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ ¤®áâ â®ç-ë© ¯à¨§- ª á室¨¬®á⨠¨â¥à 樨:

12

„«ï áâ 樮- à-®£® ¬¥â®¤ ‡¥©¤¥«ï ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¬¥áâ® á室¨¬®áâì ¨â¥à 樮--®£® ¯à®æ¥áá , ¥á«¨ ¢ë¯®«-¥-® ®¤-® ¨§ ãá«®¢¨©

n

maxi X jbijj < 1

j=1

¨«¨	n

maxj X jbijj < 1

i=1

3.4. Œ¥â®¤ Šàë«®¢

‘ãé¥áâ¢ãîâ à §«¨ç-ë¥ ¬¥â®¤ë à §¢¥àâë¢ -¨ï ¢¥ª®¢ëå ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥©: íâ® ¬¥â®- ¤ë „ -¨«¥¢áª®£®, ‹¥¢¥àì¥, ¨-â¥à¯®«ï樨 ¨ ¤à㣨¥. • áᬮâਬ «¨èì ¬¥â®¤ €.•.Šàë«®¢ . ˆâ ª, å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬-®£®ç«¥- ¬ âà¨æë € ¨¬¥¥â ¢¨¤

Pn( ) = n , p1 n,1 , p2 n,2 , : : : , pn			(1)
‘®£« á-® ⥮६¥ ƒ ¬¨«ìâ®- -Š¥««¨, ¨§¢¥áâ-®© ¢	«£¥¡à¥, ¬ âà¨æ		€ ®¡à é ¥â ¢
-ã«ì ᢮© å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¯®«¨-®¬, ¯®í⮬ã
An , p1An,1 , p2An,2 , : : : , pnE = 0			(2)
‚롥६ ¯à®¨§¢®«ì-ë© -¥-ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à y0 = (y0; y0		: : : ; y0)T . “¬-®¦ ï ®¡¥ ç áâ¨
1	2	n
à ¢¥-á⢠(2) - y0, ¯®«ãç ¥¬
Any0 , p1An,1y0 , p2An,2y0 , : : : , pnEy0 = 0			(3)
Ž¡®§- 稬
Aky0 = yk			(4)
‚ १ã«ìâ ⥠(3) ¯¥à¥¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥:
yn , p1yn,1 , : : : , pny0 = 0			(5)
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢¥àå-¨© ¨-¤¥ªá ã ¢¥ªâ®à y ¥áâì ¯®à浪®¢ë© -®¬¥à,			ã ¬ âà¨æë €
| ¯®ª § ⥫ì á⥯¥-¨. ‡ ¯¨è¥¬ ¢¥ªâ®à-®¥ à ¢¥-á⢮ (5) ¢ ¢¨¤¥:

n,1

0 y1 ,

y2n 1

.

B ..

@ ynn,1

y1n,2 : : : y10 y2n,2 : : : y20

... ...

ynn,2 : : : yn0

	p1				yn
1 0 p.2		1			1	1
			=	0 y.2n			(50)
C B	.	C		B	.	C
A @	.	A		@	.	A
	pn				yn
					n

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¢¥ªâ®à-®¥ à ¢¥-á⢮ íª¢¨¢ «¥-â-® á¨á⥬¥ ãà ¢-¥-¨©

yjn,1p1 + yjn,2p2 + : : : + yj0pn = yjn; j = 1; 2; : : : ; n

(6)

(6) | ¥áâì á¨á⥬ n «¨-¥©-ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢-¥-¨© á n -¥¨§¢¥áâ-묨 p1; p2; : : : ; pn. Š®íää¨æ¨¥-âë p1 ; : : : ; pn å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬-®£®ç«¥- ¬®¦¥¬ - ©â¨ ª ª à¥-

è¥-¨¥ á¨á⥬ë (6). „«ï í⮣® -¥®¡å®¤¨¬® ¢ëç¨á«¨âì ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥-âë á¨á⥬ë

13

yn,1; yn,2; : : : ; y0			¨ ¯à ¢ë¥ ç á⨠yn; j =	1; n		.• ®á-®¢ -¨¨ ä®à¬ã«ë (4) ¬®¦¥¬ § ¯¨-
j	j	j	j
á âì
		y1 = Ay0; y2 = A2y0 = AAy0 = Ay1; : : : ; yn = Any0 = Ayn,1					(7)
•	®б-®¢ -¨¨ (7) ¯®«гз ¥¬ б«¥¤гойго ¯®ª®¬¯®-¥-в-го § ¯¨бм:
			y1 =		n aijy0
			i		j=1	j
					n
			y2 =		P aijy1
			i		P	j	(8)
					j=1
					: : :
			yin =		n aijyjn,1
				P
			j		=1

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, á ¯®¬®éìî ä®à¬ã« (7) ¢ëç¨á«ï¥¬ ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥-âë ¨ ¯à ¢ë¥ ç á⨠á¨á⥬ë (6). •à¨ í⮬ ª®®à¤¨- âë ¢¥ªâ®à y0 ¯à®¨§¢®«ì-ë. …᫨ á¨á⥬

(6) ¨¬¥¥â ¥¤¨-á⢥--®¥ à¥è¥-¨¥, â® ¥¥ ª®à-¨ p1; p2; : : : ; pn п¢«повбп ª®ндд¨ж¨¥-- в ¬¨ ¬-®£®з«¥- Pn( ).…᫨ á¨á⥬ (6) -¥ ¨¬¥¥â ¥¤¨-á⢥--®£® à¥è¥-¨ï, â® ¢ í⮬ á«ãç ¥ á«¥¤ã¥â ¨§¬¥-¨âì - ç «ì-ë© ¢¥ªâ®à y0.•®á«¥ ⮣® ª ª ᮡá⢥--ë¥

§- ç¥-¨ï - ©¤¥-ë, ᮡá⢥--ë¥ ¢¥ªâ®à							- ©¤¥¬ ¨§ à¥è¥-¨ï ®¤-®à®¤-®© á¨á⥬ë
Ax = ix; i = 1; 2; : : : ; n
•à¨¬¥à 5. Œ¥â®¤®¬ Šàë«®¢			- ©â¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬-®£®ç«¥- ¬ âà¨æë €.
					0	1	2	3	4	1
						2	1	2	3
			A =			4	3	2	1	C
					B
					@	3	2	1	2	A
					•¥è¥-¨¥
‚롥६ y0 = (1; 0; 0; 0)T . •® ä®à¬ã« ¬ (8) - 室¨¬
y1 = 0	1	1 ; y2 = 0		30	1		= 0		208		1 ; y4	= 0	2108	1 :
	2			22		; y3			178				1704
@	3	A	@	18	A			@	192		A	@	1656	A
B 4		C	B	20	C			B	242		C	B	1992	C
’¥¯¥àì á®áâ ¢«ï¥¬ á¨á⥬㠢¨¤				(6):

8	208p1 + 30p2
	178p1	+ 22p2
>	192p1	+ 18p2
<		+ 20p2
> 242p1
:
•¥è¨¢ íâã á¨á⥬ã, ¯®«ã稬:

+ p3 + p4	=	2108
+ 2p3	=	1704
+ 3p3	=	1656
+ 4p3	=	1992:

p1 = 4; p2 = 40; p3 = 56; p4 = 20:

‘«¥¤®¢ ⥫ì-® Pn( ) = 4 , 4 3 , 40 2 , 56 , 20:

14

4. •¥è¥-¨¥ -¥«¨-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨©

…᫨ -¥«¨-¥©-®¥ ãà ¢-¥-¨¥ ¤®áâ â®ç-® á«®¦-®¥, â® - ©â¨ â®ç-® ¥£® ª®à-¨ 㤠¥â- áï ¢¥áì¬ à¥¤ª®. ‚ ¦-®¥ §- ç¥-¨¥ ¯à¨®¡à¥â îâ á¯®á®¡ë ¯à¨¡«¨¦¥--®£® - 宦¤¥-¨ï ª®à-¥© ãà ¢-¥-¨ï ¨ ®æ¥-ª á⥯¥-¨ ¨å â®ç-®áâ¨. •ãáâì

f(x) = 0;

(1)

£¤¥ f(x) ®¯à¥¤¥«¥- ¨ -¥¯à¥àë¢- ¢ -¥ª®â®à®¬ ª®-¥ç-®¬ ¨ ¡¥áª®-¥ç-®¬ ¨-â¥à¢ «¥ a x b. ’ॡã¥âáï - ©â¨ ¢á¥ ¨«¨ -¥ª®â®àë¥ ª®à-¨ ãà ¢-¥-¨ï (1).‚á类¥ §- ç¥-¨¥, ®¡à é î饥 äã-ªæ¨î f(x) ¢ -ã«ì, - §ë¢ ¥âáï ª®à-¥¬ ãà ¢-¥-¨ï (1).•®áâ ¢«¥-- ï § ¤ ç à ᯠ¤ ¥âáï - -¥áª®«ìª® íâ ¯®¢:

1)Žâ¤¥«¥-¨¥ ª®à-¥©, â.¥. ãáâ -®¢«¥-¨¥ ¢®§¬®¦-® ¡®«¥¥ â¥á-ëå ¯à®¬¥¦ã⪮¢ [ ; ], ¢ ª®â®àëå ᮤ¥à¦¨âáï ⮫쪮 ¯® ®¤-®¬ã ª®à-î.

2)• 宦¤¥-¨¥ ¯à¨¡«¨¦¥--ëå (£àã¡ëå) §- ç¥-¨© ª®à-¥©.

3)‚ëç¨á«¥-¨¥ ª®à-¥© á âॡ㥬®© â®ç-®áâìî.

•¥à¢ ï ¨ ¢â®à ï § ¤ ç à¥è îâáï - «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¨ £à ä¨ç¥áª¨¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨.

4.1. Žâ¤¥«¥-¨¥ ª®à-¥©

…᫨ ãà ¢-¥-¨¥ f(x) = 0 ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¤¥©á⢨⥫ì-ë¥ ª®à-¨, â® ¯®«¥§-® á®áâ - ¢¨âì â ¡«¨æã §- ç¥-¨© äã-ªæ¨¨ f(x).…᫨ ¢ ¤¢ãå á®á¥¤-¨å â®çª å ¨ äã-ªæ¨ï ¨¬¥¥â à §-ë¥ §- ª¨, â® ¬¥¦¤ã í⨬¨ â®çª ¬¨ «¥¦¨â ¯® ¬¥-ì襩 ¬¥à¥ ®¤¨- ª®à¥-ì.

Š®à¥-ì ¡ã¤¥â § ¢¥¤®¬® ¥¤¨-á⢥--ë¬, ¥á«¨ f0(x) ®¯à¥¤¥«¥- - ®â१ª¥ [ ; ] ¨ á®-
åà -ï¥â ¯®áâ®ï--ë© §- ª.
•à¨¬¥à 6. Žâ¤¥«¨âì ª®à-¨ ãà ¢-¥-¨ï f(x) x3 , 6x + 2 = 0.
							•¥è¥-¨¥
	x	-3	-1	0	1	3
	f(x)	-	+	+	-	+
ˆ¬¥¥¬ 3 ᬥ-ë §- ª					äã-ªæ¨¨ f(x),á«¥¤®¢ ⥫ì-® ãà ¢-¥-¨¥ ¨¬¥¥â 3 ¤¥©á⢨⥫ì-
-ëå ª®à-ï, ª®â®àë¥ «¥¦ â ¢-ãâਠ®â१ª®¢ [,3; ,1]; [0; 1]; [1; 3].

4.2. ƒà ä¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë

„¥©á⢨⥫ì-ë¥ ª®à-¨ ãà ¢-¥-¨ï f(x) = 0 ¯à¨¡«¨¦¥--® ¬®¦-® ®¯à¥¤¥«¨âì ª ª ¡áæ¨ááë â®ç¥ª ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï £à 䨪 äã-ªæ¨¨ f(x) á ®áìî x.• ¯à ªâ¨ª¥ ¡®«¥¥ ¢ë- £®¤-® § ¬¥-¨âì ãà ¢-¥-¨¥ f(x) = 0 íª¢¨¢ «¥-â-ë¬ '(x) = (x),£¤¥ '(x) ¨ (x) | äã-ªæ¨¨ ¡®«¥¥ ¯à®áâë¥, 祬 f(x). €¡áæ¨ááë â®ç¥ª ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï £à 䨪 äã-ªæ¨¨ y1 = '(x); y2 = (x) ¡ã¤ãâ ª®à-ﬨ ¨á室-®£® ãà ¢-¥-¨ï.

•à¨¬¥à 7. ƒà ä¨ç¥áª¨ à¥è¨âì ãà ¢-¥-¨¥ x lg x = 1.

•¥è¥-¨¥

lg x = x1 :

15

y 6

y=1/x

y=lg x

	-
1 2 3	x

•à¨¡«¨¦¥--ë¥ §- ç¥-¨ï ª®à-¥©, - ©¤¥--ë¥ £àã¡®, ¢ ¤ «ì-¥©è¥¬ ãâ®ç-ïîâ á ¯®¬®éìî ª ª®£®-«¨¡® ¨â¥à 樮--®£® ¬¥â®¤ .

4.3. Žæ¥-ª ¯®£à¥è-®áâ¨

„ ¤¨¬ ®æ¥-ªã ¯®£à¥è-®á⨠¯à¨¡«¨¦¥--®£® ª®à-ï. ˆ¬¥¥â ¬¥á⮠⥮६ :

’¥®à¥¬	5. •ãáâì | â®ç-ë©,								| ¯à¨¡«¨¦¥--ë© ª®à-¨ ãà ¢-¥-¨ï f(x) = 0,
								x
- 室ïâáï - ®¤-®¬ ¨ ⮬ ¦¥ ®â१ª¥ [ ; ].
							jf0(x)j m1 > 0; x :
				jf(		)j
					x
’®£¤ j	, xj						.
				m1

„®ª § ⥫ìá⢮ 1. •à¨¬¥-ïï ⥮६㠋 £à -¦ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì f( ) , f(x) = ( , x)f0( );

£¤¥ - ¯à®¬¥¦ãâ®ç-®¥ §- ç¥-¨¥ ¬¥¦¤ã x ¨ , 2 ( ; ). •®«ã稬

jf( ) , f(x)j = j( , x)jjf0( )j:

’ ª ª ª ¯® ®¯à¥¤¥«¥-¨î f( ) = 0 ( | ª®à¥-ì), â®

jf(x)j = j( , x)jjf0( )j )

jf(x)j j( , x)jm1 ) j , xj jf(x)j:

m1

‚ ª ç¥á⢥ m1 ¬®¦-® ¢§ïâì - ¨¬¥-ì襥 §- ç¥-¨¥ jf0(x)j - ®â१ª¥ [ ; ].‘«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¯à¨¢¥¤¥-- ï ®æ¥-ª ¢ à拉 á«ãç ¥¢ ®ª §ë¢ ¥âáï ¢¥áì¬ £àã¡®©. •à¨ à áᬮâà¥-¨¨ ª®-ªà¥â-ëå ¬¥â®¤®¢ à¥è¥-¨ï -¥«¨-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨© ¡ã¤¥¬ 㪠§ë¢ âì ᢮¨ ®æ¥-ª¨ ¯®£à¥è-®áâ¨.

16

4.4. Œ¥â®¤ ¤¨å®â®¬¨¨

„¨å®â®¬¨ï ®§- ç ¥â ¤¥«¥-¨¥ ¯®¯®« ¬. •ãáâì - 諨 â ª¨¥ â®çª¨ x0 ¨ x1, çâ® f(x0)f(x1) < 0, â.¥. - [x0; x1] «¥¦¨â ¯® ¬¥-ì襩 ¬¥à¥ ®¤¨- ª®à¥-ì. • ©¤¥¬ á¥à¥- ¤¨-ã ®â१ª [x0; x1]. •®«ãç ¥¬ x2 = (x0 + x1)=2. …᫨ f(x2) = 0, â® = x2, ¥á«¨ f(x2) =6 0, â® ¨§ ¤¢ãå ¯®«®¢¨- ®â१ª ¢ë¡¥à¥¬ âã, ¤«ï ª®â®à®© ¢ë¯®«-ï¥âáï ãá«®¢¨¥ f(x2)f(x£à -) < 0, â.ª. ª®à¥-ì «¥¦¨â - í⮩ ¯®«®¢¨-¥. ‡ ⥬ ¢-®¢ì ¤¥«¨¬ ¢ë¡à -- -ë© ®â१®ª ¯®¯®« ¬ ¨ ¢ë¡¨à ¥¬ âã ¯®«®¢¨-ã, - ª®-æ å ª®â®à®© äã-ªæ¨ï ¨¬¥¥â à §-ë¥ §- ª¨.

…᫨ âॡã¥âáï - ©â¨ ª®à¥-ì á â®ç-®áâìî ", â® ¯à®¤®«¦¨¬ ¤¥«¥-¨¥ ¯®¯®« ¬ (¥á«¨ ª®-¥ç-® äã-ªæ¨ï ¢ á¥à¥¤¨-¥ ª ª®£®-«¨¡® ®â१ª -¥ ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì), ¯®ª ¤«¨- ®ç¥à¥¤-®£® ®â१ª -¥ áâ -¥â < 2". ’®£¤ á¥à¥¤¨- ¯®á«¥¤ãî饣® ®â१ª ãáâ -®- ¢¨â §- ç¥-¨¥ á âॡ㥬®© â®ç-®áâìî. Œ¥â®¤ ¤¨å®â®¬¨¨ ¯à®áâ ¨ ®ç¥-ì - ¤¥¦¥-. Ž- á室¨âáï ¤«ï «î¡ëå -¥¯à¥àë¢-ëå äã-ªæ¨© f(x), ¢ ⮬ ç¨á«¥ -¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬ëå.

Œ¥â®¤ ãá⮩稢 ª ®è¨¡ª ¬ ®ªà㣫¥-¨ï, -® ᪮à®áâì á室¨¬®á⨠-¥¢¥«¨ª . Š -¥- ¤®áâ ⪠¬ ¬¥â®¤ á«¥¤ã¥â ®â-¥á⨠á室¨¬®áâì ª -¥¨§¢¥áâ-® ª ª®¬ã ª®à-î (¥á«¨ ª®à-¨ -¥ ®â¤¥«¥-ë). •® 㪠§ --ë© -¥¤®áâ ⮪ ¨¬¥¥âáï ã ¢á¥å ¨â¥à 樮--ëå ¬¥- ⮤®¢. „¨å®â®¬¨ï ¯à¨¬¥-ï¥âáï ⮣¤ , ª®£¤ âॡã¥âáï ¢ë᮪ ï - ¤¥¦-®áâì áç¥â , ᪮à®áâì á室¨¬®á⨠¬ «®áãé¥á⢥-- . Œ¥â®¤ ¨-®£¤ ¯à¨¬¥-ï¥âáï ¤«ï £àã¡®£® - 宦¤¥-¨ï ª®à-¥© á ¯®á«¥¤ãî騬 ãâ®ç-¥-¨¥¬ ¯® ¤à㣮¬ã ¬¥â®¤ã á ¡®«ì襩 ᪮-

à®áâìî á室¨¬®áâ¨.

•á¨á⥬ã ãà ¢-¥-¨© ¬¥â®¤ ¤¨å®â®¬¨¨ -¥ ®¡®¡é ¥âáï. •â®â ¬¥â®¤ ®â-®á¨âáï

ª¤¢ãáâ®à®--¨¬ (¨«¨ ª ¤¢ãå è £®¢ë¬) ¬¥â®¤ ¬, â.ª. ¤«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï ®ç¥à¥¤-®£® ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï -¥®¡å®¤¨¬® §- âì ¤¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å.

4.5. Œ¥â®¤ ¨â¥à 権

•¥®¡å®¤¨¬® - ©â¨ ª®à-¨ ãà ¢-¥-¨ï f(x) = 0. ‡ ¬¥-¨¬ íâ® ãà ¢-¥-¨¥ íª¢¨¢ - «¥-â-ë¬ ãà ¢-¥-¨¥¬ x = '(x), çâ® ¬®¦-® ᤥ« âì ¬-®£¨¬¨ ᯮᮡ ¬¨. ‚뢥¤¥¬

-¥ª®â®à®¥ - ç «ì-®¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥ x0		¨ ¢ëç¨á«¥-¨ï ¤ --ëå ¯à¨¡«¨¦¥-¨© ¯à®¢¥¤¥¬
¯® ä®à¬ã«¥
	xn+1 = '(xn):		(1)
…᫨ xn ! x0, â® x0 | ª®à¥-ì ¨á室-®£® ãà ¢-¥-¨ï, â.¥. x0 = . •ãáâì
lim xn = x0	;	lim xn+1	= lim '(xn)
n!1		n!1	n!1

’.ª. '(xn) -¥¯à¥àë¢- , â®

nlim!1 xn+1 = '(nlim!1 xn) ) x0 =

‚ëïá-¨¬ ãá«®¢¨¥ á室¨¬®á⨠¬¥â®¤ . …᫨ äã-ªæ¨ï '(x) ¨¬¥¥â -¥¯à¥àë¢-ãî ¯à®¨§¢®¤-ãî, â® ¯® ⥮६¥ ‹ £à -¦ ¯®«ã稬:

xn+1 , = '(xn) , '( ) = (xn , )'( );

(2)

£¤¥ | -¥ª®â®à ï â®çª , «¥¦ é ï ¬¥¦¤ã xn ¨ . Žâáî¤ - ®â१ª¥ [ ; ], £¤¥ ᮤ¥à¦ âáï ª®à-¨ ãà ¢-¥-¨ï j'0(x)j

ã¡ë¢ îâ -¥ ¬¥¤«¥--¥© ç«¥-®¢ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥áᨨ

¯®«ã稬, çâ® ¥á«¨ ¢áî¤ã q < 1, â® ®â१ª¨ jxn , j á® §- ¬¥- ⥫¥¬ q < 1 ¨

17

¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì fxng á室¨âáï ¯à¨ «î¡ëå - ç «ì-ëå ¯à¨¡«¨¦¥-¨ïå x0 2 [ ; ]. „¥©á⢨⥫ì-®, íâ® ¢¨¤-® ¨§ á®®â-®è¥-¨© ¯®«ãç¥--ëå - ®á-®¢¥ (2):

jxn+1 , j jxn , jq jxn,1 , jq2 : : : jx0 , jqn+1:

…᫨ j'0( )j > 1, â® ¢ ᨫã -¥¯à¥àë¢-®á⨠'(x) ¯®«ã稬 j'0(x)j > 1 ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠ª®à-ï. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¨â¥à 樨 -¥ ¬®£ãâ á室¨âìáï. …᫨ j'0( )j < 1, -® ¢ ¤ «¨ ®â ª®à-ï j'0(x)j > 1, â® ¨â¥à æ¨ï á室¨âáï, ¥á«¨ x0 ¢ë¡à -® ¤®áâ â®ç-® ¡«¨§ª¨¬ ª ª®à-î. •à¨ ¯à®¨§¢®«ì-®¬ x0 á室¨¬®á⨠¬®¦¥â ¨ -¥ ¡ëâì. Žç¥¢¨¤-®, ç⮠祬 ¬¥-ìè¥ q, ⥬ ¡ëáâ॥ á室¨¬®áâì. “á¯¥å ¯à¨¬¥-¥-¨ï ¬¥â®¤ § ¢¨á¨â ®â ⮣® - ᪮«ìª® 㤠ç-® ¢ë¡à - äã-ªæ¨ï '(x). ˆ§ á®®â-®è¥-¨ï

jxn+1 , j jxn , jq );

ç⮠᪮à®áâì á室¨¬®á⨠¢ ¬¥â®¤¥ ¨â¥à 権 «¨-¥©- ï, â.¥. ®âª«®-¥-¨¥ ¯®á«¥¤ãî饣® ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï ®â â®ç-®£® ª®à-ï ¯à®¯®à樮- «ì-® ®âª«®-¥-¨î ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯à¨¡«¨- ¦¥-¨ï ®â â®ç-®£® ª®à-ï. •à¨ í⮬ ª®íää¨æ¨¥-⠯ய®à樮- «ì-®á⨠¬¥-ìè¥ ¥¤¨-

-¨æë. ’¥¯¥àì ¢ëïá-¨¬ ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ªà¨â¥à¨© ¨â¥à 樮--®£® ¯à®æ¥áá , â.¥. ãáâ - -®¢¨¬ ª®£¤ á«¥¤ã¥â ¯à¥ªà é âì ¨â¥à æ¨î. ˆ§ ¢ëà ¦¥-¨ï (xn+1 , ) = (xn , )'0( ), ¯®«ãç¥--®£® ¢ëè¥, ¢¨¤-®, çâ® ¥á«¨ '0(x) < 0,â® ¨â¥à 樨 ®ª §ë¢ îâáï ¯®¯¥à¥¬¥--

-® â® á ®¤-®©, â® á ¤à㣮© áâ®à®-ë ª®à-ï . ‚ í⮬ á«ãç ¥ - 室¨âáï ¬¥¦¤ã §- ç¥-¨ï¬¨ x1 ¨ xn+1 . •®í⮬㠫¨èì ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ ¤«ï ®áâ -®¢ª¨ ¢ë- ç¨á«¥-¨© ¬®¦-® ¨á¯®«ì§®¢ âì ªà¨â¥à¨© jxn+1 , xnj < ", £¤¥ " | § ¤ -- ï â®ç-®áâì. •® 㪠§ --ë© ªà¨â¥à¨© -¥ ¯à¨¬¥-¨¬, ª®£¤ '0(x) > 0, â.¥. ª®£¤ ¨â¥à 樨 á室ïâáï ª ª®à-î ¬®-®â®--®, â.¥. á ®¤-®© áâ®à®-ë. Œ®¦-® ¯®ª § âì, çâ® ¨â¥à æ¨î á«¥¤ã¥â ¯à¥ªà é âì, ¥á«¨ ¢ë¯®«-ï¥âáï ãá«®¢¨¥

	q xn+1 , xn	=		(xn+1 , xn)2	< "
Œ¥â®¤ ¨â¥à 権 ¨¬¥¥â	1 , q		j2xn , xn+1 , xn,1j
	¢ ¦-®¥ ¤®á⮨			-á⢮ á ¬®¨á¯à ¢«ï¥¬®áâ¨. Žè¨¡ª¨ ¢ 室¥

¢ëç¨á«¥-¨© -¥ - ª ¯«¨¢ îâáï. Œ¥â®¤ ãá⮩稢 ¤ ¦¥ ª £àã¡ë¬ ®è¨¡ª ¬, ¥á«¨ ⮫쪮 ®è¨¡ª -¥ ¢ë¡à áë¢ ¥â ®ç¥à¥¤-®¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥ § ¯à¥¤¥«ë ®¡« á⨠á室¨¬®áâ¨. Žè¨¡®ç-ë¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï à áᬠâਢ îâáï ª ª -®¢ë¥ - ç «ì-ë¥.

•à¨¬¥à 8. • ©â¨ ª®à¥-ì ãà ¢-¥-¨ï x3 + x = 1000,«¥¦ 騩 ¢ ¨-â¥à¢ «¥ (9; 10), á â®ç-®áâìî 10,4.

•¥è¥-¨¥ ˆá室-®¥ ãà ¢-¥-¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á -® ¢ ¢¨¤¥

x = 1000 , x3 ¨«¨ x = 1000 , 1 ¨«¨ x = p3 1000 , x ¨ â.¯. x2 x

‚ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ '(x) = 1000 , x3, ¯®í⮬ã '0(x) = ,3x2, §- ç¨â - ¨-â¥à¢ «¥ (9; 10) j'0(x)j > 1. •â®â á«ãç © ¨áª«îç ¥¬ ¨§ à áᬮâà¥-¨ï, â.ª. -¥ ¢ë¯®«-ï¥âáï ãá«®¢¨¥ á室¨¬®áâ¨. ‚® ¢â®à®¬ á«ãç ¥

'0(x) = ,2000x3 + x12 : • ¨-â¥à¢ «¥ (9; 10):j'0(x)j > 1:

18

‚ âà¥â쥬 á«ãç ¥

1

'0(x) =

:

3q(1000

, x)2

3

•®í⮬ã

1

1

'0(x)

= q:

3

j

j

300

3p9902

ˆâ¥à 樮--ë© ¯à®æ¥áá ¡ã¤¥¬ ®áãé¥á⢫ïâì ¯® ä®à¬ã«¥:

3

xn+1 = p1000 , xn;

n = 0; 1 : : :

‚ ª ç¥á⢥ - ç «ì-ëå ¯à¨¡«¨¦¥-¨© ¢®§ì¬¥¬

x0 = 10;

x1 = 9:96655;

x2 = 9:66666;

x3 = 9:66667:

‘ â®ç-®áâìî ¤® 10,4 ¬®¦-® ¯®«®¦¨âì = 9:6667, â.ª. ¢ë¯®«-ï¥âáï ãá«®¢¨¥

j

xn+1

,

xn

j

1

, q "

q

‚ - 襬 á«ãç ¥ q ¨§¢¥áâ-®, ¯®í⮬㠧 ¯¨á - â ª®© ªà¨â¥à¨© ®áâ -®¢ª¨ ¨â¥- à 樮--®£® ¯à®æ¥áá . Ž¤- ª® ¬®£«¨ ¡ë ¨á¯®«ì§®¢ âì ªà¨â¥à¨©, § ¯¨á --ë© ç¥à¥§ ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï xn+1; xn; xn,1:

4.6. Œ¥â®¤ •ìîâ®-

Œ¥â®¤ •ìîâ®- - §ë¢ îâ ¬¥â®¤®¬ ª á ⥫ì-ëå. •ãáâì âॡã¥âáï - ©â¨ ª®à- -¨ ãà ¢-¥-¨ï f(x) = 0. …᫨ áç¨â âì, çâ® ¨§¢¥áâ-® -¥ª®â®à®¥ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¥ xn ª â®ç-®¬ã ª®à-î , â® ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥-¨¥

			0 = f( ) = f[xn , (xn , )]:
•à®¢®¤ï à §«®¦¥-¨¥ ¯à ¢®© ç á⨠¢ àï¤ ’¥©«®à						¢ ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ xn ¯®«ãç ¥¬
f( ) = f(xn) + f0( )(xn	,	), £¤¥ | â®çª , «¥¦ é ï ¬¥¦¤ã xn ¨ .
		0	( ) - §- ç¥-¨¥ ¯à®¨§¢®¤-®© ¢ ¨§¢¥áâ-®© â®çª¥ xn ¯®«ã-
•à¨¡«¨¦¥--® § ¬¥-ïï f
з ¥¬ б«¥¤гойго д®а¬г«г ¤«п ¨в¥а ж¨®--®£® ¯а®ж¥бб :
		xn+1 = xn ,		f(xn)		n = 0; 1 : : :	(1)
					;
				f0(xn)

•à¨ ¯à®¢¥¤¥-¨¨ ¢ë襨§«®¦¥--ëå ¢ëª« ¤®ª ¬ë ¯®« £ «¨, çâ® äã-ªæ¨ï f(x) ¨¬¥¥â -¥¯à¥àë¢-ãî ¯à®¨§¢®¤-ãî.

”®à¬ã«ã (1) ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨ ¯® ¤à㣮¬ã, ¨á¯®«ì§ãï ⥮६㠋 £à -¦ : ,f(xn) = f( ) , f(xn) = ( , xn)f0( ):

ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¨â¥à 樮--ë© ¯à®æ¥áá ¢ ¬¥â®¤¥ •ìîâ®- ®§- ç ¥â § ¬¥-ã - ª ¦¤®© ¨â¥à 樨 £à 䨪 äã-ªæ¨¨ y = f(x) ª á ⥫ì-®© ª -¥¬ã.

19

y6

	-

x2 x1 = x0 x

Œ¥â®¤ •ìîâ®- ¬®¦-® à áᬠâਢ âì ª ª ç áâ-ë© á«ãç © ¬¥â®¤							¨â¥à 樨,
¥á«¨ ¯®«®¦¨âì		f(x)			f(x)f00(x)
'(x) = x ,			: •à¨ í⮬ '0	(x) =		:
		f0(x)			(f0(x))2
•à¨ ¯à®¨§¢®«ì-®¬ - ç «ì-®¬ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¨ x0				[ ; ] ¨â¥à 樨 ¡ã¤ãâ á室¨âìáï
¯à¨ ¢ë¯®«-¥-¨¨ ãá«®¢¨ï	jf(x)f00(x)j < (f0(x))2,2¨¡® -¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë						j'0(x)j <
1, ¢ ¯à®â¨¢-®¬ á«ãç ¥ á室¨¬®áâì ¡ã¤¥â -¥ ¯à¨ «î¡®¬ - ç «ì-®¬ ¯à¨¡«¨¦¥-¨¨,

«¨èì ¢ ®ªà¥áâ-®á⨠ª®à-ï. ‘室¨¬®áâì ¢¡«¨§¨ ª®à-ï ¬®-®â®-- , -® ¢¤ «¨ ®â ª®à-ï ¢®§¬®¦- -¥¬®-®â®--®áâì ¨â¥à 樨.

“ª ¦¥¬ ¥é¥ - ¤®áâ â®ç-ë¥ ãá«®¢¨ï á室¨¬®á⨠¨â¥à 樨.

…᫨ f0(x) ¨ f00(x) ®â«¨ç-ë ®â -ã«ï - ®â१ª¥ [ ; ] ¨ á®åà -ïîâ - -¥¬ ®¯à¥¤¥-

«¥--ë¥ §- ª¨, â® ¨áå®¤ï ¨§ - ç «ì-®£® ¯à¨¡«¨¦¥-¨ï x0 2 [ ; ], 㤮¢«¥â¢®àïî饣® -¥à ¢ ¥-áâ¢ã f(x0)f00(x0) > 0, ¯®«ã稬 ¬¥â®¤®¬ •ìîâ®- §- ç¥-¨¥ ª®à-ï á «î¡®© â®ç-®áâìî. ˆáå®¤ï ¨§ ®â¬¥ç¥--®£® § ª«îç îâ, çâ® ¢ ª ç¥á⢥ x0 ¬®¦-® ¢§ïâì â®â ª®-¥æ ®â१ª [ ; ], ¤«ï ª®â®à®£® f(x) ¨ f00(x) ¨¬¥îâ ®¤¨- ª®¢ë¥ §- ª¨.

…᫨ f(x0)f00(x0) < 0, â® ¬®¦-® -¥ ¯à¨©â¨ ª ª®à-î , ¥á«¨ ⮫쪮 x0 -¥ ®ç¥-ì

å®à®è¥¥.

’¥¯¥àì ®æ¥-¨¬ ᪮à®áâì á室¨¬®á⨠¨â¥à 樮--®£® ¯à®æ¥áá

¢ ¬¥â®¤¥ •ìîâ®- .

ˆá¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã ’¥©«®à

¬®¦¥¬ § ¯¨á âì:

0 = f( ) = f[xn + (

, xn)] = f(xn) + f0(xn)( , xn) +

f00( )

( , xn)2:

2!

ˆ§ ¯®«ãç¥--®£® à ¢¥-á⢠- 室¨¬ :

f(xn)

f00( )

= xn ,

,

( , xn)2:

f0(xn)

2f0(xn)

‘ ãç¥â®¬ (1) ¯®á«¥¤-¥¥ ¢ëà ¦¥-¨¥ ¯¥à¥¯¨è¥¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:

f00( )

, xn+1 = ,

( , xn)2

2f0(xn)

M2

j , xn+1j

j , xnj2;

(2)

2m1

20