Metodicheskie
.PdfH(x, x) a x2 |
a xx a x2 |
, |
|
11 |
12 |
22 |
|
то все решения уравнения с достаточно малыми начальными условиями x(0) c, x(0) 0 есть периодические функции t. Каждое такое решение является
аналитической функцией параметра с.
Сформулированная теорема позволяет искать период периодического решения уравнения
x 2 x f (x, x)
в виде
T 2 (1 ch c2h c3h ) |
||
1 |
2 |
3 |
и вводить новое время по формуле
t (1 ch |
c2h |
c3h ) , |
(8.9) |
1 |
2 |
3 |
|
не вводя малого параметра . При этом решение x( ) следует искать в виде ряда
|
|
x( ) ck xk ( ) |
(8.10) |
k 1
Заметим, что если в уравнении не присутствует явно малый параметр и при этом в окрестности состояния равновесия выполнены условия теоремы Ляпунова, то для поиска периодического решения можно либо воспользоваться его разложимостью в ряд по начальным отклонениям с (формулой (8.10)), либо ввести малый параметр и использовать разложение по степеням малого параметра.
Пример 8.2. Найти приближенно периодическое решение уравнения Дуффинга
x x x3 0, x(0) c, x(0) 0 . (8.11)
Для решения задачи можно ввести малый параметр:
x y y y 3 y3 y y 2 y3 .
Здесь считаем малым. Теперь можно воспользоваться рассмотренной выше процедурой отыскания решения уравнения с малым параметром.
Заметим, что уравнение Дуффинга обладает аналитическим первым
интегралом, |
|
для |
которого выполнены условия теоремы Ляпунова: |
||||
H (x, x) |
x2 |
|
|
x2 |
|
x4 |
C . Поэтому данное уравнение можно решать, выполнив |
|
|
|
|||||
2 |
|
2 |
4 |
|
замену переменных (8.9) и отыскивая решение в виде ряда (8.10) по степеням начального возмущения с.
Выполним замену (8.9). Тогда
|
d 2 x |
|
d 2 x |
|
1 |
|
|
dt2 |
|
d 2 (1 ch c |
2h )2 |
||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
и уравнение примет вид |
|
|
|
|
|
d 2 x |
(x3 x)(1 2ch |
2c2h |
c2h2 |
c4h2 |
2c3h h |
) |
(8.12) |
|
d 2 |
||||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
1 2 |
|
|
53
Решение x( ) будем искать в виде ряда (8.10). После двукратного дифференцирования и подстановки этого ряда в уравнение (8.12) будем иметь:
cx c2 x c3 x |
(c3 x3 |
3c2 x2 |
c2 x 3cx c4 x2 |
c6 x3 |
|
|
||||||
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
cx |
c2 x |
c3 x )[1 2ch c2 (2h |
h2 ) 2c3h h |
c4h2 |
]. |
|
|
|||||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях с в обеих частях последнего равенства, получим
x1 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 x2 2x1h1 |
|
|
|
|
(8.13) |
||
x x x (2h h2 ) x3 |
|
||||||
2h x |
|||||||
3 |
3 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
Начальные условия для этих уравнений определяются так:
x1 (0) 1, x1 (0) x2 (0) x2 (0) |
0 |
|
(8.14) |
|
Первое из уравнений (8.13) |
будет иметь общее |
решение |
вида |
|
x1 ( ) Acos B sin . Из начальных условий находим, что |
A 1, B 0 . |
Итак, |
||
x1 ( ) cos . Второе уравнение тогда примет вид |
|
|
|
|
x2 x2 |
2h1 cos . |
|
|
|
Для того, чтобы это уравнение имело периодическое решение, в его правой части должны отсутствовать резонирующие члены. Это имеет место лишь при h1 0 . Таким образом, для x2 получаем уравнение x2 x2 0 , из которого, с
учетом начальных условий (8.14), находим x2 ( ) 0 . Для x3 ( ) получаем уравнение
x3 x3 2h2 cos cos3 .
Запишем условия отсутствия резонирующих членов в правой части этого уравнения:
2
( 2h2 cos cos3 ) cos d 0,
0
2
( 2h2 cos cos3 )sin d 0.
0
Второе из выписанных соотношений всегда выполнено, а первое дает условие
( 34 2h2 ) 0 h2 83.
Итак, x3 ( ) следует искать из уравнения:
x3 x3 34 cos cos3 14 cos3 .
Отыскивая 2 -периодическое решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям x3 (0) 0, x3 (0) 0 , получим:
x3 ( ) 321 cos 321 cos3 .
54
Итак,
|
|
x( ) c cos c |
3 |
|
1 |
|
cos |
1 |
|
|
cos3 |
|
o(c |
4 |
) . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Учитывая (8.9), окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) c cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
o(c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 c |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||
c3 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o(c3 ) |
||||
32 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
c |
|
o(c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
c |
|
o(c |
) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 8.3. Найти приближенно периодическое решение уравнения: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x x (4 x2 )x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Выполним замену времени |
|
|
|
|
|
|
t (1 h h 2 |
|
h n ) . Тогда в |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
||
новом времени исходное уравнение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x (1 h h 2 |
|
|
h n |
|
|
)2 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.15) |
|
|
|
|
(1 h h 2 |
|
|
h n |
|
|
)(4 x2 )x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение уравнения (8.15) будем искать в виде ряда (8.5). При этом будем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
искать решение с начальными условиями x(0) c, x(0) 0.Тогда: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x0 (0) c, x0 (0) x1(0) x2 (0) |
|
|
0 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Здесь x0 ( ) |
– решение порождающего уравнения, то есть уравнения (8.15) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
при 0 . Поэтому x0 ( ) c cos . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая коэффициенты при 1 в обеих частях равенства (8.15), найдем
x1 x1 (4 x02 )x0 2h1x0
Учитывая вид x0 ( ) , получим
x x |
(4 c2 cos2 )csin 2h ccos |
(8.16) |
|
1 |
1 |
1 |
|
Найдем условия существования периодического решения у уравнения (8.16). Для этого запишем соотношения (8.7). Чтобы записать это соотношение, нужно последовательно умножить правую часть уравнения (8.16) на sin и cos и, проинтегрировав полученные выражения, приравнять интегралы в нулю. В данном случае (убедиться в этом самостоятельно) результатом реализации описанных операций будут соотношения:
c 4 1 c2 0, h1 0.4
Таким образом, c = 0 или ń 4 . Для c = 0 получаем тривиальное решение порождающего уравнения, которое остается решением исследуемого уравнения при любом . Для c = 4 получаем периодическое решение
55
порождающего уравнения x0 ( ) 4cos . Тогда для определения |
x1 ( ) будем |
||||||
иметь уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 cos 2 |
|
|
x1 x1 (4 16cos |
|
)4sin 16 |
1 |
4 |
|
sin |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
16(sin 2cos 2 sin ) 16sin3 .
Итак, для x1 ( ) получаем уравнение
x1 x1 16sin 3 . |
(8.17) |
Общее решение последнего уравнения имеет вид:
x1 ( ) C1 cos C2 sin Asin 3 B cos3 .
Дважды дифференцируя это выражение и подставляя в (8.17), найдем значения
А и В:
A 2, B 0 x1 ( ) C1 cos C2 sin 2sin 3 .
Используя начальное условие x1 (0) 0 , находим C2 6 .
Итак, x1 ( ) C1 cos 6sin 2sin 3 . Теперь, приравнивая коэффициенты при 2 слева и справа в (8.15), найдем (учитывая, что h1 0 ):
x2 x2 2h2 x0 (4 x02 )x 2x0 x1x0 .
Подставляя найденные выше значения x0 ( ) и x1 ( ) , получим
x2 x2 8h2 cos 16sin 64sin cos2 32C1 sin cos2256cos 512cos3 256cos5 F .
Запишем условия существования периодического решения для последнего уравнения
2 |
|
|
|
|
|
|
F ( ) cos d 8h2 |
32 0, |
C1 |
0, |
|
0 |
|
|
|||
2 |
|
|
h2 4. |
||
|
F ( )sin d 8C1 0 |
||||
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
Теперь окончательно можем записать x1 ( ) 6sin 2sin 3 , h2 4. Выпишем, наконец, приближенное решение исходного уравнения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) 4cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
4 |
2 |
o( |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
6sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin 3 |
|
|
|
|
|
|
|
o( 2 ). |
||
1 |
4 |
2 |
o( |
2 |
|
1 4 |
2 |
o( |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
Используя пакет Mathcad, сравним полученное решение с решением исходного уравнения методом Рунге-Кутта на периоде [0, 2 ].
56
Исследуемое уравнение: x x (4 x2 )x
: 0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
3 t |
|
|
|
y(t) : 4 cos |
|
|
|
|
|
|
6 |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
sin |
|
|
|
1 4 |
2 |
|
|
4 |
2 |
|
1 4 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
g(t) : |
d |
|
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t : 0,0.01 .. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x : |
y(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
D( , x) : |
|
|
|
(4 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
g(0) |
|
|
|
|
x0 |
x0 )x1 |
|
|
|
||||||||||
Z : rkfixed (x,0, 2 ,300, D) |
|
|
i : 0..300 |
|
|
|
График для =0.07 (жирная линия – решение методом Рунге-Кутта)
График для =0.1 (жирная линия – решение методом Рунге-Кутта)
57
Задание 7
Методом Пуанкаре найти приближенно периодические решения данных
уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
x 3x 2sint x2. |
18. |
x x (1 x2 )x. |
|
|||||||||||
2. |
x 7x 3cost x2. |
19. |
x x (x2 16)x. |
||||||||||||
3. |
x 5x cos 2t x2. |
20. |
x x (8 5x2 )x. |
||||||||||||
4. |
x 2x 5sin 2t x2. |
21. |
x x (2 x2 )x. |
||||||||||||
5. |
x 3x x3 |
2 cost. |
22. |
x x (x x3 ). |
|
||||||||||
6. |
x 5x sint x2. |
23. |
x x (2 3x2 )x. |
||||||||||||
7. |
x 2x x3 sin 2t. |
24. |
x x [(1 2x2 )x x2 ]. |
||||||||||||
8. |
x x2 |
1 sint. |
25. |
x x [(x2 |
2)x x2 ]. |
||||||||||
9. |
x x2 |
4 2 cos2t. |
26. |
x x [(2x2 5) 4x2 ]. |
|||||||||||
10. |
x sin x sin 2t. |
27. |
x x |
2 |
16 4 cos2t. |
||||||||||
11. |
x sin 2x cost. |
|
|||||||||||||
28. |
x x2 |
4 sin 2t. |
|||||||||||||
12. |
x x x2 0. |
29. |
x 3x 2cos2t x2. |
||||||||||||
13. |
x x 2x3 |
0. |
30. |
x 5x x3 |
2 sint. |
||||||||||
14. |
x x 4x2 |
0. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
||||||
15. |
x 2x 3x |
3 |
0 |
31. |
x 4x |
|
|
||||||||
|
x |
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
16. |
x sin x 0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||
17. |
x x sin x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58
Библиографический список
1.Боровских А.В., Смагина Т.И.,Тананика А.А., Федотенко Г.Ф. Задания для самостоятельной работы студентов по дифференциальным уравнениям. Части 1 и 2. Издательство Воронежского университета. 1991. – 40 с.
2.Болгов В.А., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. М. "Наука". 1981. – 368 с.
3.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М. "Наука". 1967. – 472 с.
4.Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории нелинейных колебаний. Часть 1. Изд.-во Санкт-Петербургского университета. 1992. – 366 с.
5.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. "Наука". 1970. –279 с.
6.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. "Наука".
1970. – 331 с.
7.Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М. "Наука". 1977. – 256с.
8.Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. М. "Высшая школа". 1989.– 383 с.
9.Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М. "Наука". 1980. – 230 с.
10.Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. "Наука".
1980. – 350 с.
11.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М. "Интеграл-пресс". 1998. – 207 с.
12.Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. "Мир". 1970.
720 с.
59