TR_Integraly

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Ва р и а н т 21

1.Найдите неопределенные интегралы:

а)

2x dx

2x3

6x2

7x 4

; б) arctg

4x 1 dx ; в)

dx ;

3

2 3

3

x 2

x

г)

x3 5x2 12x 4

dx ; д)

dx

.

x 2 x2 4

cos2 x 3sin2 x sin x cos x

2. Вычислите определенные интегралы:

1	x	1 dx ; б)	3				dx						x
а)												; в) 2 3x cos		dx .
										3			3
		x2 1	1				x	2
0					1						0

3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

а) x 72 y2 , 6x y2 ; б) x t sin t, y 1 (одна арка циклоиды); y 1 cost,

в) 2 sin 2 .

4. Вычислите длины дуг кривых:

а) y ex между прямыми x 0, x 1;

	x 8	cost t sin t ,	0 t		; в) 2 , 0		5
	б) y 8	sin t t cost ,							.
				4			12

5. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x 1 2 , y 1, вокруг оси OX .

6. За какое время жидкость вытечет из сосуда, имеющего форму правильной пирамиды, если площадь основания пирамиды S, высота H, площадь малого отверстия в дне сосуда s?

										dx				3		dx
7.	Вычислите несобственные интегралы а)													; б)				.
																x 3	2
								x 1 x2
						1								0
8.	Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
								1	3x2 1
		5 x 3x
	а)						dx ; б)								dx .
											3
			x x 2						arctg
	3							0				x

21

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Ва р и а н т 22

1.Найдите неопределенные интегралы:

а)

dx

; б) 3x 4 e3xdx ; в)

2x3 6x2 7x

dx ;

cos

2

x

3

tg x 1

x 2 x 1

x3 6x2

8x 8

dx ; д)

dx

г)

.

x 2 x2 4

5 sin x cos x sin2 x

2. Вычислите определенные интегралы:

2

а) e3sin x 1 cos xdx ; б)

0

2	2		dx
cos x log2 sin x dx ; в)									.
					2		3
	0			x
		16
6

3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

x

x 8cos3

2

2

а) y

24 x

, x

2 3y, x 0

0 ; б)

3

y 8sin

в) 3 cos2 .

4. Вычислите длины дуг кривых:

2 sin t 2t cost,

2

x2 y2

r2

x t

а)

, r 0 ; б)

t2 cost 2t sin t,

y 2

в) 2 , 0 125 .

t,	x 1 x 1 ;
t,

0 t 2 ;

5.Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x3, y x2 , вокруг оси OX .

6.Стержень длины L равномерно заряжен ( – линейная плотность). На продолжении стержня, на расстоянии a от него находится элементарный заряд. С какой силой взаимодействуют заряженный стержень и заряд? Разделяющей средой служит воздух.

7. Вычислите несобственные интегралы а) 2x 1 sin xdx ; б)

				2
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
3				1
		x arctg x dx				2arctg x
а)					; б)			dx .
						10
		x3 3x 2
1				0		ex	1

		dx
			.
		1 cos x
	2

22

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Ва р и а н т 23

1.Найдите неопределенные интегралы:

а)

2 3x

dx ; б) arctg

x3

6x2 10x 52

6x 1 dx ; в)

dx ;

x

2

1

3

x 2 x 2

г)

x3 9x2 21x 21

dx ; д)

dx

.

x 3 2

x2

3

5sin x 8cos x 2

2. Вычислите определенные интегралы:

e 2

cos ln x

2

x4dx

6

а)

dx ; б)

; в) 2x sin 3x dx .

x

8 x2

3

1

0

0

3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

3

x 9cost,

2

а) y 3

x, y

, x 4 ; б) y

4sin t, y 2

y 2 ; в) 4sin

2

.

x

4. Вычислите длины дуг кривых:

а)

y2 4x,

заключенной между точками 0; 0 ,

5

;

;

5

4

x 4cos3 t,

t

; в) 4 , 0

3

б)

3

t,

.

6

4

4

y 4sin

5.Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x 2 2 , y 2 , вокруг оси OX .

6.Шар радиусом R с удельным весом погружен в воду так, что он касается по-

верхности. Какую работу надо совершить, чтобы извлечь шар из воды?

														3		dx
7.	Вычислите несобственные интегралы: а)						e x dx ; б)												.
																4x x2
						0								1			3
8.	Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
						1
			sin 5x dx					5arcsin 3 x
	а)				; б)									dx .
		3						3x			2
			x5 8x4 2									1
	1					0

23

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Ва р и а н т 24

1.Найдите неопределенные интегралы:

а)

dx

; б)

e 2x 4x

5 dx ; в)

x3

6x2 13x 6

dx ;

x ln

2

3

x

x 2 x 2

г)

3x3 6x2 5x 1

dx ; д)

dx

.

x 1 2 x2 2

3sin x 2cos x 5

2. Вычислите определенные интегралы:

0

x 1

6

3

tg

x2 9

1/ 2

а)

dx ; б)

dx ; в)

x2 arcsin x3dx .

cos

2

x 1

x

4

1

3

0

3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

x2 y2 12, x

y2 x 0 ;

а)

6

x 8

t sin t

,

y 12

одна арка циклоиды ; в) 1 cos

б) y 8

1 cost ,

2

, 0

4

.

4. Вычислите длины дуг кривых:

			1	ex e x , заключенной между точками						1
	а)	y						A 0; 1 , B			;
			2							2
				б) x et cost sin t ,	0 t	3	; в) 3 ,		0
				y et cost sin t ,		2

e0,5 e 0,5

; 2

43 .

5.Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x 1 3 , y 1, y 0 , вокруг оси OX .

6.За какое время жидкость вытечет из конической воронки, если радиус верхнего основания R, радиус нижнего отверстия r, а высота воронки H?

							dx								2
7. Вычислите несобственные интегралы а)												; б) ctg xdx .
					2		x
			0,5	x							1				0
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
							3
		cos2 x		1				x	2		1
а)			dx ; б)				5								dx .
1		x8 3x5 1		0 ln 1									x

24

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Ва р и а н т 25

1.Найдите неопределенные интегралы:

а)

tg x 1 dx

; б)

ln x2

4 dx ; в)

x3 6x2 13x 6

dx ;

cos2 x 1

x 2 x 2 2

г)

x3 6x2 9x 6

dx ; д)

dx

.

x 1 2 x2

2x 2

3cos x 5sin x 1

2. Вычислите определенные интегралы:

1

1

arccos x

3

2

2

1

2

а)

dx ; б)

4 x2 dx ; в) 4x 1 51 2x dx .

1 x2

0

0

0

3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

2

2

x 24cos3 t,

а) y x

2x, y x

2x 6 ; б)

x 9 3

x 9 3 ;

y 2sin

3

t,

в) 3 sin 2 .

4. Вычислите длины дуг кривых:

а) 9 y2 4x3, заключенной между точками O 0;0 , A 3;2

;

3

x 2

t sin t ,

12

б)

y 2

1 cost , 0 t

2

; в) 5 ,

0

.

5

5. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x, y 1 x, y 0 , вокруг оси OX .

6. Вычислите силу, с которой вода давит на прямоугольную пластинку высотой a, ширины b, вертикально погруженную в воду и касающуюся поверхности воды верхней стороной.

								1
							0
								e x dx												dx
7. Вычислите несобственные интегралы а)													; б)								.
								2											2	3x 10
						1				x							6	x
8. Исследуйте сходимость несобственных интегралов:
	cos		1	dx			1
										e x			1
а)			x			; б)											dx .
														3
	5 x10 5x
1							0 arcsin								x

25