Alg_1_-1

11

3)Записать в показательной и тригонометрической форме каждое значение wk (k = 0; 1; : : : ; m¡1) корня степени m = 3 (нечетные варианты) или m = 4 (четные варианты) из числа z.

4)Изобразить число z и числа wk на одной комплексной плоскости.

N										z												N																			z																		N																			z
				1 + 3ip																									1 + ip																																						1 + ip
														3																														3																																				3
1				3 ¡ 5ip																		2						3 ¡ 3ip																															3
																																																																						3 ¡ 3i
														3																															3
4				¡2 + 10i																		5							¡5 + 5i																														6								¡5 + 5i
						3 ¡ 2i																							3 ¡ ip3																																				2 ¡ 2ip3
		p					¡ ip																			p										¡ ip																												p												¡ ip
7						6								50								8									6														18														9											6											6
	p									+ ip														(p		¡p				5) + i(p																15+p															p															+ ip
					15									20											15																													5)												30															10
				¡p									¡ i														¡p																¡ 3i
10										3												11																	3																				12								¡3 ¡ 3i
					1 + ip3																														1 + i																																1 + ip3
	p									+ ip																p												+ ip																							p															+ ip
					11									33															11																11																					11															33
13		p								+ ip												14		(p		¡p				7) + i(p																21+p													15					p												+ ip
						21								7											21																													7)																	7										7
			¡7p										¡ 7i														¡7 ¡ ip																																					¡7 ¡ 7ip
16										3												17																							3														18																								3
						p3 ¡ i																							6 ¡ ip3																																											1 ¡ i
							3 + i																										4 + 4i																																						4 + 4i
19																						20						3 ¡ 3ip																															21							3 ¡ ip
						6 ¡ 3i
																																													3																																			3
	¡p									¡ ip																¡p															¡ ip																						¡p															¡ ip
22						2								18								23														2											2												24														2										2
		p5 ¡ ip20																						(p15¡p5) ¡ i(p15+p5)																																							p15 ¡ ip5
						p						+ i																			p											+ i
										3																												3																																		1 + i
25						p																26																																					27																				ip
																																		1 ¡ i
										3			i																																															1																				3
			p									¡ p														p																		p																				p					¡											p
28	¡ 39 + i 13																					29				¡ 39 + i																		13															30		¡ 39 + i																			13
			p7 ¡ ip21																					(p21¡p7) ¡ i(p21+p7)																																								p7 ¡ ip7

Задача 3. Дан многочлен p(z) = az4 + bz3 + cz2 + dz + e.

1)Найти все корни многочлена p(z). Записать каждый корень в алгебраической форме, указать его алгебраическую кратность.

2)Разложить многочлен p(z) на неприводимые множители: а) в

множестве C комплексных чисел; б) в множестве R действительных чисел.

12

•	a	b	c	d	e	•	a	b	c			d	e
1	3	¡1	¡7	¡5	¡2	2	1	3	1			0	4
3	1	2	¡10	¡11	¡12	4	2	11	13			¡3	9
5	5	¡8	3	¡2	2	6	1	1	10			9	9
7	4	20	41	40	16	8	4	4	5			2	1
9	5	¡2	22	¡8	8	10	3	¡5	6			¡3	1
									4p
11	1	0	2	0	4	12	1	0		3		0	12
			¡6						3p				¡12
13	9	0		0	4	14	1	0		3		0
15	4	0	¡2	0	1	16	1	¡3	¡8			¡9	¡5
17	1	1	¡3	¡4	¡4	18	1	1	¡2			¡4	¡8
19	1	2	¡7	¡18	¡18	20	1	¡3	¡5			¡21	¡20
21	3	¡1	5	3	2	22	1	2	7			6	5
23	1	3	8	8	8	24	1	1	10			9	9
25	1	¡2	8	3	18	26	1	0	1			0	1
27	1	0	3	0	9	28	1	0	¡1			0	1
29	1	0	¡9	0	81	30	1	0	4			0	16

Указания.

1) В вариантах 1 5, 16 20 найти целые корни многочлена. 2) В вариантах 6 10, 21 25 известен корень z1:

•	6					7					8				9			10
					¡5 ¡ ip						¡1 + ip								1 + ip
z1		3i						7				7			2i					3
						4					4				¡			2
•	21					22					23				24			25
		1 + ip				1 + ip					p				1 + ip				3 + 3ip
			2				19									3					3
z1		¡			¡						1 + i 3			¡
						2									2			2
	3										¡

Задача 4. Пусть Pn линейное пространство многочленов степени не выше n с действительными коэффициентами. Множество

M ½ Pn состоит из всех тех многочленов p(t), которые удовлетво-

ряют указанным условиям.

1) Доказать, что множество M подпространство в Pn.

2) Найти размерность и какой-либо базис подпространства M. 3) Дополнить базис подпространства M до базиса Pn.

13

Замечание. Çíàê p(t) . q(t) означает, что многочлен p(t) делится на многочлен q(t) без остатка.

•	n	Условия на p(t) 2 M				•	n	Условия на p(t) 2 M
1	3	p(¡1)			= p(1)	2	3	p0(¡1) = p0(1)
3	3	p(¡2)			= 0	4	4	p(¡2) = p(3) = 0
5	4	p(2 ¡ i) = 0				6	3	p0(1) = 0
7	3	p(0) + p0(¡1) = 0				8	4	p(i ¡ 1) = 0
9	4	p(t) . (t ¡ 3)2				10	3	p00(1) = 0
11	4	p(t) . (t2 + t + 1)				12	3	p(1) = p(2) = 0
13	3	2p(0) + p(1) = 0				14	3	p(¡1) + p(0) + p(1) = 0
15	3	p(0) + p0(2) = 0				16	3	p(2) = p(¡2)
17	4	p(1) = p00(0) = 0				18	3	p(2) = 0
19	4	p(2) = p0(0) = 0				20	4	p(1 + i) = 0
21	3	p0(¡1) = 0				22	3	p0(0) + p(1) = 0
23	4	p(2 + i) = 0				24	4	p(¡1) = p0(¡1) = 0
25	3	p00(1) + p0(0) = 0				26	4	p(t) . (t2 + 4t + 5)
27	3	p(	¡	1)	+ p00(0) = 0	28	3	p( 1) = 2p(0)
								¡
29	3	p(	¡	1)	+ p0(0) + p(1) = 0	30	4	p00(0) = p(	¡	1) = 0

Задача 5. Доказать, что множество M образует подпростран-

ство в пространстве Mm£n всех матриц данного размера. Найти размерность и построить базис M. Проверить, что матрица B ïðè-

надлежит M и разложить ее по базису в M.

•	M множество матриц указанного вида															B	¡3		¡1	1
1	матричного	0	0	0	0	1		X =		0		0	0	1		0
	Решения	@	1	0	1	A ¢				@		0	0	A		@		1	1	A
	уравнения		2	0	2							0	0					1	1
2	матричного	0	2		2	2	1		¢X =			0	0	0	1	0	¡1		¡0	1
	Решения		1		1	1							0	0				2	3
	уравнения	@¡3 ¡3 ¡3					A					@	0	0	A	@	¡1		3	A
3	перестановочные			A =		0	0		0	1	1					0	0	1	¡2	1
	Матрицы,					@	0		1	0	A					@	1	2	1	A
	с матрицей						0		0	0							0	0	1

14

•	M множество матриц указанного вида										B	3		¡0		3			1
4	перестановочные A =		0	0	1	0	1				0
	Матрицы,		@	0	0	1	A				@	2			1	1			A
	Матрицы,												1		2
	с матрицей			1	0	0						1		¡1		2
5	антиперестановочные		A =		0	1	0	0	1		0											1
												¡2 ¡1 ¡3
					@	0	1	0	A		@			¡2						3		A
	Матрицы,					0	1	0				2				3
	с матрицей					0	0	1				¡1			1					0
6	антиперестановочные				0				1		0								1
			A =			0	0	1				0		¡2		2
	с матрицей				@				A		@	1			2				A
						0	0	0				0			0	2
7	Симметричные матрицы 3-го порядка										0	2			3	¡2						1
											@								0			A
												0			2				0
													0¡3
																	1
8	Кососимметричные матрицы 3-го порядка										0	¡3			0	¡0					1
											@		1		40		0				A
9	Верхнетреугольные матрицы 3-го порядка											1				0
											0	0 ¡2				2		1
	Матрицы 3-го порядка с нулевыми										@	0	3		1		0A
	с нулевым следом														0	1
10	суммами элементов вдоль главной										0	¡1			0		2			1
	и побочной диагоналей										@		2		3¡				3A
11	элементов вдоль любой строки и										0		0		4		3					1
												¡1			¡1				2
	Матрицы 3-го порядка, у которых суммы										@					¡				3 A
	вдоль любого столбца одинаковы												3		0
12	элементов вдоль любой строки и										0		1		4				3			1
												¡2			4 ¡2
	Матрицы 3-го порядка, у которых суммы										@ ¡			¡		¡						A
	Матрицы (2 3),
	вдоль любого столбца равны нулю												1		4					5
13	у которых суммы элементов в обеих										µ ¡3				3	¡3					¶
		£											4		7			8
	строках одинаковы
14	перестановочные A =		0	0	0	0	1				0	0	¡1			0		1
	Матрицы,		@	0	1	0	A				@	1			1	0		A1
	Матрицы,					1							0		1
	с матрицей			0	0	1						0			0	2
15	антиперестановочные		A =		0	0	0	1	1		0		1		¡2					3		1
					@		0	0	A		@ ¡1											A
	с матрицей					0	1	0							¡3 ¡2

15

•	M множество матриц указанного вида															B				3		¡1
16	матричного	X		0	0	0		¡0 1 =				0	0		0	¡1
	Решения				1	0			1			0	0		0	µ	2			1				2		¶
	уравнения		¢		1	0			1		µ				¶
				@¡1					1A
17	матричного	X				1					=	0		0	0	¡1				¡2				¡1
				0	0 ¡0				0	1
	Решения											0		0	0	µ	1				2				1			¶
	уравнения		¢	@¡	1	1			1	A0		µ			¶					¡
								¡0				1				0												1
18											0								3				0			0
	перестановочные				A =		0		1	0	0						¡2						3			0
	Матрицы,						@					A				@				2¡0								A
	с матрицей								0	0	1						3		2
19	перестановочные				A =		0		0	1	0	1				0	0 ¡1						2			3
									0	1	0												2		1
	Матрицы,						@					A0				@						03			0A
	с матрицей								0	0	0		0				0	2		2
20	антиперестановочные							A =		0	1	0	0	1		0	¡1 ¡2								0		1
											1
	Матрицы,									@				A		@											A
	Матрицы,										0	0	1				2		0				2
	с матрицей										0	1	0				¡1					1			2
21	антиперестановочные									0				1		0					¡0				1
								A =			0	1	0				0		0
	с матрицей									@	0	0	1	A		@	0		0				0		A
22	нулевыми суммами элементов из первого															0	¡1			¡1 ¡2								1
	Симметричные матрицы 3-го порядка с															@		2				1 ¡1						A
	и третьего столбцов																¡1 ¡2									3
23	с нулевой суммой элементов из первой															0								¡3
																	¡2				0							1
	Кососимметричные матрицы 3-го порядка															@			0		2			¡2				A
	строки																		1		0					0
24	с нулевым следом и нулевой суммой															0			2		3					0		1
																			4		2					0
	Нижнетреугольные матрицы 3-го порядка															@ ¡								¡				A
	Симметричные матрицы 3-го порядка, у
	элементов по побочной диагонали																		2		5					3
25	которых одинаковы суммы элементов в															0		1 ¡1							¡0			1
	знакочередуются																	0				1				1		A
																@ ¡1						0				1
	строках, а суммы элементов в столбцах
26	Симметричные матрицы 3-го порядка, у															0	0				1 ¡1						1
	которых одинаковы суммы элементов в
	знакочередуются															@	0				0				0		A
																	0 ¡1								1
	столбцах, а суммы элементов в строках

16

•	M множество матриц указанного вида							B	¡3		¡2			1	1
27	которых сумма элементов любого столбца							0
	Симметричные матрицы 3-го порядка, у							@		3		3	¡	0	A
	равна 0									2		3
										0		1		1
28	Матрицы 3 £ 2, у которых суммы			1	0	0		0	¡1		¡0		1
	Симметричные матрицы,							@	0	1		1	A
	элементов в обоих столбцах равны 0								¡1			3
29	перестановочные	A =	0	0	0	1	1	0	1	2		3 1
	с матрицей		@	0	1	0	A	@	2		0	0A
30	антиперестановочные	A =	0	0	1	0	1	0	1	3		2	1
				0	0	1			0		2	0
	Симметричные матрицы,		@				A	@		¡0			A
	с матрицей			0	1	0			0			2

Задача 6*. Доказать, что множество M функций x (t), задан-

ных на области D, образует линейное пространство. Найти его размерность и базис.

	•âàð.	Множество M	D
		(®; ¯; °; ± - любые вещественные числа)
	1, 18	M = f® + ¯cht + °sht + ±et }	(¡1; +1)
	2, 19	M = f®et + ¯e2t + °e3t}	(¡1; +1)
	3, 20	M = f® + ¯ cos t + ° sin t + ± cos2(t=2)g	(¡¼; ¼)
	4, 21	M = f®e¡t + ¯sht + °et + ±g	(¡1; +1)
	5, 22	M = f®et + ¯tet + (¯ ¡ ®)t2et + °t3etg	(¡1; +1)
	6, 23	M = f®=t + ¯ + °t + ±(2t2 ¡ 1)=2g	(0; 1)
	7, 24	M = f® cos t + ¯ sin t + ° sin 2tg	(¡¼=2; ¼=2)
	8, 25	M = f® + ¯tgt + °ctgtg	(0; ¼=2)
	9, 26	M = f®e¡t + ¯cht + °sht + ±g	(¡1; +1)
	10, 27	M = f®e¡t + (¯ ¡ ®)te¡t + °t2e¡t + ®t3e¡tg	(¡1; +1)
	11, 28	M = f® cos 2t + ¯ sin 2t + ° sin2 t + ±g	(¡¼=2; ¼=2)
	12, 29	M = f® ln t + ¯ + °t + ± ln 3tg	(0; +1)
	13, 30	M = f® + ¯tg2t + ° sec2 t + ±ctg2tg	(0; ¼=2)
	14, 16	M = f® ln t + ¯ + ° ln(2=t)g	(0; +1)
	15, 17	M = f®e2t + ¯te2t + °t2e2t + ±t3e2tg	(¡1; +1)

17

¡!, ~ ¡¡! ¡!, ~ ¡¡!

Задача 7. Даны векторы ~a = OA b = OB, ~c = OC d = OD.

Ëó÷è OA, OB è OC являются ребрами трехгранного угла T .

,~

1)Доказать, что векторы ~a b, ~c линейно независимы.

2)	Разложить вектор ~	, ~
	d по векторам ~a	b, ~c (возникающую при этом
	систему уравнений решить с помощью обратной матрицы).
3)	Определить, лежит ли точка D внутри T , âíå T , на одной из
	границ T (на какой?).

4) Определить, при каких значениях действительного параметра ¸

вектор ~
				d + ¸~a, отложенный от точки O, лежит внутри трехгран-
	íîãî óãëà T .
•			1, 19			2, 20		3, 21		4, 22			5, 23		6, 24		7, 25			8, 26
a			1 1 2		1 3 2			2 4 1		1 2 -1		1 -2 5			1 2 1		3 2 1			2 1 3
b			2 -1 2		-2 1 -1			1 3 -5		1 -1 3		3 1 -2			-1 2 2		1 -1 -2			-1 -2 1
c			-1 3 1		5 -2 3			1 2 1		2 2 1		2 -1 3			3 1 -1		-2 3 5			3 5 -2
d			3 4 7		10 -7 5			-1 -1 -4		2 -5 11		6 3 -5			7 3 -2		7 4 1			18 23 1
		•		9, 27			10, 28		11, 29		12, 30			13, 16		14, 17		15, 18
			a	2 -1 1			-2 1 5		2 1 1		4 3 2			1 4 2		-1 1 2		5 1 -2
			b	-1 3 1			1 3 -2		2 2 -1		3 -5 1			-5 3 1		3 1 -1			-2 3 1
			c	2 1 2			-1 2 3		1 -1 3		2 1 1			1 2 1		1 2 2			3 2 -1
			d	1 18 11			-1 14 5		4 2 1		4 -1 2			-3 20 9		15 4 -6		7 15 -2

Контрольные вопросы 1. Определители

1.1. Как вычисляются определители 2-го, 3-го порядков? Каковы их основные свойства?

1.2. Что называется перестановкой? Что такое инверсия в перестановке? Какие перестановки называются четными (нечетными)? Каково общее число перестановок натуральных чисел от 1 до n?

Каково количество четных (нечетных) перестановок?

1.3. Что называется определителем n-го порядка? Каковы его

свойства?

1.4. Входят ли в определитель 5-го порядка следующие произ-

ведения: а) a15a24a33a42a51; á) a32a13a25a51a44; â) a23a12a41a15a34?

Если да, то с какими знаками?

18

1.5. Чем отличается минор данного элемента от его алгебраиче- ского дополнения? Сравните M12 è A12; M33 è A33.

1.6. Фиксирована строка определителя. Что произойдет с минорами ее элементов, если: а) умножить элементы этой строки на число; б) умножить элементы другой строки на число; в) заменить элементы этой строки нулями; г) заменить элементы другой строки нулями; д) заменить элементы этой строки на любые другие числа? Объясните результат. Ответьте на аналогичные вопросы об алгебраических дополнениях.

1.7. Что такое треугольная матрица, диагональная матрица? Че- му равен определитель треугольной, диагональной матрицы? Объясните результат.

1.8. Сформулируйте теорему о разложении определителя по строке. Чему равна сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца)?

1.9. Сформулируйте правила Крамера. Всегда ли они примени-

ìû?2. Комплексные числа и многочлены

2.1. Что такое модуль, аргумент, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа? Как записать в тригонометрической и показательной формах числа: 1; ¡1; i; ¡i; 1 + i; 1 ¡

i; ¡1 + ip3?

2.2.Как производится умножение и деление комплексных чисел

âалгебраической и тригонометрической формах?

2.3.Что такое операция сопряжения? Каковы ее свойства?

2.4.Приведите формулу Муавра.

2.5.Сколько значений принимает корень n-й степени из ком-

плексного числа? Как они вычисляются? Как эти значения располагаются на комплексной плоскости и почему?

2.6. Как изобразить на комплексной плоскости числа z, удовлетворяющие условиям: а) Re z > 0 ; á) jIm zj 6 2; â) jzj 6 1; ã)

0; 5 < jz + ij 6 1; ä) 0 < arg z 6 ¼=4; å) jz ¡ ij = jz + 2j?

2.7.Как формулируется теорема Безу, основная теорема алгебры многочленов? Сколько корней у многочлена степени n?

2.8.Многочлен P (z) со старшим коэффициентом P0 = 2 имеет

19

корни z1 = 1 кратности 3 и z2;3 = 1 § i кратности 2. Выпишите этот

многочлен. Объясните результат.

2.9. Многочлен с вещественными коэффициентами имеет корень z = 2 + i. На какой квадратный трехчлен он делится? Объясните

результат.

3. Алгебра матриц

3.1. Сформулируйте правило умножения матриц. Объясните, как изменится произведение AB, если переставить i-þ è j-ю строки

матрицы A; i-é è j-й столбцы матрицы B? Чему равна i-я строка AB; j-й столбец AB?

3.2. Покажите, что если AB = BA, òî A è B ¡ квадратные

матрицы одного порядка. Верно ли обратное?

3.3. Верны ли формулы (A+B)2 = A2+ 2AB+B2; (A+B)(A¡B) = A2 ¡ B2 для квадратных матриц?

3.4. Что такое обратная матрица? Каков критерий ее существования, как она вычисляется? Выделите случай матриц 2-го поряд-

êà. 3.5. Чему равно произведение двух диагональных матриц? Как найти обратную матрицу для диагональной матрицы?

3.6. Как решить матричное уравнение вида AXB = C, ãäå X неизвестная матрица; A; B невырожденные квадратные матрицы? Как получить отсюда решение уравнения AX = C; уравнения XB =

C?

3.7*. Верна ли формула (A¡1)T = (AT )¡1?

3.8. Пусть Eij 2 Mnn матрица, у которой на (i; j) месте стоит

1, а на остальных местах нули. Доказать, что
E	ij ¢	kl	½ Eil; åñëè j = k .
		E =	0; åñëè j 6= k

3.9*. Привести пример ненулевой матрицы X, удовлетворяющей условию X2 = 0; условию X2 = X. Существуют ли такие примеры

ñ det X 6= 0?

3.10*. Матрица X удовлетворяет условию: а) X2 = E, á) X3 = E, ãäå E единичная матрица. Чему может равняться det X? Привести

пример таких недиагональных матриц.

4. Линейные пространства

4.1. Что называется линейным пространством? Приведите при-

20

меры линейных пространств.

4.2. Являются ли линейными пространствами:

а) множество геометрических радиус-векторов, оканчивающихся на данной плоскости; б) множество всех сходящихся последовательностей; последователь-

ностей, сходящихся к числу a; расходящихся последовательностей; в) множество всех функций, дифференцируемых на интервале (a,

b);

г) множество многочленов 3-й степени; степени не выше 3; д*) множество всех положительных функций с операциями сложе-

íèÿ : f(t) ¢ g(t) и умножения на число : f(t)® . Объясните результа-

òû.4.3. Что такое линейное подпространство? Являются ли линейными подпространствами соответствующих линейных пространств множества: а) векторов из Rn, у которых сумма координат равна a;

координаты с четными номерами совпадают; координаты - целые числа; б) радиус-векторов плоскости, оканчивающихся в I четверти; в I или III четвертях; в) всех функций, непрерывных на отрезке [a,

b] и равных нулю на концах отрезка; г) всех симметричных матриц n-го порядка?

4.4.Что называется линейной оболочкой системы векторов? Является ли она подпространством? Почему?

4.5.Дайте определение линейной зависимости системы векторов. Каков критерий линейной зависимости системы, состоящей из одного вектора; из двух векторов? Объясните свой ответ. Сформулируйте общий критерий линейной зависимости системы векторов.

4.6.Верно ли утверждение: если любые два вектора системы из n > 2 векторов линейно независимы, то и вся система линейно

независима. Почему?

4.7. Верно ли утверждение: если система содержит вектор, который не выражается линейно через остальные векторы системы, то она линейно независима. Ответ обоснуйте.

4.8. Каков геометрический смысл линейной зависимости системы 2-х векторов; 3-х векторов? Существуют ли линейно независимые системы из 4-х и более геометрических векторов; а линейно зависимые?