mat_analiz_tipovik

11

28

12 + 22

+ 32 + . . . + n2

n3

29

1

+

1

+

1

+ . . . +

1

1 · 2

2 · 3

3 · 4

n · (n + 1)

30

1

+

1

+

1

+ . . . +

1

1 · 3

3 · 5

5 · 7

(2n − 1) · (2n + 1)

2

-

Задача 3. Используя логическую символику, сформулировать

ÂÌ

11

x

1

∞

Äàòü

x

МИРЭА∞

определение

указанного предела.

геометрическую интерпре-

тацию.

1

x

lim f(x) =

∞

2

x

lim

0

f(x) = +

→−∞

→− −

3

xlim f(x) = 4

4

lim f(x) =

−∞

x

+

Кафедра

→∞

→ ∞

5

lim f(x) =

−

3

6

x

lim f(x) = 0

x

0

−

→

→−∞

7

xlim f(x) = ∞

8

x

lim

f(x) = −1

+

∞

→∞

→

9

x

lim f(x) =

−∞

10

lim f(x) = +

∞

2+0

x

→−

→∞

ÌÃÒÓ

lim

f(x) = +

lim f(x) =

12

→

→−∞

13

x

lim

f(x) =

−

3

14

lim f(x) =

−∞

→−

→∞

15

lim f(x) = +

∞

16

lim

f(x) = +

x

→

0

x

+

∞

∞

→

17

lim f(x) =

−∞

18

lim f(x) =

∞

x

→

0+

x

→−∞

19

xlim4 f(x) = −∞

20

lim f(x) =

−

8

x

0

→−

→

21

xlim f(x) = 0

22

x

lim

0

f(x) =

−∞

3

→∞

→− −

23

x

lim f(x) =

∞

24

xlim f(x) = −∞

+

→ ∞

→∞

12

25

lim f(x) = 0

26

lim

f(x) =

−

5

x

→

0+

x

→−∞

27

lim f(x) =

−∞

28

x

lim

f(x) = +

x

0

→

3+0

∞

→

29

x

lim

f(x) = 0

30

lim

f(x) =

∞

+

∞

x 2

0

→

→ −

2

Задача 4. Используя различные приемы преобразования вы-

ражений, вычислить пределы.

x

√3

6

МИРЭА

3

2

)

2

-

1

lim

(3x + 7) (x −

2x

x→∞ (27x5 + 4x + 1)(2 − 4x)2

2

lim

(3x + 1)3 − (3x − 1)3

x→∞

(x + 1)2 + (x − 1)2

ÂÌ

3

lim

√

5 + 16x2

Кафедра

x→+∞

4

16x2

+ x + √x

√

√

35x

+ 1

√6

5

√

10

x +

lim

x

4

√

√3

x

3

− 1

x +

4

→ ∞ (x +

x)

5

lim

5x2

+ 4x − 1

ÌÃÒÓ2

− 1

→∞

27x + 1

lim

√

x

+ 5x

6

x→+∞

√3 x3 + 1 + sin x

7

lim

√3

x3 + 7

+ √3

x2 + 2x

17x + 4 cos 7x

x→∞

8

lim

5x + 6x

5x

−

6x

x→±∞

9

lim

x + 5x + 6

x→−3 x2 + 4x + 3

13

10

lim

x3 − 3x + 2

x→1 x4 − 4x + 3

11

lim

x3 − 3x − 2

x→−1 (x2 − x − 2)2

12

lim

x2 − 7x + 6

x→1

x4 − 1

2

13

lim

x4 − 1

1

x→1

2x4

x2

√

−

−√

→

x − 2

ÂÌ

14

lim

5x

−

2

−

8

x→2

x2 − 4

-

15

lim

√

1 + x2

−

√

1 − x2

x→0

3x2 − x4

lim

x√

− 8

16

x

Кафедраx→1 (x 1)

x

4

√

17

lim

√4

x

− 2

x→16

√x − 4

18

lim

√3

9x

− 3

x

3 √

√

2x

→

3 + x −

МИРЭА

19

lim

√

9 + 2x

− 5

ÌÃÒÓ

x→8

√3 x2

−

4

20

lim

√3

25 + x

−

√3

29 − x

x 2

x

√

→

−

3

2x

√3 2

x − 2

√

+ 1

21

lim

x

2

−

22

lim

2x − 1

1 + 2x2

(5x + 7 −

2 + 5x2 )

x→∞

23

lim

1

12

x→2 (2 − x − 8 − x3 )

14

24

xlim (

3x2

−

(2x

−

1) 3x2 + x + 2

)

2x + 1

4x2

−

1

)

→∞

(

√3

25

lim

x +

1

−

x3

)

x→∞

(

√3

26

lim

x

−

4

−

x3

)

x→∞

(

2

√

27

lim

(

2

− 5x + 6 − x)

x→±∞

x

√

− x))

28

lim

2

+ 1

x→+∞ (x (

x

-

√

√

29

lim

4

+ 8x

2

4

+ x

2

x→+∞ (

x

+ 3 − x

)

√3

30

lim

x3

2x2 + 3

x

x→∞ (

−

ÂÌ− )

Задача 5. Вычислить пределы, используя эквивалентные бес-

конечно малые

МИРЭА

1

lim

sin2 3x

2

lim

cos 4x − 1

1 − cos x

x→0

x→0 x arctg x

3

lim

(1 + tg x)10 − 1

4

lim

sin(x − 2)

x→0

arcsin 5x

x→2

x3 − 8

Кафедра

5

lim

arctg(x

−

5)

6

lim(x

−

2) ctg

x − 2

25)

x 5 arcsin (x2

−

x

2

5

→

→

ÌÃÒÓ

7

lim

x

π

tg x 8

lim

1 − cos(x − 3)

x→ =2 (

− 2 )

x→3 (x

−

3) tg

x − 3

2

15

9

lim

cos 2x

10

lim

sin 3πx

4x − π

x→ =4

x→2 sin 8πx

11

lim

tg 5x

12

lim

sin 6πx

x→ sin 3x

x→1

sin πx

2

13

lim

tg 2x − sin 2x

14

lim

cos 5x − cos 3x

x→0

x3

x→0

arctg x2

МИРЭА

15

lim

1 − 2 cos x

16

lim

2arcsin x

-− 1

π

arctg x

x→ =3 sin (x −

3

)

x→0 3

− 1

e2x

e−2x

e4x2

ex2

Кафедра7x−1 7

ex−1

1

17

lim

−

18

lim

−

x→0 ln(1 + 3 sin x)

x→0 lnÂÌ(1 + 3 arcsin2 x)

19

lim

44x2 − 4x2

20

lim

arcsin(x/(x + 1))

x→0

ln(cos x)

x→0 ln (1 − 2x/(3 + x2))

21

lim

4

1 + arctg2 x − 1

22

lim

ln(5 − 2x) − ln 5

sin2 3x

x→0

√

x→0

arcsin 3x

23

lim

ln(3 − x) − ln 2

24

lim

23−x − 4

sin(x − 1)

√3 2 − x − 1

x→1

x→1

x→2

53−x − 5

x→1

√x − 1

25

lim

−

26

lim

−

ÌÃÒÓ

27

lim

sin(1/x)

28

lim

3

1 + 6/x2 − 1

→∞

tg(π/x)

cos(3/x)

−

1

x

x

→∞ √

16

lim

ln(cos(1/x))

30

lim

(2−x + 1)

21=x

− 1

29

(31=x

x→+∞ arctg 3x tg2(1/x)

x→+∞ (3−x + 2)

−

1)

(

)

Задача 6. Вычислить пределы, используя, где это возможно, второй замечательный предел, предварительно обосновав возмож-

ность его применения

2

1a

lim

2x − 2

x

3x + 4)

x→+∞ (

-

1b

lim

2x − 2

x

3x + 4)

x→−∞ (

1c

lim

2x − 2

x

x→∞ (2x + 3)ÂÌ

МИРЭА

2a

lim

x2 − 2

3=(x+1)

x→∞ (x2 + 3)

x→∞ (x2

+ 3)

x+1

2b

lim

x2

−

2

x

− 2

3x=(x+1)

2c

lim

+ 3)

x→∞ (x2

Кафедра

3a x→0 ( − cos2 x)

x2

lim

6

5

5

1=x2

lim 6

3ÌÃÒÓb x→0 ( − cos2 x)

1=x2

3c

lim

11

x→0 (6 − 2 cos2 x)

17

4a

x→0 (

1

cos 2x

)

1=x2

−2x2

lim

4b

x→0

(

1

cos 2x

)

1=x2

− x2

lim

4c

1

cos 2x

1=(x2+1)

x→0 (

−2x2

)

lim

-

5a

lim(1 + sin x + x2)1=x2

ÂÌ

6b

x→0

(

3

)

2

МИРЭА

x→0

2

5b

lim(1 + x + x2)1=(1+x)

x→0

5c

lim(1 + cos x + x2)−1=x2

Кафедра7a x→0 (3 + 2x) −x2

x→0

πx 1=(x2+1)

6a

lim

cos

)

x→0 (

3

πx

1=x2

lim

cos

ÌÃÒÓ3 + 5x

πx

)

2=(x +2)

6c

lim

sin

x→0 (

3

lim

3 + 5x

1= sin x

lim

3 + 5x

7b

(3 + 2x)

x→0

7c

lim

2

−1=x2

x→0 (3 + 2x2 )

18

1 + 2x

1=x

8a

lim

(

1 + 3x )

x→0

1 + 2x

(2x+3)=(2x+1)

8b

lim

1 + 3x )

x→0 (

1 + 2x

1=x2

8c

lim

(

1 + 3x )

2

x→0

sin 2x

−1=x2

9a

lim

(

)

x

x→0

-

sin x

9b

lim

−1=x2

(

x

)

x→0

sin x

(2x+3)=(x+1)

lim

ÂÌ

9c

(

x

)

x→0

МИРЭА

10a

lim

2

−

2

x2

−x2

x→∞

(

−

)

lim

2

−

2

x2

1=x2

10b

x→0

(

−

)

)

10c

lim

2

−

2

−

x2

1=(x−1)2

x→1

(

1

2

11a

lim

2

cos

x

arctg x

Кафедраx→+∞ ( − x)

x2 arctg x

11b

lim

2

cos

1

(

−

x)

x→−∞

ÌÃÒÓ

1= arctg2 x

11c

lim (2

−

cos x)

x 0

→

19

x→2

(

2

)

arctg2(1=(x−2))

12a

lim

4

− x

x→2

(

2

)

1= arctg(x−2)

12b

lim

4 − x

x→2

(

2

)

arctg2(x−2)

12c

lim

5

− x

2

x→8

(x + 1)

√

2

3

13a

lim

x − 7

−1=(

x−2)

√

2x − 7

1=(

3

x−2)

13b

lim

( x + 1 )

x→8

Кафедра

13c

lim (cos(x

−

8))sin(x−8)=(x−8)

x

→

8

ÂÌ

14a

x→0

(

(

6

−

))

МИРЭА

lim

tg

π

x

1=x2

14b

x→0

(

(

4 −

))

(ex−1)=x2

lim

tg

π

x

ÌÃÒÓ

14c

lim(tg x)(2x+3)=(−2x+3)

x→0

lim

tg

x

1= cos2 x

15a

x→ =2

(

3 )

lim

tg

x

1= cos x

15b

2 )

x→ =2

(

15c

lim (tg x) =(2x)

x→ =2

20

16a

lim

x + 2 sin x

)

1=x

x

x→∞ (

16b

lim

2x + sin x

−1=x2

(

x

)

x→∞

x→0

(

x

)

1=x2

16c

lim

x + 2 sin x

2

17a

lim

2x − arctg x

3x

-

(

2x + arctg x)

x→∞

2x − arctg x

17b

lim

3x+2

(2x + arctg x)

x→0

17c

lim

2 − arctg x

−3=(x−2)2

ÂÌ

Кафедра

x→2 (

2 + arctg x)

18a

lim

1 + tg2 x

1= ln cos 2x

МИРЭА

x→0

(

)

18b

x→∞ (

)

lim

1 + arctg2 x

− ln2 x

ÌÃÒÓ2

18c

lim

(

1 + arctg2 x

)

ln cos 2x

x→0

lim (4

−

4

x

(3x+sin x)=x

19a

x

0

→

lim (2

−

2

x

3x= sin2 x

19b

)

x

0

→

19c

x lim

(2 − 2x)(3x +sin x)=x

→−∞