Metody_optimizatsii_Shatina_A_V

Î absmin з .

														201
		æ	25	0			40			20		ö
	ˆ	ç	0	0			0			90		÷	, Smin = 520
	x = ç											÷
7.2.		ç	25	100			0			0		÷			.
		è										ø
	ˆ	æ	20	0			0		ö					= 130
	x = ç								÷ , S		min
7.3.		ç	10	10			20		÷					.
		è							ø
		æ120				0			0		0		ö
	ˆ	ç	0	220					0		0		÷	, Smin	= 790
	x = ç												÷
7.4.		ç	10			0			60		70		÷		.
		è											ø
	ˆ	æ10		0		ö	S			= 85
	x = ç					÷,		min
7.5.		ç	5	15		÷							.
		è				ø
	t - t 4
8.1. 24			Î absmin з						.
	ln	3(t −1)
		(t +1)			Î absmin з
		ln	3
8.2.										.
			2

8.3.ln t absmin з .

8.4.(t −1)cht absmin з .

8.5.cost absmin з .

8.6.t cost absmin з .

sh(2 − t)

8.7. sh1

8.8.12 [e−t + (e +1)te−t -1]Î absmin з .

8.9.xˆ(t) = (C + t) sin t absmin з , где C - произвольная постоянная.

8.10.ln t absmin з .

8.11.две экстремали xˆ(t) = 3(t +1)2 , xˆ(t) = 3(3t -1)2 .

absmin з .

202

9.1.xˆ(t) = cht absmin з .

9.2.xˆ(t) = − t23 − 2t + 6 absmin з .

9.3.xˆ(t) = −t3 + 6t + 6 abs max з .

9.4.xˆ(t) = t24 − 2t2 −10t −10 absmin з .

9.5.xˆ(t) = cost + sin t locextrз, Smin = −∞, Smax = +∞ .

9.6.xˆ(t) = cost −1 locextrз, Smin = −∞, Smax = +∞ .

9.7.xˆ(t) = 1t + 12 absmin з .

9.8.xˆ(t) = ln t +1 absmin з .

9.9.xˆ(t) = − e3e+t 1 absmin з .

9.10.xˆ(t) = ln(t +1) −1 absmin з.

ˆ(

) =

ˆ(

) = 6

4t3

9.11.

t

t

+

1,

t

Две экстремали x

x

3

10.1.

t 4

− 2t 2 −10t −10 absmin з

.

2

3 − 3t

5t

absmin з

10.2.

2

.

10.3.cost absmin з .

10.4.t absmin з .

8t cost

10.5. π

10.6.tet absmin з .

10.7.− 152 t3 − 34 t 2 + 152 t + 34 absmin з .

ˆ	(	t	) = −	cost	− 4t +	2		absmin з,	Smin	= 16
10.8. x1					π

.

− π 2

2π ,

203

ˆ

(

t

)

= cost Îabsmax з, Smax

=

π

x2

2 .

æ

T0

ö

ˆ(

)

t

t

= ±Cçch

- ch

÷

10.9.

x

C

C

где

Допустимые экстремали:

è

T0

ø ,

константа C > 0 определяется

2Csh

= l

C

Если

из условия

.

l > 2T0 , то имеются две допустимые экстремали, если l = 2T0 , то

одна допустимая экстремаль xˆ(t) ≡ 0, если l < 2T0 , то допустимых экстремалей нет.

11.1.xˆ º 1Îabsmin з, Smax = +¥ .

11.2.xˆ ≡ 0 locextr з, Smax = +∞, Smin = −∞ .

ì

ˆ

t2

ˆ

ü

- 8, T = 8ýÏlocextr з,

íx =

4

11.3.î

þ

2

2

S

= +¥,

S

æ

= t

- n

ö

max

min

= -¥ç x

+ n, T = n÷

11.4.

è

n

4

n

ø.

t2

ì ˆ

(

+

)

ˆ

= 8 + 4

ü

Ïlocextr з, Smax = +¥, Smin = -¥

5

íx =

4

- 1

t, T

5ý

î

þ

.

11.5.t 24-1Î absmin з, Smax = +¥.

11.6.{ xˆ(t) = -4t + 8, Tˆ = 2}Îabsmin з, Smax = +¥ .

11.7.{ xˆ(t) = -2chTˆ sht, Tˆ}, где Tˆ определяется однозначно из ра-

венства			sh2T = 1+ T .
ì ˆ(		)	=	t			ˆ	=	6		ü
íx	t			2			, T			2	ý
11.8. î											þ.

11.9.{ xˆ(t) = 9t, Tˆ = 13}.

{ˆ( ) = - ( - )2 ˆ = }

11.10.x t 2 t 1 , T 2 .

204

12.1.xˆ = 203t3 - 6t2 + 13 Îabsmin з, Smin = 8, Smax = +¥ .

12.2.xˆ = t4 + t3 - 9t2 + 5Îabsmin з, Smax = +¥ .

{ˆ

ˆ

=

1}

Îabsmin з, Smin = 0,

12.3.

x = 1,

T

3

{

ˆ

}

ˆ

= t

2

= +¥.

x

, T

= 1 Ïlocextr з, Smax

ˆ

=

2

(

t + sin t

)

Îabsmin з, Smax = +¥

12.4.

x

3π

.

ì

ˆ

t2

ˆ

ü

, T

= 1ýÎabsmin з, Smin = 1,

Smax = +¥

íx =

2

12.5. î

þ

.

12.6.{ xˆ(t) = t (1- t), Tˆ = 1}Îabsmin з, Smax = +¥ .

12.7.xˆ = (t + e) ln t − t absmin з, Smax = +∞ .

12.8. - 1- t2 Îabsmin з, Smin = -π4 ,

1- t2 Îabsmax з, Smax = π4 .

12.9.xˆ(t) = shtÎabsmin з, Smin = sh22 , Smax = +¥.

12.10.xˆ = 1- cost Îabsmin з, Smax = +¥ .

	π + t, -π £ t £ -π 2,
	ì
ˆ	ï		t		<	π	2,	ˆ	ˆ
x = í- t,								x Îabsmin з, - x Îabsmax з
13.1.	ï						£ t £ π .		.
	ît -π , π 2

							205
ˆ	ì− t, 0 ≤ t ≤ π 4,							ˆ		ˆ
x = í								x	Îabsmin з, - x Îabsmax з
13.2.	ît -π 2, π 4 £ t £					7π	4.			.
ˆ	ìt2		- 3, 0 £ t £ 2			ˆ
	ï									- t Îabsmax з
x = í 4						x Îabsmin з, 4
13.3.	ït - 4, 2 £ t £ 4.									.
	î
	5 − t, 0 ≤ t ≤ 1
	ì
ˆ	ï		- 3)	2			ˆ
x = í(t					+ 3, 1 £ t £ 3.		x Îabsmin з, 5 + t Îabsmax з
	ï
13.4.			4							.
	î

13.5.t 2 - 2t Î absmin з .

13.6.t 2 - 4t + 2 Î absmin з .

13.7.t 2 - 2 Î absmin з .

æ

ì- t

2

+1,

[

0;

]

ö

ç

( )

ï

2

ˆ

4

÷

ç

ˆ

(

3t - 4)

÷

ç x t

= í

é

4

ù

, T =

3

÷

Îabsmin з

ç

ï

2

-1,

t Î ê

3;

ú.

÷

3

.

14.1. è

î

ë

û

ø

æ

çç xˆ(t)

14.2. è

ì		2	- 2t, -1	£ t	£ 0,		ˆ		ö
ï- t						,		= 1	÷	Îabsmin з
= í	2						T		÷
ï		- 2t, 0 £ t £ 1.								.
ît									ø

			ì	3	-18t	+11,	[	0;1 2	]	;
ˆ(		)	8t				t Î
	t		ï								Îabsmin з
x			= í	(	)2		[	]
14.3.			ï			, t Î					.
			î12 t -1				1 2;1 .

206

ì

t2

é

1

ù

ï-

,

t Î

ê0;

ú

;

ˆ(

)

2

2

t

ï

ë

û

Îabsmin з

x

= í

ït3

- t

2

+

t

-

1

, t Î

é

1

ù

ï

ê

;1ú.

14.4.

3

4

24

2

.

î

ë

û

ˆ(

)

ìt2

, 0

£ t £ 2,

ˆ

t

ï

4

,

= 3

x

= í

T

14.5.

ït -1,

2 £ t £ 3.

.

î

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. – М.: Наука, 2005. – 384 с.

2.Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи. – М.: Физматлит, 2005. – 256 с.

3.Васильев Ф.П. Методы оптимизации. . – М.: Факториал Пресс, 2002. – 824 с.

4.Галеев Э.М. Оптимизация. Теория. Примеры. Задачи. – М.: Едиториал УРСС, 2002. – 304 с.

5.Вся высшая математика. Т.6. / М.Л.Краснов и др. - М.: Едиториал УРСС, 2003. – 256 с.

6.Магарил–Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. – М.: Едиториал УРСС, 2000. – 176 с.

7.Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 2002. – 544 с.

8.Сборник задач по математике для втузов. Ч.2. / под общ. ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова; М.: Физматлит. - 2009. – 432 с.

207

9.Сборник задач по математике для втузов. Ч.3 / под общ. ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова; М.: Физматлит. - 2007. – 544 с.

10.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. - М.: Наука, 1969. – 656 с.