chast_2_elektr_i_magnet

12

кулярны. Следовательно, поток через всю поверхность цилиндра будет равен ФЕ=2ЕS. Согласно теореме Гаусса тот же поток можно представить в виде ФЕ=q/ε0=Sσ/ε0. Сравнивая оба выражения, получаем

Е =	σ	.	(1.9)
	2ε0

в). Поле шара радиуса R, равномерно заряженного по объему с объемной плотностью заряда ρ.

Ввиду шаровой симметрии вектор Е параллелен или антипараллелен радиусу−вектору r, проведенному из центра шара в точку наблюдения. В качестве гауссовой поверхности выбираем сферу S радиуса r. Поток вектора Е через эту поверхность 4π r2E по теореме Гаусса равен q/ε0. Поэтому при r≥R получаем

Е =

q

=

ρR3

.

4πε0 r2

3ε0 r2

Таким образом, равномерно

Е

заряженный шар (или сфера)

создает во внешнем пространст-

ρR

ве такое поле, как если бы его

3ε0

заряд был сосредоточен в его

центре.

Совершенно так же вычис-

R

ляется поле внутри шара. Оно

r

определяется выражением

q′

ρr

Рис.1.7

Е =

=

.

(1.10)

4πε0 r2

3ε0

График зависимости E от r представлен на рис.1.7.

1.5. Потенциальность электрического поля. Циркуляция вектора напряженности электрического поля по замк-

нутому контуру

Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q. Сила, действующая в таком поле на пробный заряд qпр

				13
		r		1			q
									r
								3
		F = qпр			4πε0		r		r
		dr	F						Пусть заряд qпр пе-
									ремещается из точки 1 в
		α							точку 2 по произвольно-
		dl							му пути 12 (рис.1.8). Ра-
1		r		2					бота δА, совершаемая си-
									лами поля при перемеще-
	r1								нии qпр на dl равна
		r2							δА= (F ,dl )= Fdl cosα .
q									Но dlcosα=dr − из-
		Рис.1.8							менение расстояния от qпр

до q при перемещении на dl, следовательно, δА=Fdr. Полная работа при перемещении qпр из точки 1 в точку 2 будет

2	qqпр		r2	dr			qqпр			1		1
А12 = ∫Fdr =			∫		2	=					−		.	(1.11)
	4πε			r			4πε					r
1		0	r					0	r
			1							1		2

Получили, что А12 не зависит от формы траектории, а зависит только от начального и конечного положения заряда qпр. Это означает, что центральное кулоновское поле является потенциальным (консервативным).

В курсе “Механика” показывалось, что для любого потенциального поля выполняется условие

∫(F ,dl )=0

L

для любого замкнутого контура L (такой интеграл называется циркуляцией). После деления данного выражения на qпр, получим

∫(Е,dl )=0 .

(1.12)

L

Циркуляция вектора напряженности электрического поля точечного заряда по замкнутому контуру равна нулю.

На основании принципа суперпозиции из консервативности поля точечного заряда следует консервативность произвольного электрического поля.

14

∫(Е,dl )= ∫(∑Еi ,dl )= ∑∫(Е,dl )=0 ,

L L L

т.е. соотношение (1.12) выполняется для любого электрического поля.

1.6.Потенциал электрического поля

1.6.1.Потенциал поля точечного заряда

Вкурсе “Механика” было показано, что в любом потенциальном поле работа сил поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии:

A12=W1−W2

(1.13)

С другой стороны для электростатического поля должно выполняться соотношение (1.11). Сравнивая (1.11) и (1.13), можно сделать вывод, что потенциальная энергия взаимодействия точечныхзарядов q и qпр равна

W = 4πε1 0 qqrпр +const .

Естественно потребовать, чтобы при удалении пробного заряда на бесконечность его потенциальная энергия обращалась в ноль, откуда получается const=0. Тогда

W = 4πε1 0 qqrпр .

Из последнего выражения видно, что отношение W/qпр не зависит от qпр и является скалярной характеристикой электрического поля. Это отношение называется потенциалом электрического поля в данной точке

ϕ = W .

qпр

Потенциал численно равен работе, совершаемой силами поля по удалению единичного положительного заряда из данной точки в ту, где потенциал принят равным нулю.

В СИ потенциал измеряется в вольтах [В]: 1В=1Дж/Кл. Потенциал поля точечного заряда

		15
	ϕ =	1	q .	(1.13)
		4πε0
			r

1.6.2. Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля

В курсе “Механика” , было показано, что в потенциальных полях существует связь между силой, действующей на тело, и его потенциальной энергией:

F = −gradW .

Для точечной частицы с зарядом q F = qE и W = qϕ , поэтому

r		∂ϕ r		+	∂ϕ r		+	∂ϕ r		(1.14)
E = −gradϕ = −		∂x	i		∂y	j		∂z	k .

ВСИ напряженность электрического поля измеряется в В/м.

1.6.3.Потенциал поля системы точечных зарядов

Если электрическое поле создано системой точечных зарядов, то, согласно принципу суперпозиции и правилам дифферен-

цирования, можно записать								)= −gradϕ,
E = ∑Ei				= −∑gradϕi = −grad(∑ϕi
где ϕ = ∑ϕ	i	=	1		∑	qi	− потенциал поля системы точечных за-
			4πε
						r
				0 i

рядов.

1.6.4. Потенциал поля зарядов, непрерывно распределенных в объеме V

Пусть электрический заряд распределен в конечной области пространства объемом V, и задана объемная плотность заряда ρ(x,y,z). На бесконечности потенциал считаем равным нулю. Тогда

ϕ(x, y,z)= 1 ∫∫∫ ρdV . 4πε0 V r

При непрерывном распределении зарядов с конечной плотностью ρ потенциал никогда не обращается в ноль.

16

2.ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

2.1.Электрический диполь

Электрическим диполем называется система двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов +q и −q, расстояние между которыми много меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы.

Пусть имеется два точечных за-

E

ряда +q и −q. l − радиус−вектор, про-

Er

веденный от отрицательного заряда к

Eθ

положительному.

А

Найдем потенциал и напряжен-

ность

электрического

поля

в

точке,

r−

r+

положение которой определяется ра-

r

диус−вектором r (r>>l) (рис.2.1).

θ

Из рисунка видно, что

−q

l

+q

r

≈ r −

l

cosθ и r

≈ r +

l

cosθ .

Рис.2.1

+

2

−

2

Потенциал в точке А равен

1

q

r− −r+

ql cosϑ

ϕ( r ) =

q

q

−

=

r r

≈

4πε

r2 .

4πε

0

r

r

4πε

0

+

−

0 − +

Введем в рассмотрение электрический момент диполя p=ql,

тогда потенциал в точке А можно записать в следующем виде

ϕ( r ) =

1 (p,r )

=

1

p cosϑ

.

(2.1)

4πε0

r2

4πε0

r2

Напряженность в точке А можно посчитать, перейдя в по-

лярную систему

координат

и

представив

E = E2

+ E2

ϑ

r

(см.рис.2.1). Проделав соответствующие выкладки, получаем

Е =

1

р

1 +3cos2 ϑ .

(2.2)

4πε0 r3

2.2.

Поляризация диэлектриков

Диэлектрики − вещества, не обладающие способностью проводить электрический ток.

17

Различают следующие виды диэлектриков − полярные, неполярные и ионные кристаллы.

Неполярные диэлектрики (Н2, О2, N2 и др,) состоят из неполярных молекул. У таких молекул “цент тяжести” положительного и отрицательного зарядов совпадают друг с другом и их дипольный момент равен нулю.

Полярные диэлектрики состоят из полярных молекул (HCl, NH, H2O и др.). “Центры тяжести” положительного и отрицательного зарядов таких молекул не совпадают и их дипольный момент отличен от нуля.

Кристаллическую решетку ионных кристаллов можно представить как совокупность двух подрешеток, одна из которых образована положительными ионами, другая − отрицательными.

Под воздействием внешнего электрического поля (если оно не очень велико) происходит процесс поляризации диэлектриков. В зависимости от типа диэлектрика механизм поляризации может быть следующим.

1.В неполярных молекулах центры тяжести положительного и отрицательного зарядов смещаются друг относительно друга и молекула приобретает дипольный момент, ориентированный вдоль вектора Е внешнего поля (электронная поляризация).

2.Полярные молекулы преимущественно ориентируют свои собственные дипольные моменты по направлению поля (ориентационная поляризация).

3.В ионных кристаллах обе подрешетки сдвигаются друг относительно друга, что также приводит к поляризации

диэлектрика.

Процесс поляризации диэлектрика количественно описывается с помощью вектора поляризации Р − дипольного момента единицы объема диэлектрика.

Pr = ∑V pi V ,

где рi − дипольный момент молекул, заключенных в физически малом объеме V.

18

У изотропных диэлектриков любого типа вектор Р связан с напряженностью электрического поля в той же точке пространства (при условии, что напряженность внешнего поля много меньше напряженности внутриатомных полей) соотношением

Р =κε0 Е,

(2.4)

где κ − диэлектрическая восприимчивость,− постоянная, завися-

щая от свойств данного вещества.

В случае полярных диэлектриков ориентирующему действию внешнего поля мешает тепловое движение молекул, стремящееся “разбросать” их дипольные моменты по всем направлениям. В результате устанавливается некоторая преимущественная ориентация дипольных моментов в направлении поля. Оказывается, что при постоянной напряженности поля диэлектрическая восприимчивость обратно пропорциональна температуре.

2.3. Связанные заряды

На рис.2.2 диэлектрик показан в виде параллелепипеда. Выделенные малые объемы V − эллипсоиды. В отсутствии поля дипольный момент объема V равен нулю. При включении внешнего поля диэлектрик поляризуется, дипольные моменты объемов V отличны от нуля.

Мы видим, что на торцах параллелепипеда появляются нескомпенсированные положительные и отрицательные заряды. Это индукционные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика. Их называют связанные заряды, этим термином хотят подчеркнуть, что свобода перемещения связанных за-

				рядов	весьма ог-
				раничена.
			Е′	Установим
				связь	между	век-
	Е0=0			тором	поляриза-
		Е0	Е0	ции Р и поверхно-
		Рис.2.2		стной плотностью
				связанных		заря-

дов.

Пусть диэлектрик однороден и смещение зарядов одинаково

19

во всех точках.

	Возьмем диэлектрик в виде пла-		−σ′
	стины (рис.2.3). Выделим в пластине
	малый объем V в виде тонкого ци-
	линдра с образующей, параллельной
	вектору напряженности	внешнего
	электрического поля Е0.	Пусть S −	n
	площадь оснований выделенного ци-
	линдра, l − длина его образующей, h
	− высота цилиндра, она же толщина		S
	пластины. Очевидно,

V= Sh= Slcosα.

Из определения вектора поляризации следует, что дипольный момент объема

		+σ′
	l	Е
		α
		n
		S
	h

Рис.2.3

V равен

P V=Pl Scosα.

С другой стороны, выделенный цилиндр может быть представлен как диполь с зарядами −q=−σ′ΔS и +q=+σ′ΔS (σ′ − поверхностная плотность связанных зарядов), расположенных на расстоянии l друг от друга.

Тогда Pl Scosα=σ′ΔSl, откуда

σ′=Pcosα=Pn . (2.5)

Поверхностная плотность связанных зарядов численно равна нормальной составляющей вектора поляризации.

Т.к. P=κε0E, то выполняется также следующее соотношение

σ′=κε0Еn.

Если вектор Р различен в разных точках объема V (поле неоднородное, диэлектрик неоднороден), то в диэлектрике могут возникать еще и объемные связанные заряды с объемной плотностью ρ′.

Можно показать, что в этом случае имеет место соотноше-

ние

divP = −ρ′.

(2.6)

2.4. Вектор электрического смещения

Из теоремы Гаусса в дифференциальной форме (уравнения

20

Пуассона (1.6)) можно найти связь между вектором напряженности электрического поля в данной точке и объемной плотностью заряда ρ в этой же точке. Под ρ мы понимаем плотность свободных зарядов. Но в диэлектриках источником поля служат не только свободные, но и связанные заряды. Следовательно, уравнение Пуассона для диэлектриков нужно переписать в виде

divEr = 1 (ρ( x, y,z ) + ρ′( x, y,z )).

ε0

С другой стороны, выполняется соотношение (2.6), тогда

divEr =	1	(ρ −divPr), откуда div(ε0 E + P)= ρ .	(2.7)
	ε0

В последнем соотношении ρ − объемная плотность только свободных зарядов!

Выражение в скобках называется электрическим смещени-

ем (вектором электрической индукции)

D = ε0 E + P .

(2.8)

Используя (2.4), можно записать

D = ε0 E +κε0 Е = ε0 ( 1 +κ )Е.

Постоянная 1+κ=ε называется относительной диэлектрической проницаемостью вещества. Тогда

D = εε0 Е.

Из (2.7) и (2.8) видно, что для изотропных диэлектриков должно выполняться соотношение

divD = ρ ,

(2.9)

т.е. единственным источников вектора электрического смещения являются свободные заряды.

2.5. Теорема Гаусса для вектора электрического смещения. Граничные условия

2.5.1. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике

Как мы выяснили, введение вектора электрического смещения автоматически учитывает поле связанных зарядов. Так, например, для поля точечного заряда q в веществе имеем соотно-

	21
шение	1 q r
r
D =				r .
	4π		r3

Следовательно, повторив выводы, приведенные в параграфе 1.3, можем записать

∫(D,dS )= ∑qi ,	(2.10)
S

где Σqi − сумма свободных зарядов, заключенных внутри поверхности S.

Выражение (2.10) есть теорема Гаусса для поля в веществе в интегральной форме, а (2.9) − теорема Гаусса для поля в веществе в дифференциальной форме.

2.5.2.Граничные условия

Рассмотрим плоскую границу двух диэлектриков, заполняющих все пространство. Пусть ε1 и ε2 − их относительные ди-

	электрические проницаемости.
	Пусть	существует некое						E1
	электростатическое поле. Из−за
				ε1 1
	влияния связанных		зарядов,			2	b
	возникающих на границе разде-
				4	а	3		Eτ1
	ла диэлектриков,		суммарное
				ε2		E2
	поле должно быть различным в							Eτ2
	разных веществах.					Рис.2.4
	Найдем	циркуляцию век-

тора Е по прямоугольному контуру 1−2−3−4 (рис.2.4). Очевидно

∫Еdl ≈ Eτ1а− Eτ 2а+ Еb 2b ,	(2.11)
L

где a и b − длина и ширина выбранного контура, Еτ1 и Еτ2 − тангенциальные составляющие векторов Е1 и Е2, <Eb> − среднее значение нормальных составляющих векторов Е1 и Е2 на участках 2−3 и 4−1. Расстояние а считаем настолько малым, что в его пределах составляющие Еτ1 и Еτ2 можно считать постоянными.

Устремляя в (2.11) расстояние b к нулю, получаем Еτ1=Еτ2. Для вектора электростатической индукции D при этом имеем