Экономико-математические методы (Абчук)
.pdf130 |
Часть I. Глава 3 |
Случайные величины и их характеристика
До сих пор речь шла о случайных событиях: "произошло - не произошло", "данет". Современная теория вероятностей поль зуется главным образом случайными величинами.
Случайная величина - это такая переменная величина, кото рая в результате опыта может принять то или иное численное зна чение, причем не известно, какое именно. Например, отклонение прибыли от ожидаемого значения.
Случайные величины делятся на дискретные (прерывные) и непрерывные.
Дискретные случайные величины - это величины, могущие принимать лишь отдельные изолированные значения, которые мож но заранее предусмотреть, перечислить. Например, ожидаемое ко личество единиц продукции: ноль, один, два. Больше никаких зна чений оно принимать не может.
Непрерывная случайная величина - это такая величина, кото рая может принимать любое из бесчисленного множества значений. Например, возможная сумма прибыли.
Для того чтобы охарактеризовать случайную величину, при меняют так называемое распределение.
Распределение - характеристика случайной величины, ко торая показывает:
-какие значения может принимать случайная величина;
-сколь вероятно то или иное из этих значений.
Распределение дискретной случайной величины
Для этой группы случайных величин применяется два вида распределений.
1-й вид - ряд распределения:
X, |
Х\ |
х2 |
x-s |
-х„ |
\ .. р.., |
. p i . . |
Рг |
Рз |
... р„ |
Пример 3.27
Заключен договор на строительство трех одинаковых объек тов. Вероятность сдачи объекта в срок р = 0,2.
Методы исследования операций в экономике |
131 |
Найти распределение случайной величины - количества объектов, сданных к сроку.
Решение
Обозначим через х количество объектов, сданных к сроку 0 = 0,1,2,3).
При этом распределение дискретной случайной величины х
будет:
|
"**" |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
0,216 |
0,432 |
0,288 |
0,064 |
||
Pi |
2-й вид - многоугольник распределения. Это график, построенный по данному ряду (рис. 3.5):
Распределение непрерывной случайной величины
Непрерывная случайная величина подобным образом не может быть охарактеризована по двум причинам:
-у нее бесчисленное множество значений;
-вероятность каждого ее отдельного значения равна нулю.
132 |
Часть I. Глава 3 |
Приходится прибегать к обходным путям.
В качестве распределения, например, применяют так назы ваемую плотность распределения (рис. 3.6). Плотность распре деления вероятности (или просто плотность вероятности) - это функция, подобранная так, что площадь под соответствующей ей кривой в заданных пределах есть вероятность интересующе го нас события:
Р |
|
х)^ |
(3.102) |
a |
|
\f{x)dx = \. |
(З.юЗ) |
- о с |
|
1/W
Рис. 3.6
Числовые характеристики случайных величин
Во многих практических задачах нет необходимости иметь распределение случайной величины, а достаточно воспользовать ся так называемыми числовыми характеристиками, которые в сжа той форме показывают особенности этого распределения. Таких показателей несколько. Мы будем рассматривать три основных.
1.Математическое ожидание.
2.Дисперсия.
3.Среднее квадратическое отклонение.
Методы исследования операций в экономике |
133 |
Математическое ожидание случайной величины МО(х)
Математическим ожиданием случайной величины называ ется среднеожидаемое ее значение. Между MO(JC) И средним арифметическим такая же связь, как между вероятностью и часто той. МО(х) имеет размерность случайной величины.
Для дискретной случайной величины
п |
|
МО(х) = £х.,Р;. |
(3.104) |
1=1 |
|
П р и м е р 3.28
Необходимо принять решение об инвестировании некото рого капитала в один из двух проектов:
проект № 1 сулит прибыль в размере 50 млн у.д.ед. с вероят ностью 40 %;
проект № 2 сулит прибыль в размере 80 млн у.д.ед. с вероят ностью 20 %.
Какому проекту отдать предпочтение как наиболее прибыль ному? (Проверьте вначале свою интуицию.)
Решение
Ожидаемая прибыль (математическое ожидание прибыли) находится как произведение величины предполагаемой прибыли на ее вероятность:
по проекту № 1 50 • 0,4 = 20 млн у.д.ед., по проекту № 2 80 • 0,2 = 16 млн у.д.ед.
Проект № 1 оказывается предпочтительнее как более при быльный.
Дисперсия случайной величины
Дисперсия служит для показания степени рассеивания слу чайной величины относительно ее среднеожидаемого значения.
Дисперсия - это МО квадрата отклонения случайной вели чины от среднего значения (т.е. от МО). Квадрат берется для того,
чтобы избавиться от знака минус. |
|
D(x) = MO[JC - МО(х)]2. |
(3.105) |
134 |
Часть I. Глава 3 |
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величи ны. Это неудобно, поэтому на практике пользуются не дисперсией, а корнем квадратным из нее.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины
Корень квадратный из дисперсии |
|
а(х) = Л[Щх) |
(3.106) |
и есть среднее квадратическое отклонение случайной величины. Размерность среднего квадратического отклонения есть раз
мерность случайной величины. П р и м е р 3.29
В условиях примера 3.27 найти математическое ожидание МО(дг), дисперсию D(x) и среднее квадратическое отклонение а(х) случайной величины х.
Решение
МО(х) = 0-0,216+ 1 - 0,432 + 2 • 0,288 + 3 • 0,064 = 1,2 объекта (это можно было получить и проще - как 3 • 0,4);
D(x) = (0 - 1,2)2 • 0,216 + (1 - 1,2)2 • 0,432 + (2 - 1,2)2 0,288 +
+(3 - 1,2)2 • 0,064 = 0,72 объекта; о(х) = V0,72 = 0,848 объекта.
х= (1,2 ± 0,848) объекта » (1 ± 1) объект, т.е. в среднем сле дует ожидать от 0 до 2 объектов.
Законы распределения случайных величин
Под законом распределения случайной величины понима ют наиболее общие свойства, связи, присущие большой группе слу чайных величин.
Закон выявляет нам характер этих связей.
В практических задачах больше всего приходится сталки ваться с тремя основными законами:
-законом равномерной плотности;
-законом Пуассона;
-нормальным законом.
Методы исследования операций в экономике |
135 |
Закон равномерной плотности
Это наиболее простой закон (рис. 3.7):
|
Рис. 3.7 |
Плотность распределения здесь равна: |
|
f(x) = С = |
при а < JC < Р, |
Р-сс |
(3.107) |
Д*) = 0 |
при х < а или х > р. |
Вероятность попадания случайной величины х, подчинен ной этому закону, на участок от а до Р равна:
Р(сс < х < Р) = jf(x)dx.
Числовые характеристики этого закона:
|
12 |
(3.108) |
|
Р-ос |
|
<*(•*) = |
|
|
2л/з' |
|
136 |
Часть I. Глава 3 |
Пример 3.30
Цена товара (JC) может быть в равной степени любой, в пре делах от 15 до 25 тыс. у.д.ед.
Найти MO(JC), D(x) и а(х) .
Решение |
|
|
w^/ ч 15 + 25 |
^ |
|
МО(дг) = |
= 20 тыс. у.д.ед. |
|
D(JC) = V25"15) = 8,32 |
тыс. у.д.ед2. |
|
а(х) = ^8,32 = 2,83 тыс. у.д.ед. Уц» 20 ± 3 тыс. у.д.ед.
Закон Пуассона (закон редких событий)
Закон применим для дискретных случайных величин, вероят ность каждой из которых очень мала. Поэтому закон Пуассона на зывают законом распределения редких событий (рис. 3.8).
й5\
Распределение Пуассона проиллюстрируем примером.
Пример 3.31
Известно, что среднее количество вызовов мобильной теле фонной станции
у = 1,75 вызова в час.
Методы исследования операций в экономике |
137 |
Какова вероятность получения двух вызовов за 2 часа ( т = 2, 1 = 2ч)?
Каково математическое ожидание MO(JC), дисперсия D(x) и среднее квадратическое отклонение а(х) количества вызовов за это время?
Решение
Доказано, что вероятность получения m вызовов
ат Р » = - г * - . (3.109)
т !
где а = yt - математическое ожидание числа вызовов за все время:
а= 1,75 • 2 = 3,5 вызова.
Р,= М1е -з, =1^.0,04 = 0,24.
2! 2 Числовые характеристики закона Пуассона:
МО(х) = а,] |
|
|
D(x) = a, |
(3.110) |
|
G(JC) = л/а. |
||
|
||
Значит, в условиях нашего примера: |
|
|
МО(х) = 3,5 вызова, |
|
|
D(JC) = 3,5 вызова, |
|
|
с(х) = д/3^5 = 1,87 вызова. |
|
Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
Нормальный закон играет важнейшую роль в теории вероят ностей и занимает особое положение среди всех других законов. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения слу чайных величин. Отсюда и его название - нормальный закон.
Плотность распределения нормального закона имеет следую щий вид (рис. 3.9):
1 (х~тУ
/(*) = -7л/2я
138 |
Часть L Глава 3 |
Для удобства расчета вероятности при нормальном законе вво дится понятие срединного (вероятного) отклонения. Срединное (ве роятное) отклонение - половина длины участка под кривой нормаль ного распределения, симметричного относительно центра рассеива ния, в пределах которого сосредоточено 50 % вероятности (рис. 3.10).
Вероятность попадания случайной величины X, подчинен ной нормальному закону, в заданный интервал от хх до х2 вычисля ется по формуле:
Р(х,<Х<х2 ) = Ф ^ - ш ! _ ф [ * ' -т |
(ЗЛИ) |
Методы исследования операций в экономике
где |
'ф (*)= J H T J * 2dt |
(Ф(х) - функция Лапласа, см. табл. 3.31), jc-m
139
(3112>
t = |
. |
|
а |
Таблица 3.31
Функция Лапласа (интеграл вероятностей)
0,0 |
0 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
0,0000 |
0,0080 |
0,0160 |
0,0239 |
0,0319 |
0,0399 |
0,0478 |
0,0558 |
0,0638 |
0,0717 |
|
0,1 |
0,0797 |
0,0876 |
0,0955 |
0,1034 |
0,1113 |
0,1192 |
0,1271 |
0,1350 |
0,1428 |
0,1507 |
0,2 |
0,1585 |
0,1663 |
0,1741 |
0,1819 |
0,1897 |
0,1974 |
0,2051 |
0,2128 |
0,2205 |
0,2282 |
0,3 |
0,2358 |
0.2434 |
0,2510 |
0,2586 |
0,2661 |
0,2737 |
0,2812 |
0,2886 |
0,2961 |
0,3035 |
0 4 |
0,3108 |
0,3182 |
0,3255 |
0,3328 |
0,3401 |
0,3473 |
0,3545 |
0,3616 |
0,3688 |
0,3759 |
0,6 |
0,3829 |
0,3899 |
0,3969 |
0,4039 |
0,4108 |
0,4177 |
0,4245 |
0,4313 |
0,4381 |
0,4448 |
0,4515 |
0,4581 |
0,4647 |
0,4713 |
0,4778 |
0,4843 |
0,4907 |
0,4971 |
0,5035 |
0,5098 |
|
0,7 |
0,5161 |
0,5223 |
0,5285 |
0,5346 |
0,5407 |
0,5467 |
0,5527 |
0,5587 |
0,5646 |
0,5705 |
0,8 |
0,5763 |
0,5821 |
0,5878 |
0,5935 |
0,5991 |
0,6047 |
0,6102 |
0,6157 |
0,6211 |
0,6265 |
0,9 |
0,6319 |
0,6372 |
0,6424 |
0,6476 |
0,6528 |
0,6579 |
0,6629 |
0,6680 |
0,6729 |
0,6778 |
1,0 |
0,6827 |
0,6875 |
0,6923 |
0,6970 |
0,7017 |
0,7063 |
0,7109 |
0,7154 |
0,7199 |
0,7243 |
1,1 |
0,7287 |
0,7330 |
0,7373 |
0,7415 |
0,7457 |
0,7499 |
0,7540 |
0,7580 |
0,7620 |
0,7660 |
1,2 |
0,7699 |
0,7737 |
0,7775 |
0,7813 |
0,7850 |
0,7887 |
0,7923 |
0,7959 |
0,7995 |
0,8029 |
1,3 |
0,8064 |
0,8098 |
0,8132 |
0,8165 |
0,8198 |
0,8230 |
0,8262 |
0,8293 |
0,8324 |
0,8355 |
1,4 |
0,8385 |
0,8415 |
0,8444 |
0,8473 |
0,8501 |
0,8529 |
0,8557 |
0,8584 |
0,8611 |
0,8638 |
|
0 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
1,5 |
0,8664 |
0,8670 |
0,8715 |
0,8740 |
0,8764 |
0,8789 |
0,8812 |
0,8936 |
0,8859 |
0,8882 |
1,6 |
0,8904 |
0,8926 |
0,8948 |
0,8969 |
0,8990 |
0,901 i |
0,9031 |
0,9051 |
0,9070 |
0,9090 |
1,7 |
0,9109 |
0,9127 |
0,9146 |
0,9164 |
0,9181 |
0,9199 |
0,9216 |
0,9233 |
0,9249 |
0,9265 |
1,8 |
0,9281 |
0,9297 |
0,9312 |
0,9328 |
0,9342 |
0,9357 |
0,9371 |
0,9385 |
0,9399 |
0,9412 |
1,9 |
0,9426 |
0,9439 |
0,9451 |
0,9464 |
0,9476 |
0,9488 |
0,9500 |
0,9512 |
0,9523 |
0,9534 |
2,0 |
0,9545 |
0,9556 |
0,9566 |
0,9576 |
0,9586 |
0,9596 |
0,9606 |
0,9616 |
0,9625 |
0,9634 |
2,1 |
0,9643 |
0,9651 |
0,9660 |
0,9668 |
0,9676 |
0,9684 |
0,9692 |
0,9700 |
0,9707 |
0,9715 |
2,2 |
0,9722 |
0,9729 |
0,9736 |
0,9742 |
0,9749 |
0,9756 |
0,9762 |
0,9768 |
0,9774 |
0,9780 |
2,3 |
0,9786 |
0,9791 |
0,9797 |
0,9802 |
0,9807 |
0,9812 |
0,9817 |
0,9822 |
0,9827 |
0,9832 |
2,4 |
0,9836 |
0,9840 |
0,9845 |
0,9849 |
0,9853 |
0,9857 |
0,9861 |
0,9865 |
0,9869 |
0,9872 |
2,5 |
0,9876 |
0,9879 |
0,9883 |
0,9886 |
0,9889 |
0,9892 |
0,9895 |
0,9898 |
0,9901 |
0,9904 |
2,6 |
0,9907 |
0,9910 |
0,9912 |
0,9915 |
0,9917 |
0,9920 |
0,9922 |
0,9924 |
0,9926 |
0,9928 |
2,7 |
0,9931 |
0,9933 |
0,9935 |
0,9937 |
0,9939 |
0,9940 |
0,9942 |
0,9944 |
0,9946 |
0,9947 |
2,8 |
0,9949 |
0,9950 |
0,9952 |
0,9954 |
0,9955 |
0,9956 |
0,9958 |
0,9959 |
0,9960 |
0,9962 |
2,9 |
0,9963 |
0,9964 |
0,9965 |
0,9966 |
0,9967 |
0,9968 |
0,9969 |
0,9970 |
0,9971 |
0,9972 |
3 |
0 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
0,9973 |
0,9981 |
0,9986 |
0,9990 |
0,9993 |
0,9995 |
0,9997 |
0,9998 |
0,9999 |
0,9999 |
Следует также иметь в виду, что функция (3.112) нечетная, поэтому при отрицательном аргументе следует изменять знак фун кции, т.е. Ф(—х) = -Ф(х).