М.В.Бураков. Генетический алгоритм. 2008

Продолжение табл. 5.7

№

Функция

Ограничения

		x −2x 2 +x + x 4 −2x 5 ≤4
		−x −x + x −2x + x ≤ 0
					2			4	5
		x	≥0
3	F =2x −x 2 + x +x 4 −2x 5 →ma
		x 2 ≥0
		x	≥0
		x	≥0
		4
		x 5 ≥0
					−x + x ≤9
								2
					2x + x 2 ≤ 8
4	F =4x +2x 2 →ma
					2x −x 2 ≤ 0
					x		≥0
					x		≥0
					2
					−x +x 2 +x =
					x −x +x =
							2	4
					x +x +x =2
							2	5
5 F =2x −x 2 + x +2x 4 −x 5 →ma					x ≥0
						≥0
					x 2
					x	≥0
					x 4 ≥0
						≥0
					x
					5
			−x − x +x +2x =5
							2		4
			2x +x2 −2x +x4 =2
			x + x − x =8
	F =2x +x 2 +5x 4 →ma							4
6			x ≥0
			x		≥0
				2
			x		≥0
			x4 ≥0

151

Продолжение табл. 5.7

№

Функция

Ограничения

x +x2 − x +2x 4 −x5 ≤4

x − x +2x ≥2

2

4

5

2x − x −2x +x −x =5

2

4 5

x

+x − x 4 +2x 5 =8

7

F =2x −x 2 + x +x 4 −x 5 →ma

≥0

x

x

≥0

2

x

≥0

x4 ≥0

x

≥0

5

x

+4x

−x

+x

= 6

2

4

4x −6x 2 + x −7x4 =20

x

≥0

8

F =8x −6x 2 −5x +2x 4 →ma

x

≥0

2

x

≥0

≥0

x

4

x ≤8

x ≤ 0

2

9

F =40x + 6x 2 →min

+ x 2 ≥45

5x

x

≥0

x

≥0

2

x +2x 2 ≤ 0

x

+x

≥

2

10

F =x +2x 2 →min

≤4

x2

x

≥0

x

≥0

2

x +x2 +x ≤7

x

−x +x ≥2

2

11

−x2 −2x = −5

F =x −2x 2 + x →ma

x

x

≥0

x

≥0

2

152

Продолжение табл. 5.7

№

Функция

Ограничения

				−x +2x ≤4
										2
				x +2x 2 ≤ 4
12	F = x +2x 2 →ma							−x2 ≤
				x
				x				≥0
				x				≥0
					2
			x −2x 2 +x ≤
			−4x +x +2x ≥
									2
			2x			−x			= −
13	F = − x +x 2 +x →ma		x ≥0
			x		≥0
				2	≥0
			x
		x		+x				+x		≤ 00
					2
		0x +4x 2 +5x ≤600
		2x +2x +6x ≤ 00
								2
14	F = 0x +6x 2 +4x →ma	x ≥0
		x		≥0
			2	≥0
		x
				x ≤5
				x				+2x ≤ 0
										2
15
	F =x + x 2 →ma			x2 ≤4
				x				≥0
				x				≥0
						2
				x			+x			+x	≤
								2
				x ≥0
16	F =(x − )2 +(x 2 +4)2 +e5x →min			x			≥0
					2
				x			≥0
			x +2x 2 + x =7
17	F =x 2 +x 22 +x 2 →min		2x		+2x					+x	=4,5
								2

153

Окончание табл. 5.7

№

Функция

Ограничения

x +2x +x ≤4 0

2

x +2x ≤460

x

+4x

≤450

2

18

F =4x +2x 2 +5x →ma

x ≥0

x

≥0

2

≥0

x

5.6.4. Решение задачи нелинейного программирования

Решить задачу минимизации функции при нелинейных ограни-

чениях (табл. 5.8).

Таблица 5.8. Задача минимизации при нелинейных ограничениях

№

Функция

Ограничения

x 2 +x 2

≤5

2

1

F =x 2

+2x 2

→min

2

2x −2x =

2

x +4x x ≤4

2

2

F = −2x −4x x 2 →min

x ≥0

x

≥0

2

2x

+x

=4

2

3

F = x 2

−2x →ma

x 2 +x 22 ≤40

2

x

≥0

4

2

2

(x − ) −x 2 =0

F =x

+x 2 →min

2

−

x

≥0

x

2

x

−x

≥0

5

2

2

2

x −x 22 +x 2x −4 =0

F =x +x 2 +x →min

≤x ≤5

0

0 ≤x

≤

2

≤x

≤

0

154

Продолжение табл. 5.8

№

6

7

8

9

10

11

12

Функция

Ограничения

x +x 2

−2 =0

2

− ≤x ≤

F =x 2

+4x 2 +x 2 →min

≤x

≤2

2

0

2

0 ≤x

≤2

x

+x 2

+x − =0

2

x 2

x

− =0

2

+x x −4 =0

−x x 2x

x −x 2

F =

2

2

2 →min

0 ≤x

8

0 ≤x 2

0 ≤x

2x

+x ≥4

2

2

+2x 2 →min

+x 2 ≤40

F = x

x 2

2

x ( +x 2)+x 4

−4−

2

=0

F =(x − )

2

+(x −x 2)

2

+

2

2

0 ≤x ≤

+(x

−x

)2

→min

0 ≤x

≤

2

2

0 ≤x

≤

2−x −x 2 =0

2

≥0

x 2 −x

F =x 2

+x 2

→min

2

2

0,5≤x 2 ≤2,5

≤x ≤

0

9−2x 2

− x ≥0

2

F =x 4

+x →min

0 ≤x

2

0 ≤x 2

2x −x 2

− ≥0

2

−2x ≥0

9

−0,8x 2

F =x −x 2 →min

2

≤x

0

≤x 2

0

155

Окончание табл. 5.8

№

Функция

Ограничения

13	F = x	+x →min	−(x −2)2		−(x	−5)2			≥0
		2			2
			−x −x 2 ≥0
14	F =(x −2)2 +(x −2)2 →min		0x −x 2 −2≥0
		2		≤x 2
			0
			0−x 2 −x 2 ≥0
					2
				2			2
15	F =2x − (x −4)2 →ma		9−x −(x 2 −4)					≥0
		2	0 ≤x
			25−x 2 −x 2 ≥0
						2
				−x 2	−x ≥0
			9
16	F =x +x 2 →ma				2
				≤x	≤5
		2	0
				≤x 2	≤ 0
			0

5.6.5. Генетический синтез параметров регулятора

Для заданного передаточной функцией объекта управления (табл. 5.9) синтезировать регулятор. Работу выполнять в несколько этапов:

–выполнить анализ разомкнутой системы управления с целью выяснения устойчивости системы и параметров переходного процесса;

–попытаться синтезировать наиболее простой вариант регулятора (П-типа), в случае неудачи усложнить закон управления, используя регулятор ПИ-, ПДили ПИД-типа;

–синтезировать НЛР со структурой, заданной преподавателем. В качестве варианта можно сначала синтезировать нейроэмуля-

тор, а затем синтезировать регулятор, используя нейроэмулятор в контуре настройки.

Таблица 5.9. Описание объекта управления

№

Передаточная функция

№

Передаточная функция

разомкнутой системы

разомкнутой системы

1

W =

2s+

10

W =

s+

5s +50s2 − s+

−s +0, s2 +0, s+

2

W =

0s+

11

W =

0s2 +4s+

0,0 s4 +0, s −s2 −s+

− s +0,5s2 −0,5s+

156

Окончание табл. 5.9

№

Передаточная функция

№

Передаточная функция

разомкнутой системы

разомкнутой системы

3

W =

0s2 −5s+

12

W =

5s2 +2s+

0, s − 0s2 +2s+

0s −5s2 +0,5s+

4

W =

00s2 +25s+

13

W =

4s+

−6s + 0s2 −0, s+

0s +20s2 −20s+

5

W =

s2 + 0s+

14

W =

− 5s+

20s +20s2 −s+

8s −4s2 +2s+

6

W =

0s+

15

W =

5s2 +5s+

−2s −2s2 +s+

4s −7s2 + s+

7

W =

0s2 −25s+

16

W =

0s2 + 5s+

0, s +0,0 s2 −0, s+

0s −5s2 −2s+

8

W =

0s+

17

W =

2s+

−2s +2s2 +s+

5s2 − s+

9

W =

−2s+

18

W =

s2 − 5s+

−5s2 + s+

0s +5s2 +2s+

157

Заключение

Современная вычислительная техника позволяет ученым и ин- женерам-разработчикам моделировать разнообразные сложные объекты и процессы. Однако чем сложнее объект, тем труднее решить задачи оптимизации, идентификации и синтеза.

Генетический алгоритм может работать с любыми функциями: разрывными, не имеющими производных, целочисленными, в задачах с ограничениями и без ограничений, при любом размере пространства поиска. Такая универсальность привела к тому, что генетический алгоритм в настоящее время широко применяется в самых разных областях науки и техники. В учебном пособии описаны некоторые важные приложения генетического алгоритма, дающие возможность понять, как возникают типовые оптимизационные задачи в областях, на первый взгляд, далеких друг от друга.

Появление библиотеки GADS toolbox в составе Simulink MatLab открыло новый этап в распространении генетического алгоритма как методики решения задач оптимизации. В сочетании с другими широко известными пакетами, такими как Control Sy stem toolbox, Fuzzy Logic toolbox и Neural Net toolbox библиотека GADS дает но-

вые возможности для синтеза регуляторов и моделирования сложных систем.

Приведенные в учебном пособии примеры позволяют получить опыт использования библиотеки GADS MatLab для решения практических задач. Конечно, успех использования генетического алгоритма в конкретной задаче не может быть гарантирован, он возникает при глубоком понимании разработчиком как механизмов действия генетического алгоритма, так и особенностей задачи, для решения которой генетический алгоритм привлекается.

Важное достоинство библиотек MatLab заключается в открытости их кода. Пользователь может модифицировать стандартные функции или использовать собственные функции, написанные на языке MatLab. Знание системы MatLab становится в последние годы одним из необходимых требований к выпускнику технического вуза. Для первоначального знакомства с MatLab можно воспользоваться пособием [74].

Успех генетического алгоритма стимулировал поиски других биологических аналогий, таких как «муравьиная оптимизация»

(ants colony optimization), «ройный интеллект» (swarm intelligence)

ит.д.Возникаютнаправления,вкоторыхэтиподходыплодотворно используются совместно с нечеткой логикой, нейронными сетями

идругими областями технического искусственного интеллекта.

158

Наблюдая за полетами птиц, человек создал турбореактивные лайнеры, весьма далекие от своего биологического прототипа, но умеющие летать. Одним из результатов размышлений о процессе эволюции стал генетический алгоритм. И уже не важно, что он является только грубой (а возможно – и неверной) моделью эволюции. Важно, что он решает практические задачи.

159

Библиографический список

1.FraserA.S.Simulationofgeneticsy stems//J.ofTheor.Biol.1962. Vol. 2. P.329–346.

2. Holland J. Ad aptation in Natural and Artificial Sy stems: An Introd uctory Analy sis with application to Biology , Control and Artificial Intelligence. University of Michigan Press, 1975.

3. Goldberg D. E. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Read ing. MA: Add ison-Wesley , 1989.

4.Hand bookofGeneticAlgorithms/Ed .L.Davis.N.Y.:VanNostrand Reinhold , 1991.

5. Chambers L. D. (Ed .) Practical Hand book of Genetic Algorithms. CRC Press, Boca Raton FL, 1995. T. 1. 560 s.; T. 2. 448 s.

6. Fogel D. B. Evolutionary computation: Toward a New Philosophy of Machine Intelligence // IEEE Press. Piscataway NJ, 1995.

7. Растригин Л. А. Адаптация сложных систем. Методы и приложения. Рига: Зинатне, 1981. 375 с.

8. Букатова И. Л. Эволюционное моделирование и его приложения. М.: Наука, 1979. 231 с.

9. Букатова И. Л., Михасев Ю. И., Шаров А. М. Эвоинформатика: Теория и практика эволюционного моделирования. М.: Наука, 1991. 206 с.

10. Неймарк Ю. И. Поисковые и оптимизационные возможности коллективаавтоматов//Самоорганизацияиадаптивныеинформаци- онно-управляющие системы. М., 1979. С. 21–24.

11. Батищев Д. И. Генетические алгоритмы решения экстремальных задач. Воронеж, 1995. 65 с.

12. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. М.: Горячая линия – Телеком, 2004. 452 с.

13. Емельянов В. В., Курейчик В. В., Курейчик В. М. Теория и практика эволюционного моделирования. М.: Физматлит, 2003. 432 с.

14. Гладков Л. А., Курейчик В. В., Курейчик В. М. Генетические алгоритмы. М.: Физматлит, 2006. 320 с.

15. Стецюра Г. Г. Эволюционные методы в задачах управления, выбора и оптимизации // Приборы и системы управления. 1998. № 3. С. 54–62.

16. Скурихин А. Н. Генетические алгоритмы // Новости искусственного интеллекта. 1995. № 4. С. 6–46.

17. Курейчик В. М. Генетические алгоритмы. Состояние, проблемы, перспективы // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 1999. № 1. С. 144–160.

160