опред-интеграл-stud

Так как несобственный интеграл первого рода определяется как предел определенного интеграла, то он обладается многими свойствами определенного интеграла.

					+1	b
	По свойствам определенного интеграла имеем				Ra	f(x) dx = Ra	f(x) dx+
	+1		+1		+1
+	R	f(x) dx, поэтому интегралы	R	f(x) dx è	R	f(x) dx сходятся или

b	a
расходятся одновременно.

Заметим, что само вычисление несобственного его определении. Пусть F (x) первообразная

b

интеграла основано на для функции f(x) на

[a; 1), òî

+1	A	A!+1		a	1
Z	A!+1 Z
a	a	f(x) dx = lim		A	= F (+ ) F (a); (15:5)
f(x) dx =	lim		F (x)

ãäå F

lim

F (A). Получили обобщение

формулы Ньютона-

(+1) = A!+1

Лейбница на бесконечный промежуток.

Аналогично

Z

b

( ) = B! 1

B

1

b

f x dx

lim F (x)

= F (b)

F (

);

(15:6)

1

+

1

Z

B!! 11

B

1 1

A

f(x) dx =

lim F (x)

= F (+

)

F (

);

(15:7)

1

+1 dx

A

+

Пример

+

Вычислите интеграл

Ra

x (a > 0

15.1.

).

1 dx

= A!+1 ln

A

a x

0 = A!+1 ln ln = +1

Решение .

R

lim

x

lim

A

a

.

Пример 15.2.

интеграл

+1 dx

(a > 0; = 1).

+

Вычислите A

Ra

x

1

6

1 dx

x1

A

1

1

Решение . I =

=

!

1

x

dx =

! 1

=

! 1

a ).

1

R

lim

R

1

1

1 A +

a x

A +

a

A

A +1 a

1

> 0, òî

+

A

=

имеем I

! 1

и интеграл

Åñëè

! 1

, òî åñòü ïðè <

расходится.

31

Åñëè 1		< 0, òî	lim			A1 = 0, то есть при > 1 имеем I =	a1
сходится.		A	!	+	1				1 и интеграл

+1

dx

Пример

+

Вычислите+интеграл

R1

.

x2 + 1

15.3.

1 dx

1

dx

A

A!+1

1 x2

+ 1

A!+1 1

x2 + 1 A!+1

1

Решение .

R

=

lim

R

=

lim

arctg x

=

lim

arctg A arctg 1 =

=

2

4

=

4

.

+1 xdx

Пример 15.4. Вычислите интеграл R1

.

x2 + 1

+1 xdx

A

xdx

1

2

A

1

B! 1 B

B! 1

Решение .

2R

=

2

R

=

lim

ln(x

+ 1)

=

lim

x2 + 1

A!+1

x2 + 1

2

A!+1 2

B

ln(A + 1) ln(B + 1)

=

lim

= ln

A2

+ 1 .

B! 1

2

r

B + 1

A!+1

r

B! 1

A2 + 1 = ln 2;

Получили неопределeнность. В самом деле, если A = 2B, то

lim

ln

r

A!+1

B2 + 1

B! 1

A2 + 1

åñëè B = 2A, òî

lim

ln

. Следовательно, интеграл расходится.

A!+1

B2 + 1

= ln 2

+1 xdx

íèÿ.

Вычислите интеграл R1

в смысле главного значе-

x2 + 1

Пример 15.5.

+1 xdx

!

2

A

xdx

! 1

1

2

A

21

Решение .

R

=

lim

R

=

lim

2

ln(x

+ 1)

=

=

lim

x2

+ 1

A +1 A x2 + 1

A +

A

ln(A + 1)

ln((

A)

+ 1)

= 0. Интеграл сходится.

A!+1

2

Не всегда сходимость интеграла (15.1) можно доказать по определению или вычислить интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Для исследования сходимости интеграла применяют специальные признаки.

1 признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) определены, непре-

рывны и положительны на [a; 1) и при x > b справедливо неравенство

f(x) 6 g(x).

	+1		+1		1
Если интеграл	R	1	R
		g(x)dx сходится, то интеграл		f(x)dx сходится.
	a		a
дится.	+			+
	Ra			Ra
Если интеграл			f(x)dx расходится, то интеграл		g(x)dx расхо-

32

2 признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) определены, непрерывны и положительны на [a; 1). Если существует конечный предел

lim	f(x)	= K (		< K <	1	), то интегралы	+1g x dx è		+1f(x)dx
x!1 g(x)			0				Ra	( )	Ra

сходятся или расходятся одновременно.

При применении признаков сравнения часто в качестве эталонной функции используют функцию g(x) = x1 , сходимость которой мы уже рассмотрели

+1

x

)

( 6 1

интеграл расходится:

(15:8)

Za

dx

> 1

интеграл сходится;

и предел отношения степенных функций

n > m;;

lim P (x) = lim a0xn + : : : =

8

0

;

åñëè

(15:9)

>

;

åñëè

n < m

1

x

!1

Q(x)

x

!1

b0xm

+ : : :

åñëè

> a0

;

n < m;

<

> b0

+

>

:

1 x arctg x

Пример 15.6. Исследуйте сходимость интеграла

R1

3

dx.

x8 + 3

Применим второй признак

p

+1

Решение .

сравнения

lim f(x) :

1

=

lim

x3

arctg x

:

1

= lim x

3x arctg

x =

lim x

3

arctg

x =

2

x!+1

x

x!1 px8 + 3

x

x!1

px8 + 3

x!1

px8 + 3

8

5

+1 dx

сравнения искомый интеграл также

R

x

ïðè + 1 =

3. Òàê êàê

=

3

> 1, òî

a

сходится и по второму признаку

сходится.

+1 dx

Пример 15.7. Исследуйте сходимость интеграла

Ra

ln x

.

Решение . Применим первый признак сравнения. Имеем

1

1

> x. Так как интеграл

ln x

+1 dx

+1 dx

R

x

от меньшей функции расходится ( = 1), то интеграл

R

a

a

ln x

от большей

функции также расходится.

Задания для самостоятельного решения

Задание 15.1. Вычислите интегралы

+1

dx

+1

dx

+1

(x + 3)dx

à)

R1

;

á)

R2

dx;

â)

R3

.

x2(x + 2)

x2 + x 2

p

(x2 + 6x + 10)3

33

Задание 15.2. Вычислите интегралы

+1 2

x3

+1

+1 exdx

+1 4dx

à)

R1

x

e

dx; á)

R0

dx;

â)

eR2

dx;

e2x + 1

ln3 x

	+1 ln x
ã)	R1 x3	dx.

Задание 15.3. Исследуйте сходимость интегралов
à)	+1 (x2 + 1)dx		;	á)	+1		(3x 4)dx	; â)	+1	x13dx	.
	R0				R1				R1
		x3 4x2 + 9				p				(x4 3x + 17)5
							x5 + 3x2 + 5x + 1

16. Несобственные интегралы второго рода.

Пусть функция f(x) определена на промежутке [a; b] и не ограничена

на нем. Если lim f(x) = 1, то точку c называют особой точкой.

x!c

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на промежутке [a; b) и

не ограничена в окрестности точки b, то есть lim f(x) = 1. На любом

x!b

отрезке [a; b ] ( > 0) функция f(x) интегрируема, то есть существует

b		b	f(x)	[a; b]
R	f(x)dx. Если предел lim	R
		f(x)dx конечен, то его называют несоб-
a	!0	a
ственным интегралом 2-го рода от функции			íà		.
	b	b
	Z	Z
	f(x)dx = lim f(x)dx:				(16:1)
		!0
	a	a

Если в формуле (16.1) конечный предел существует, то говорят, что интеграл сходится, если предел бесконечне или не существует, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично вводится несобственный интеграл от непрерывной на (a; b]

и неограниченной в точке a функции f(x)

b b

ZZ

	f(x)dx = lim f(x)dx:	(16:2)
a	!0
	a+

Если c 2 (a; b) внутренняя точка промежутка и функция f(x) не

ограничена в окрестности точки c, то

Za	b	!0	c 1	(	)		+ 2!0	b
	1		Za			dx		Z	(16:3)
	f(x)dx = lim		f		x		lim	f(x)dx:

c+ 2

34

Для вычисления несобственного интеграла 2-го рода также применима формула Ньютона-Лейбница. Если F (x) первообразная для f(x), b особая точка функции, то

b

b

Z

= !0

a

!0

a

f(x)dx

lim F (x)

= lim F (b

)

F (a) = F (b) F (a):

(16:4)

1

dx

Пример 16.1. Вычислите

R0

.

1 x2

Имеем

1

dx

p1

dx

1

!0

0

p1 x2 =

!0

0

p1 x2 !0

0

Решение .

R

lim

R

= lim arcsin x

= lim arcsin(1

)

arcsin 0 =

2

.

b

dx

Пример 16.2. Вычислите Ra

( > 0)

(bx a)

b

= ln

!0

1

a

x a

= !0

) a+

Решение . Пусть = 1. Имеем

dx

dx

lim ln(x

a

b

lim ln =

.

Интеграл расходится.

R

1

b

dx

!0

(x a)1

b

(b a)1

1

a

(x a)

1

a+

1 !0 1

Пусть 0 < < 1. Имеем

R

= lim

=

lim

=

(b

a)

=

. Интеграл сходится.

1

b

dx

(x

1

b

1

Пусть > . Имеем

dx

lim

a)

a (x a)

1

a+ = (b a) 1(1 )

1

1

=

!0

lim

=

1

. RИнтеграл расходится.

1(1

!0

)

Итак получили, что несобственный интеграл

b

(x a)

( ïðè

< 1

сходится.

(16:5)

Za

dx

ïðè

> 1

расходится;

Аналогично доказывается, что несобственный интеграл

b

(b x)

( ïðè

< 1

сходится.

(16:6)

Za

dx

ïðè

>

1

расходится;

Для исследования сходимости несобственных интегралов 2-го рода также применяют признаки сравнения.

35

ли интеграл

1 признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) определены, непре-

рывны и положительны на [a; b), неограничены в окрестности точки b

и на [a; b) справедливо неравенство f(x) 6 g(x).

Åñëè	b	b	b
		Ra	Ra b
	интеграл	g(x)dx сходится, то интеграл	f(x)dx сходится. Ес-

R R

f(x)dx расходится, то интеграл g(x)dx расходится.

a a

2 признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) определены, непре-

рывны и положительны на [a; b) и неограничены в окрестности точки

b. Если существует конечный предел lim f(x) = K (0 < K < 1), òî

x!b g(x)

bb

RR

интегралы g(x)dx и f(x)dx сходятся или расходятся одновремен-

a	a
íî.

В качестве функций-эталонов берут следующие функции. Если a

	1
особая точка, то g(x) =	(x a) . Если b особая точка, то g(x) =

1

(b x) . Сходимость интегралов от этих функций мы уже рассмотрели.

1				dx
Пример 16.3. Исследуйте сходимость интеграла R0		p
				sin x	.
			x
Решение . Для этого интеграла особой точкой является	x = 0. Применим 2-ой

признак сравнения. В качестве эталона рассмотрим функцию g(x) = x1 . Имеем

p1

lim

x sin x

= lim

x

= lim

x

= 1 ïðè =

1

x

0

1

x

0

x

0

sin x

2. Интеграл

!

!

px sin x

!

px 1

p

x

x

сходится.

1

dx

Пример 16.4. Исследуйте сходимость интеграла R1

.

x3 1

Решение . Интеграл является несобственным интегралом какp1-ãî, òàê è 2-ãî ðîäà.

Представим его в виде суммы двух интегралов

1

dx

2

dx

1

dx

R1

p

= R1

p

+ R2

p

.

x3 1

x3 1

x3 1

2

dx

R1

p

особой точкой является x = 1.

Возьмем функцию-эталон

1

x3 1

Для несобственного интеграла 2-го рода

g(x) = (x 1) . Имеем

36

1

p

(x 1)

lim

x3

1

= lim

=

1

ïðè = 1

1

x!1

x!1

p(x 1)(x

2

+ x + 1)

p3

2. Интеграл сходится.

(x 1)

1

dx

Для несобственного

1

R2

p

возьмем функцию-эталон

x3 1

интеграла 1-го рода

p

g(x) =

1

. Имеем

lim

x3 1

= 1 ïðè = 3

. Интеграл сходится.

x

x!1

1

2

x

Следовательно, заданный интеграл, как сумма двух сходящихся интегралов, сходится.

Задания для самостоятельного решения

Задание 16.1. Вычислите интеграëû

e3

1

x2dx

p13

x dx

à)R1

dx

á) R0

R2

xp3

;

;

â)

.

p

p

ln x

1 x3

x2

4

Задание 16.2. Исследуйте сходимость интегралов

5

dx

5

dx

1

dx

à) R2

á) R1

â) R0

;

;

.

3

p

x

x4

16

x6 1

1 x4

p

p

Задание 16.3. Исследуйте сходимость интегралов
	+1			dx			+1 x arctg x dx
a)	R0	p		(x + 3)2	;	á)	R0	p		.
			x						x(x + 3)5

37

Оглавление

6.	Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.	1
7.	Определение определенного интеграла. . . . . . . . . . . .	4
8.	Свойства определенного интеграла. . . . . . . . . . . . . .	6
9.	Интеграл с переменным верхним пределом. . . . . . . . . .	8
10. Формула Ньютона Лейбница. . . . . . . . . . . . . . . . .		9
11. Вычисление определенных интегралов. . . . . . . . . . . .		10
12. Применение определенного интеграла для вычисления пло-
	щадей фигур. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
13. Применение определенного интеграла для вычисления дли-
	ны дуги кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	24
14. Применение определенного интеграла для вычисления объ-
	емов тел вращения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	28
15. Несобственные интегралы первого рода. . . . . . . . . . . .		29
16. Несобственные интегралы второго рода. . . . . . . . . . . .		34

38