ТоЭ
.pdf40
Если мощность Pн значительна, что характерно для линий передач электрической энергии (ЛЭП), то первостепенной становится задача получения высокого значения к.п.д. Из (29) следует, что для этого необходимо обеспечить r<<R.
Установим связь между мощностью потерь в ЛЭП Pr и мощностью нагрузки:
Pr = r I 2 = ρ |
2l |
Pн 2 |
(30) |
|||
|
|
|
|
, |
||
|
|
|||||
|
S |
U |
|
|
где ρ — удельное сопротивление материала проводов; l — длина линии;
S — сечение каждого провода.
Из (30), в частности, следует, что при Pн =const с повышением напряжения требуется меньшее значение тока и, следовательно, уменьшаются потери в проводах, что, в свою очередь, позволяет уменьшить сечение проводов и расход проводникового материала.
41
3 ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
3.1 Переменный ток и его основные характеристики
Переменным называется ток, изменяющийся во времени по величине и направлению. Значение тока в любой данный момент времени называют мгновенным и обозначают строчной буквой i.
Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени в той же самой последовательности, называют периодическими. Наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, называют периодом и обозначают Т. Величина, обратная периоду, называется частотой (f =1/T) и измеряется в герцах.
Наибольшее практическое распространение получил синусоидальный переменный ток, вырабатываемый на электростанциях электрическими машинами — синхронными генераторами. Мгновенное значение синусоидального тока определяется выражением
2π |
|
= I m sin (ωt + ψ), |
|
|
i = I m sin |
|
t + ψ |
(31) |
|
|
||||
T |
|
|
|
|
где Im — амплитуда; |
|
|
|
ω= 2πT = 2πf — угловая частота, рад/с.
Аргумент синуса, т.е. величина (ωt+ψ), называется фазой. Фаза при t = 0, т.е. ψ, называется начальной фазой.
Любая синусоидально изменяющаяся величина полностью определяется тремя величинами: амплитудой, частотой, начальной фазой.
График функции (31) приведен на рис. 29, а.
Так как тепловое действие тока, а также механическая сила взаимодействия двух проводников, по которым протекает один и тот же ток, пропорциональны квадрату этого тока, то о величине переменных токов и напряжений обычно судят по их среднеквадратичным значениям за полный период. Это значение называется действующим или эффективным и обозначается прописной буквой I:
42
а |
б |
|
Рис. 29
I = |
1 ∫i2(t)dt = |
1 ∫ I m2 sin2 |
(ωt +ψ)dt = I m |
1 ∫1−cos2(ωt +ψ) dt = |
|||||||||||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
||
|
T 0 |
T 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 0 |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= I m |
|
1 |
(T −0) = |
I m |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Кроме того, иногда используется и среднее значение, кото- |
||||||||||||||||||||||||
рое определяется на интервале Т/2: |
|
|
|
T 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
I ср = |
1 |
|
|
T∫2 I m sin ωtdt = |
2I m |
(−cosωt ) |
= |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0,5T |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
= |
4I m |
= |
2I m |
= |
0,638 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
I m |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Еще одна характеристика периодических функций — коэффициент формы kф. Это отношение действующего значения функции к среднему. Для синусоидальных функций
kф = |
I |
= |
I m π |
= |
|
π |
|
=1,11. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
I ср |
2 2I m |
|
|
2 |
||||||
|
|
2 |
|
|
Для напряжений соотношения аналогичны.
3.2Изображение синусоидальных функций векторами и комплексными числами
Условимся на комплексной плоскости по оси абсцисс откладывать действительную часть комплексного числа и обозначать эту ось +1, а по оси ординат — мнимую часть и обозначать +j
( j = −1).
43 |
|
Из курса математики известна формула Эйлера: |
|
e jα = cos α + j sin α. |
(32) |
Комплексное число e jα изображается на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющим угол α с осью +1 (угол α отсчитывается против часовой стрелки от оси +1), как показано на рис. 30.
+j
sin α α ej α
0 +1
cos α
Рис. 30
Модуль функции ej α равен единице:
e jα = cos2α + sin 2α =1.
Проекция функции ej α на ось +1 равна cos α, а на ось +j рав-
на sin α.
Если вместо функции ej α взять функцию I me jα , то
I me jα = I m cos α + j I m sin α.
На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция ej α, изобразится под углом α к оси +1, но длина вектора будет
вIm раз больше.
Вформуле (32) угол α может быть любой. Положим, что
α= ωt +ψ, т.е. угол α изменяется прямо пропорционально вре-
мени. Тогда
I me j(ωt +ψ) = I m cos (ωt + ψ) + j I m sin (ωt + ψ).
Коэффициент при j здесь равен правой части выражения (31). Таким образом, синусоидально изменяющийся ток i можно
представить как |
|
j(ωt +ψ) |
(мнимую часть I m e |
j (ω t + ψ ) |
) |
Im I m e |
|
|
|
|
|
44 |
|
|
или, что то |
же |
самое, |
как проекцию |
вращающегося вектора |
|
I m e j (ω t + ψ ) |
на ось +j (см. рис. 29, б). |
|
|
||
Учитывая, |
что |
синусоидальная функция |
времени |
||
I m sin (ωt +ψ) и вращающийся вектор |
I m e j (ω t + ψ ) |
одинаково |
проецируются на вертикальную ось в виде мгновенного значения i (если графики построены в одинаковом масштабе, как это и сделано на рис. 29), американский инженер и ученый Ч.П. Штейнметц предложил изображать синусоидально изменяющиеся величины векторами на комплексной плоскости, причем, для единообразия, для момента времени t = 0. Для этого момента времени вектор
I me j(ωt +ψ) = I me jψ = I m,
где I m — комплексная величина, модуль которой равен Im;
ψ — угол, под которым вектор I m проведен к оси +1 на ком-
плексной плоскости, равный начальной фазе.
Величину I m называют комплексной амплитудой тока i.
Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени t=0.
Конечно, комплексные амплитуды или векторы, изображающие синусоидальные функции времени, имеют другой смысл, чем векторы, определяющие физические величины в пространстве, к которым относятся векторы скорости, силы, напряженности электрического поля и т.д.
Например, если i =8sin (ωt +20°) А, то комплексная ампли-
туда будет
I m = 8e j20° А.
Обратный пример: по известной комплексной амплитуде тока I m = 25e− j30° А требуется записать выражение мгновенного
значения тока.
Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению необходимо умножить I m на ejωt и взять мнимую часть этого произведения:
i = Im (25e |
− j30° |
e |
jωt |
|
25e |
j(ωt−30°) |
= 25sin(ωt −30°) А. |
|
|
) = Im |
|
45
Так как переменные токи и напряжения обычно характеризуются действующими значениями, введем понятие комплекса действующего значения. Под комплексом действующего значе-
ния синусоидальной функции понимают частное от деления комплексной амплитуды на 2 :
I = I m . 2
Рассмотрим далее вопрос о том, как сложить две синусоидальные функции i1 и i2 одинаковой частоты, но с различными амплитудами и различными начальными фазами. Непосредственное суммирование связано с трудоемкими и громоздкими тригонометрическими вычислениями. Значительно проще решение может быть получено графически при помощи векторной диаграммы или аналитически — путем суммирования комплексных амплитуд.
Сумма двух рассматриваемых токов даст некоторый ток i той же частоты: i = i1 +i2;
i1 = I1m sin(ωt +ψ1); i2 = I 2m sin(ωt +ψ2);
i = I m sin(ωt +ψ).
Требуется найти амплитуду Im и начальную фазу ψ тока i. С этой целью изобразим суммируемые токи векторами I1m = I1me jψ1
и I 2 m = I 2 m e jψ 2 , как показано на рис. 31.
+j I1m
I m
ψ1 ψ
ψ2 +1
I 2m
Рис. 31
Геометрическая сумма векторов I1m и I 2m даст комплексную амплитуду суммарного тока I m = I me jψ .
46
Амплитуда тока Im будет определяться длиной суммарного вектора, а начальная фаза ψ — углом, образованным этим вектором и осью +1.
Для определения разности двух токов надо на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычитание соответствующих векторов.
Теперь перейдем к аналитическому методу. На основании выполненного выше построения можно записать
I1m + I 2m = I m.
Чтобы произвести суммирование комплексных чисел, их надо представить в алгебраической форме:
|
I1m |
= I′ |
|
+ |
jI′′ |
; |
I 2m |
= I ′ |
2m |
+ jI |
′′ |
|
. |
|
|
|||||||
|
|
1m |
|
|
1m |
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|||||||||
Выполнив суммирование, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
I′ |
|
+ jI′′ |
+ I ′ |
2m |
+ jI ′′ |
2m |
= I′ |
m |
+ jI ′′ |
m |
= |
I m |
, |
|||||||||
1m |
|
|
1m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где I′m = I′1m + I ′2m; |
I′′m = I′′1m + I′′2m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
I m = |
(I′m )2 +(I′′m)2 , tgψ = |
I ′′m |
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ′m |
|
|
|
|
|
Так как tgψ = tg (ψ ± π), |
то для определения ψ нужно еще |
знать, в какой четверти комплексной плоскости располагается вектор I m . Это легко установить по знакам действительной и мнимой частей I m .
Метод расчета цепей, основанный на изображении синусоидальных функций времени комплексными числами, получил на-
звание комплексного или символического метода.
3.3 Элементы цепей переменного тока
Составными элементами цепей синусоидального тока являются резистор, индуктивная катушка и конденсатор.
Термин «сопротивление» для цепей переменного тока, в отличие от цепей постоянного тока, недостаточно полный, посколь-
47
ку сопротивление переменному току оказывают не только те элементы цепи, в которых выделяется энергия в виде теплоты (их называют активными сопротивлениями), но и те элементы цепи, в которых энергия в виде теплоты не выделяется, но периодически запасается в электрическом или магнитном полях. Такие элементы цепи называют реактивными, а их сопротивления перемен-
ному току — реактивными сопротивлениями. Реактивными со-
противлениями обладают индуктивные катушки и конденсаторы.
1. Резистор (активное сопротивление)
Пусть по резистору с сопротивлением R течет ток i = I m sin ωt . По закону Ома напряжение на резисторе
u = iR = RI m sin ωt =U m sin ωt,
где U m = RI m.
Комплексы тока I и напряжения U по фазе совпадают. Протекание по цепи тока сопровождается потреблением от
источника энергии. Скорость поступления энергии характеризуется мощностью. Условимся под мгновенным значением мощности понимать произведение мгновенного значения напряжения u на участке цепи на мгновенное значение тока i, протекающего по этому участку:
p = ui,
где p — функция времени. При активной нагрузке
p =U mI m sin2 ωt = U mI m (1−cos2ωt). 2
Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую U mI m2 и составляющую U mI m cos2ωt2, изменяющуюся с час-
тотой 2ω.
На рис. 32 представлены кривые мгновенных значений тока, напряжения и мощности при активной нагрузке.
48
Рис. 32
2. Индуктивная катушка
Предположим, что активное сопротивление обмотки катушки равно нулю и катушка обладает только индуктивностью L.
Если через L течет ток i = I m sin ωt , то в катушке наводится э.д.с. самоиндукции (eL):
eL = −L di = −ωLI m cosωt = ωLI m sin(ωt −90 ). dt
Для того чтобы через индуктивность проходил переменный ток, на ее выводах должно быть напряжение, равное и противоположное наведенной э.д.с.:
u L =ωLI m sin(ωt +90 ) =U m sin(ωt +90 ) =U m cosωt,
где U m = ωLI m.
Произведение ωL обозначают X L и называют индуктивным сопротивлением: X L = ωL. Единица индуктивного сопротивления с–1 Ом с=Ом.
Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 90°, что и показано векторами на рис. 33, а и диаграммами мгновенных значений на рис. 33, б.
Мгновенная мощность —
p = ui =U m cosωt I m sin ωt = U mI m sin 2ωt — 2
положительна, когда u и i имеют одинаковые знаки (см. рис. 33, б). Площадь, ограниченная кривой р и осью абсцисс за это время, представляет собой энергию, которая взята от источника и пошла
49
на создание энергии магнитного поля в индуктивности. Ток на этих интервалах по абсолютной величине увеличивается.
а |
б |
Рис. 33
Когда u и i имеют противоположные знаки, р отрицательна. Значение тока по абсолютной величине на этих интервалах уменьшается, энергия магнитного поля отдается обратно в источник.
3. Конденсатор
Если к конденсатору приложено напряжение u =U m sin ωt , то заряд q будет изменяться по закону:
q = Cu = CU m sin ωt,
т.е. конденсатор будет периодически перезаряжаться. Но перезарядка вызовет протекание тока через конденсатор:
i = dq = d(CU m sin ωt) / dt = ωCU m cosωt = ωCU m sin(ωt +90 ). dt
Ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на конденсаторе на 90° (см. векторную диаграмму на рис. 34, а и временные диаграммы на рис. 34, б).
Амплитуда тока Im равна амплитуде напряжения Um, деленной на емкостное сопротивление:
X C = 1ωC.
Действительно,
I m |
= ωC |
= |
U m |
= U m . |
|
||||
U m |
1 ωC |
X C |
||
|
|