Complex_field2

§1. Множество комплексных чисел

рень называется простым.

ассмотрим свойства многочленов с действительными коэффициентами.

Теорема 3. Пусть комплексное число z является корнем много-

члена Pn(x) с действительными коэффициентами, тогда и сопряженное число z является его корнем.

Доказательство вытекает из свойств сопряженных чисел.

Следствие 2. Любой многочлен Pn(x) с действительными коэффициентами разлагается на множители вида

x r и x2 + px + q,	где p, q , r R,	p2 4q 0 .
Доказательство вытекает из теоремы 3 и следствия 1.
Любое квадратное	уравнение az2 bz c 0 с действи-

тельными коэффициентами имеет два различных или совпадающих корня, которые находятся по обычной формуле корней квадратного уравнения

z1,2 b b2 4ac .

2a

Пример 7.

Решим квадратное уравнение z2 2z 5 0 .

По формуле корней квадратного уравнения получаем:

z1,2					2		4 4 1 5								;
							2
z			2 16							;
1,2					2
				2 4									2 4 i2
z								1											2 4i	;
	1,2
					2									2			2
z1,2		1 2i .

Из следствия 1 вытекает, что, как и в случае действительных корней, имеет место разложение квадратного трехчлена:

az2 bz c a(z z1 )( z z2 ) .

На этом мы закончим первое знакомство с комплексными числами.

11