Sb_zadach

20. Тройной интеграл

Цилиндрические поверхности.

Просто вычисление

1 (3519)

Вычисление с расстановкой пределов

2(3524)

3(3523)

4(3609)

Цилиндрическая система координат

Вычисление

5 (3547)

Домашнее задание

Теория: Криволинейный интеграл II рода.

Практика: 3518, 3522, 3553.

21

21. Криволинейный интеграл II рода

Гладкая кривая

1 (3813)

Кусочно-гладкая кривая

2 (3806)

Формула Грина

3 (3822)

Независимость от формы пути интегрирования

4(3831)

5(3838)

6(3872)

Функция u(x, y)

7 (3845)

Домашнее задание

Теория: Поверхностный интеграл II рода.

Практика: 3811 4), 3829, 3839, 3846.

22

22. Поверхностный интеграл II рода

3845

Гладкая поверхность

1 (0000)

Найти поток вектора F = 2xi + 3yj через часть плоскости x + y + z = 1, лежащую в первом октанте в верхнюю ее сторону.

Кусочно-гладкая поверхность

2 (3887)

Формулы Остроградского-Гаусса,Стокса

3(3896)

4(3892)

5(3894)

6(3895 б))

Домашнее задание

Практика: 3891, 3900 (3893), 3846.

23

1(23)

Множество комплексных чисел

1)

Изобразить на комплексной плоскости числа:

а) 1 + 2i,

б) 3 2i.

2)

Записать числа в тригонометрической и показательной формах:

а) 1 i √

,

б) 1 + i √

.

3)

Записать комплексное число в алгебраической форме

z = 2(cos

i sin

).

4)

Выполнить действия с комплексными числами:

а)

(2 + 3i) + (3 – i);

б)

(2 + 3i)(3 – i);

в)

–

.

5)

Для чисел

z1 = 2 + i,

z2 = 3 2i найдите

а)

z

1

̅

б)

̅ .

2 ;

6)

Найдите значения числовых выражений:

а)

;

б)

√

.

7)

Найдите корень

√

.

8)

Решите квадратное уравнение

+ 4z + 6 = 0.

9)

Изобразите множества на комплексной плоскости:

а) z – z0 < R;

б) 1 < z – i < 2;

в) 2 < z – i < ;

г) 0 < z + i < 2.

Домашнее задание

Теория: Функции комплексной переменной.

Практика:

1.

Записать комплексное число

√

в тригонометрической и пока-

зательной формах.

2. Записать комплексные числа в алгебраической форме:

а) z = 8, =

;

б) z = 5, =

.

3.

Для чисел z

1

= 1 i√

, z

2

= √

+ i найдите z

1

̅.

2

4.

Выполните действия:

а)

; б)

(2 5i)(3 + 4i);

в)

г)

(

√

) .

5. Найдите квадратный корень из числа √

√ .

24

2(24)

Функции комплексной переменной

1)

(11.35, 37)

Найти значение функции f(z) в заданной точке z0:

а) f(z) = z2 + i; z0 = 1 + i,

б) f(z) =

;

z0 = 1

.

2)

(11.20, 23)

Разложить функцию на действительную и мнимую части:

а) f(z) = i ̅+ 2z2 ;

б) f(z) =

̅+

.

̅

3)

(11.27, 29)

Восстановить функцию по ее действительной и мнимой

частям:

а) u = x2 y2 – 2y – 1, v = 2xy + 2x;

б) u =

,

v =

.

4)

(11.66, , 62)

Найти значение функции:

а) ln i;

б)

sin i;

в) cos(1 + i).

5)

(11.55, 56)

Найти алгебраическую форму функций:

а) sin(z i);

б) sh(z + 2i).

Домашнее задание

Теория: Предел и непрерывность функции комплексной переменной.

	Практика:
	1. (11.36)	Найти значение функции f(z) = (z – i)2 в точке z0 =				:
	2. (11.22)	Разложить функцию f(z) =		на действительную и мнимую
			̅

части.

3. (11.26) Восстановить функцию по ее действительной и мнимой частям:

u = x + y, v = x y;

4. (11.59) Доказать тождество sin iz = i sh z.

25

3(25) Функции комплексной переменной

1) (1.536) Вычислить предел последовательности, исходя из определения

( ) .

2) Вычислить предел последовательности, используя критерии суще-

ствования:
а)	(	) ; б)	(2 сп)

3) (1.535, 537) Вычислить предел последовательности, используя свойства пределов:

а)

;

б)

.

4)

(11.92,-,93)

Вычислить предел функции:

а)

б)

в)

.

5)

(11.97 – 99)

Доказать непрерывность функции на всей комплексной

плоскости:

а) f(z) = z Re z;

̅

б) f(z) = .

Домашнее задание

Теория: Дифференцирование функции комплексной переменной. Практика:

1) Вычислить предел последовательности

а)				, б)				.

2) (11.95) Вычислить предел функции:

а)				,	б)		.

3) Доказать непрерывность функции на всей комплексной плоскости: f(z) = cos z .

26

4(26) Дифференцирование функций комплексной переменной

1)	(11.97 – 99) Доказать непрерывность функции на всей комплексной
	плоскости:
	а) f(z) = z Re z;				̅
			б) f(z) = .
Условия Коши-Римана
2)	(11.107, 115) Выяснить, в какой области дифференцируема функция.
	Найти производную в этой области:
	а) f(z) = z Im z;		б) f(z) = cos z.
Дифференцирование аналитических функций
3)	(11.126, 123) Найти область аналитичности функции и производную в
	этой области:	а)			;	б)		.
Геометрический смысл производной

4)(1.138, 139) Для отображения w = z2 найти коэффициент растяжения k

иугол поворота в указанной точке:

а) z0 = √

б) z0 = i.

5)(11.145) Выяснить, какая часть комплексной плоскости растягивается при отображении w = e z – 1.

6)Проверить, является ли функция гармонической. Если является, то восстановить по этой функции соответствующую аналитическую функцию f(z):

а) u(x,y) = x2 + y2 + bx + cx + d; б) u(x,y) = x2 y2 + 2xy; f(i) = 2i – 1.

Домашнее задание

Теория: Интеграл функции комплексной переменной. Практика:

1)Доказать непрерывность функции на всей комплексной плоскости: f(z) = cos z .

2)Выяснить, в какой области дифференцируема функция. Найти производную в этой области:

а) f(z) = Re z;

б) f(z) = sin z.

3) Выяснить, какая часть комплексной плоскости сжимается при отображении w = ln z.

27

4) Проверить, является ли функция гармонической. Если является, то восстановить по этой функции соответствующую аналитическую функ-

цию f(z): а) v(x,y) =		y2 ; б) u(x,y) = 2ex cos y; f(0) = 2.

28

5(27) Интеграл от функции комплексной переменной

Вычислить интегралы:

1) ∫							, где AB – отрезок прямой от точки z1 = 0, до точ-
			ки z2 = 1 + i.
2)							по контуру C: | z | = 1.
Интеграл от аналитической функции
3)	∫			.
Теоремы Коши
4)	|	|			.
5)	|	|			.
6)	|	|					.
7)	|	|				.

Домашнее задание

Теория: Интегралы Коши и типа Коши.

Практика:

Вычислить интегралы:

1)	∫					, где AB – отрезок прямой от точки A(0; 0), до
			точки B(1; 3).
2)	|	|			̅ .
3)	∫				.
4)	|	|			.
5)	|	|				.
					29

5(27) Интеграл от функции комплексной переменной

Вычислить интегралы:

1) ∫							, где AB – отрезок прямой от точки z1 = 0, до точ-
			ки z2 = 1 + i.
2)							по контуру C: | z | = 1.
Интеграл от аналитической функции
3)	∫			.
Теоремы Коши
4)	|	|			.
5)	|	|			.
6)	|	|					.
7)	|	|				.

Домашнее задание

Теория: Интегралы Коши и типа Коши.

Практика:

Вычислить интегралы:

1)	∫					, где AB – отрезок прямой от точки A(0; 0), до
			точки B(1; 3).
2)	|	|			̅ .
3)	∫				.
4)	|	|			.
5)	|	|				.
					30