Решение тригономитрических уравнений

t 1,

	t	3	Не удовлетворяет условию |t|≤1
		2

4) sin				x			1
				2
		x					2	n, n	Z
5)
	2			2
	x						4	n, n	Z

Ответ: 4 n, n Z

однородные тригонометрические уравнения

Определение: Уравнения вида asinx + bcosx =0

-называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени,

asin 2x + bsinx cosx + ccos 2x =0 –

тригонометрическим уравнением второй степени.

Однородные тригонометрические уравнения

I степени

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0)

Разделим на cosx ≠ 0.

Имеем: a tgx + b = 0; …

	II степени
a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0
1) если а ≠ 0 и с ≠ 0 , разделим
на cos²x ≠0
имеем: a tg²x + b tgx + c = 0
2) если а = 0 или с = 0, то
имеем: b sinx cosx + c cos²x =0;
или	a sin²x + b sinx cosx =0

Однородные уравнения.

Примеры.

1) 2cos x 3 sin x 0.

Это однородное уравнение первой степени. Обе части уравнения нужно разделить на cos x. При этом получится равносильное уравнение. Чтобы в этом удостовериться, покажем, что уравнение cos х = 0 не содержит корней данного уравнения.

Действительно, если

cos x	0,	то	cos x0	0 ,
0
2 cos x0	3 sin x0 0;		sin x0	0.
но это невозможно, так как			cos2 x0	sin2 x0 1.

Следовательно, имеем равносильное уравнение

tgx 23 ;

x arctg 23 n , n Z .

										Примеры.
2)2 cos2 x								3 cos x sin x								0,
cos x( 2 cos x									3 sin x )							0 ,
cos x					0 ,		2 cos x			3 sin x			0, разделим обе части уравнения на cos х, не рискуя
																2					потерять корни:
x				n,n			Z					tgx					,
	2
																3
											x		arctg				2	k ,k					Z .
																	3
3)				2	x				x	x				2		x			1			sin	2 x	cos	2	x
	sin					3 sin 2 cos 2					3 cos						1,						2			2
					2											2
			2	x				x	x			2	x				: cos			2	x	0
2 sin					3 sin 2 cos 2					2 cos					0,						2
				2									2
2tg		2		x	3tg			x	2	0 ,
				2				2
tg x					2,											tg x		1		,
	2															2		2
x	2arctg2						2		n,n	Z ;			x			2arctg		1		2		k ,k		Z .
																		2

Неоднородные уравнения и

методы решения.

Уравнения вида

А*sinx+B*cosx=c (где а<>0, b<>0, c<>0)

Методы решения:

1) Универсальная тригонометрическая подстановка

2) Вспомогательный угол

Универсальная

тригонометрическая

подстановка

***

Метод вспомогательного

угла.

а*sinx+b*cosx=c

1) Разделим обе части уравнения на

cosß

sinß

P

2) Получаем уравнение

Метод вспомогательного

угла.

3) Уравнение

имеет корни тогда и только тогда,

когда

4) Решая уравнения, находим корни: