dif

5.2. Контрольная работа № 3

171

Вариант 3.6

1(012.РП). Найдите область определения функции

f (x) = p

.

arcsin (log4 x)

4

1

2(Р83). Вычислите значение функции f (x) = x

+

в тех точках,

x4

в которых

1

+ x = 4.

x

3. Найдите пределы последовательностей:

√3

5 + n + 4n4

а)(3Т15). nlim

3

2

+ 7 − n .

;

б)(4Б23). nlim

n

− 6n

3

−

2n4

→∞

→∞

4. Найдите пределы функций:

1

x2

−

2x

4

а)(А26). lim

;

б)(П043). lim

x−1

;

1

x→2 x3

−

3x

−

2

x→1 5

+ 5

x−1

x

→

x

6

→∞

x

2

+ x + 1

x

в)(6061). lim

tg (x − 1)

;

г)(ДА73). lim

;

x 1

2

2−

3x + 2

x

x2

−

x + 1

e

x

2

+ 5

д)(6782). lim

− − 1

;

е)(Д46). lim (3x2 + 1) ln

.

x→3 x2 − 2x − 3

x→∞

x2 + 6

5(5191.РП). Выделите главную часть вида c(x + 1)k

бесконечно

q

2

3

sin4 (x + 1)

малой α(x) =

при x

→ −

1. В ответ введите сначала c,

3

√x + 10x + 9

затем k.

6. Запишите все точки разрыва (слева направо), указывая следом за точкой тип разрыва (1, 2, y), для функций:

а) (5211.РП) f1

(x) =

|x2 − 1|

+

sin (x − 3)

;

x2 + 3x + 2

x − 3

sin(x + 2)

при

x ≤ 1,

б) (9812.РП) f2

(x) =

x2

−

4

x

при

x > 1.

2

− 9

x

Вариант 3.7

1(079.РП). Найдите область определения функции

f (x) = lg (9 − x2).

2. Дано, что f (x + 2) =

x −

4

. (С10). Найдите ϕ(x) = (x + 3)f (x).

x +

5

(0А1). Вычислите f (0).

172

5. Контрольные работы

3. Найдите пределы последовательностей:

√

а)(Д271). lim

6n4 + n − 1

;

б)(ДД71). lim

n .

n2 + 6n

−

1

−

n→∞ 3n4 + 5

n→∞

4. Найдите пределы функций:

x

x2 − 7x + 12

а)(ДТ7). lim

;

б)(Т743).

lim

(0,5) + 3

;

x

x→4 x3

−

2x2

−

9x + 4

x→+∞

(0,5) + 7

3

в)(8Д64). x→0

√1 + x

−

1

·

ctg 2x;

x→2

x3

2

;

lim

г)(239). lim e

x

2

+ 2

ln (2x

x2−4

ln (3x

2)

1)

e6x

−1

д)(6782). lim

−

−

−

;

е)(ТП7). lim

−

.

x2 − 1

x→1

x→0 e2x − 1

5(8571.РП).

Выделите главную часть вида c(x

−

2)k

бесконечно

2

2

малой α(x) =

sin

(4 − x

)

+ (x

−

2)5 при x

→

2. В ответ введите сна-

ln (3

−

x)

чала c, затем k.

6. Запишите все точки разрыва (слева направо), указывая следом

за точкой тип разрыва (1, 2, y), для функций:

sin (2x)

x + 1

а) (3Д71.РП) f1(x) =

√

+

;

x2 − 1

x2

б) (9971.РП) f2(x) =

x + 2

при

x ≤ 0,

x2

−2

4

x

x

−

при

x > 0.

x2

− 5x + 4

Вариант 3.8

1(А67.РП). Найдите область определения функции

1

+ 4arcsin (x−2) +

1

.

f (x) = √

√

x

x − 2

2(858). Даны функции f (x) = x + 1, ϕ(x) = x − 2. Решите урав-

нение f [ϕ(x)] + ϕ[f (x)] = 10.

3. Найдите пределы последовательностей:

√3

1 + 3n + n3

3

2

а) (151). nlim

;

б)(0081).

nlim

n

+ 6n − 1 − n .

4 + n + 4n3

→∞

→∞

4. Найдите пределы функций:

1

√x2 + 3 − x

а)(ОА1). lim

;

б)(0041). lim

4 x

;

1

x→−∞

x + 1

x→0 5 x + 2

√

− 2

x2 + 3

x

в)(068). lim

4 − 3x2

;

г)(239). lim e4

;

x2 + 4x + 3

x→0

1 − cos3 x

x→−∞

5.2. Контрольная работа № 3

173

д)(П781). lim

ln (x2 + 1) − ln (x2 − x)

;

е)(ОА8). lim

ex − e2x

.

x→−1

sin (x + 1)

c

x→0

x

5(9294.РП). Выделите главную часть вида

бесконечно малой

4

xk

α(x) =

e x − 1

при x

. В ответ введите сначала c, затем k.

√x2 + 1 − x

→ −∞

6. Запишите все точки разрыва (слева направо), указывая следом

за точкой тип разрыва (1, 2, y), для функций:

а) (С081.РП) f1(x) = arctg

1

+

sin (x − 2)

;

x + 3

x2 − 4

x

при

x ≤ 0,

б) (П781.РП) f

(x) =

x2 − 9

2

x sin (x3

− 1) при

x > 0.

x − 1

Вариант 3.9

1(Д54.РП). Найдите область определения функции

f (x) = lg

arcsin

6x − x2

.

8

2(2Д5.5П). Даны функции f (x) = x2 − 1, ϕ(x) = x2 + 4. Найдите корни уравнения f [ϕ(x)] − ϕ[f (x)] = 20.

3. Найдите пределы последовательностей:

√

√3

а)(ТТ6). nlim

n +

n8 + 5

2

6

4

;

б)(П191). nlim

n

− 6n

+ 1 − n

.

n4 + 3

→∞

→∞

4. Найдите пределы функций:

а)(Д99) lim

x2 − 8x + 15

;

б)(1Р44).

lim

5x − 4x

;

5x + 4x+1

x→3

x3

−

27

x→−∞

3x+4

x→∞

3x2

2

в)(С54). x→0 1 −2 cos (2x)

− x + 1

lim

xtg 4x

;

г)(1672).

lim

3x + 1

;

ex −1 − 1

д)(2983). lim

;

е)(Д46). lim

1

ln

4x − 7

.

x→1

1 − √x

x→2 ex2−4

− 1

5x − 9

Выделите главную часть вида c(x

2)k

бесконечно

5.(П91.РП). 3

−

малой α(x) =

ln

(3 − x)

при x

→

2. В ответ введите сначала c, за-

sin (x

−

2)

тем k.

174 5. Контрольные работы

6. Запишите все точки разрыва (слева направо), указывая следом

за точкой тип разрыва (1, 2, y), для функций:

а) (Р591.РП) f1(x) =

sin (x + 3)

+

sin (x − 3)

;

2

x2

−

4x + 3

q(xx + 2

+ 3)

б) (СА91.РП) f2(x) =

при

x ≤ 0,

x2

− 4

1

x

|

−

|

при

x > 0.

x2

− 4x + 3

Вариант 3.10

1. Найдите область определения функции

f (x) = lg (|x| − x).

x2 + 3

. (8А2.5П). Найдите f (x). (573). Вы-

2. Дано, что f (x+1) =

числите f (0).

x2 + 5

3. Найдите пределы последовательностей:

√3

а)(ПБ10).

6n5 + n2 − 4

;

б)(1422).

n .

lim

lim

n3

−

6n + 9

−

n

→∞

3n5 + n + 1

n

→∞

4. Найдите пределы функций:

а)(9510).

lim

√4x2 − x

;

б)(6110).

lim

x2 + x − 6

;

x→0−0 x

x→−3

x2 − 9 x2+1

→−

x − x − 2

→∞ x

x

в)(383).

lim

sin 3(x2 − 1)

;

г)(8РО).

lim

2x − 1

x

;

x

1

2

x

2x + 3

д)(2982).

lim (3x + 1) ln

x + 1

;

е)(П50).

lim

2

− 3−

.

x→∞

x + 3

x→+∞ 3x + 5−x

5(8710.РП). Выделите главную часть вида cxk бесконечно малой

		e	x3	−	1
α(x) =	√					при x → 0. В ответ введите сначала c, затем k.
1			+ x − 1

6. Запишите все точки разрыва (слева направо), указывая следом

за точкой тип разрыва (1, 2, y), для функций:

а) (6А10.РП) f1(x) =

sin (x + 3)

+

e3x − 1

;

|x2 − 9|

x

x2 − 4

при

x 1,

x− −

при

x > 1.

2

x

6

≤

б) (5410.РП) f2(x) = x2

x

− 4

5.3. Контрольная работа № 4

175

5.3. Контрольная работа № 4

Вариант 4.1

1. Найдите производные от данных функций:

′

x2

а) y = 3

2 − x

+ 4√

5x + 4

,

(СС) y

(1);

б) y = √

arccos

1

+

ctg2 5x

+

ctg 10

x,

(С2Р) y′(2);

15

x2

10

sin2 10

x ,

.

в) y = 3 e3x ln (4x + 6) + tg 8x

(3 ln 6)

√

x

−

·

(1А1)

y′(0)

2

2

) . Най-

2. Дана функция y =

5

·

4 + x

+ 2 ln (x +

4 + x

2

дите y′′. (221). Вычислите y′′h

p

p

i

3. Дана функция f (x) =

"

(1).

# . Найдите f ′(x) и f ′′(x). Вы-

− ctg x

1/ sin 2x

sin 2x

числите (861.РП) f ′(3π/4) и (6А1.РП) f ′′(3π/4).

4. Докажите, что функция z = sin (x + ay) удовлетворяет урав-

нению	∂2z	− a2	∂2z	= 0.
	∂y2		∂x2
5. Дана функция f (x, y) =					x2/y	. Найдите f ′(x, y). Вычислите
					x/y2

(П91) f ′(1, 1/2). В ответ введите сумму элементов матрицы f ′(1, 1/2).

	6.		Дана функция u = xy2 − z3. Найдите:
	а) (Д01.РП) координаты вектора grad u в точке M (1, 2, 1);
	б) (371)			∂u		в точке M в направлении вектора a{2, 3, 6}.
				∂a
							x = sin3 t,
	7.		Найдите			yxx′′ , если	y = cos3 t. (П91) Вычислите yxx′′	, если
t =		π	.
	3
	8.		Функция z = z(x, y) задана неявно уравнением

xz2 − x2y + y2z + 2x − y = 0. Вычислите: а)(0С1) ∂x∂z (0, 1); б)(0КФ) ∂y∂z (0, 1).

9. К графику функции y = √x в точке с абсциссой x = 7 проведена касательная. (ДС1). Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью OX.

176					5. Контрольные работы
		√
10. Найдите dy, если y =	x + 3		5 + x	2	. (501.ДЛ) Вычислите зна-
		2
чение dy, если x = 2 x = 0,02.

11. Дана функция z = x2 + xy + y2 и точки M0(1, 2) и M1(1,02; 1,96). Вычислите (682.Д6) z и (091.Д6) dz при переходе из точки M0 в точку M1 (ответы округлите до сотых).

12.Дана функция y = x2 + 16x −16. Найдите её (8Д1) наибольшее

и(Д41) наименьшее значения на отрезке [1, 4].

большее

и (081)

2

p

ограниченном кривыми y

= x, x = 2.

12

и начер-

14. Проведите полное исследование функции y =

тите её график.

x2

− 4

Вариант 4.2

1. Найдите производные от данных функций:

а) y =

√

+ √3

,

(П42) y′(0);

x2 + 1

x3 + 1

1

π

π

б) y =

tg3 x + tg x + x2 −

x,

(9А2) y′

;

3

2

4

в) y =

arctg

3 − x

3

,

(872) y

(0).

r x + 2

r 2

x

′

x

y

=

4

4

x2

+ 2 arcsin

2. Дана функция

−

2 i. Найдите y′′.

6

.

h

2 p

(862). Вычислите y′′

5

3. Дана функция f (x) = "

(x − 4)/x

# . Найдите f ′(x) и f ′′(x).

x

−

1)

x/(2

x

− 9

13. Дана функция z = (x − y2) 3 (x − 1)2. Найдите её (281) наинаименьшее значения на замкнутом множестве,

Вычислите (932.РП) f ′(2) и (3Т2.РП) f ′′(2).

4. Докажите, что функция z = ln(x2 + y2 + 2x + 1) удовлетворяет

уравнению	∂2z	+		∂2z	= 0.
	∂x2		∂y2
5. Дана функция f (x, y) =						3 tg(x + 3y)	. Найдите f ′(x, y). Вы-
						sin(4x + 8y)

числите (942) f ′(−π/12, π/12). В ответ введите сумму элементов матрицы f ′(−π/12, π/12).

5.3. Контрольная работа № 4

177

6. Дана функция u = 7 ln(x2 + y2 + z2). Найдите:

а) (СР2.РП) координаты вектора grad u в точке A(3, −2, 1);

	б) (6Т2)			∂u	в точке A в направлении вектора a{1, 2, 2}.
				∂a
					x = cos2 t,
	7. Найдите yxx′′ , если y = ln sin t.					(ДА2) Вычислите yxx′′	, если
t =		π	.
	6

8. Функция z = z(x, y) задана неявно уравнением z3 + 3x2z = 2xy. Вычислите: а)(64А) ∂x∂z (−1, 0, 0); б)(Д52) ∂y∂z (−1, 0, 0).

9.(СТ2) Найдите острый угол (в градусах) между осью OX и касательной к графику функции y = x2 − 5x + 6 в точке x0 = 3.

10. Найдите dy, если y = arcsin x. (Т2.ДЛ) Вычислите значение

dy, если x = 0 x = 0,08.

11. Дана

функция

z = 3x2 − xy + x + y и точки

M0(1, 3) и

M1(1,06; 2,92). Вычислите (592.ДЛ)

z и (512.ДЛ) dz при перехо-

де из точки M0 в точку M1 (ответы округлите до сотых).

4

. Найдите её (3С2) наибольшее

12. Дана функция y = 4 − x −

x2

и (8С2) наименьшее значения на отрезке [1, 4].

13. Дана функция z =

xy

x2y

xy2

−

−

. Найдите её (АТ2) наиболь-

2

6

8

шее и (68Б) наименьшее значения на замкнутом множестве, ограни-

ченном прямыми y = 0, x = 0,

x

+

y

= 1.

3

4

3

1

14. Проведите полное исследование функции y =

−

и начер-

x

x3

тите её график.

Вариант 4.3

1. Найдите производные от данных функций:

а) y = 1

√3

+

27

,

(083) y′(

27);

−

x2

x

−

б) y = 3−x ln(1 − x) − 2−x2 ,

(863) y′(0);

3

в) y = arcsin 20x +

+ tg 8x,

(923) y′(0).

5

2. Дана функция y = 12 arctg x2 . Найдите y′′. (7Р3). Вычислите y′′(−1).

178

5. Контрольные работы

ln tg x

3. Дана функция f (x) =

sin2 2x

. Найдите f

(x) и f

(x). Вы-

"

ln ctg x #

′

′′

числите (С53.РП) f ′(π/4) и (403.РП) f ′′(π/4).

4.

Докажите, что функция

z =

x

удовлетворяет

уравнению

y

∂2z

∂z

x

−

= 0.

∂x∂y

∂y

ln(x + ln y)

. Найдите f ′(x, y). Вы-

5. Дана функция f (x, y) =

(2x − 1)y

числите (942) f ′(1, 1). В ответ введите сумму элементов матрицы f ′(1, 1).

6. Дана функция u = 2 arctg(xy + z2). Найдите:

а) (733.РП) координаты вектора grad u в точке A(−1, 3, 2);

	б) (П83)			∂u
					в точке A		в направлении вектора a{2, −6, −3}.
				∂a
							x = sin2 t,
	7. Найдите yxx′′ , если y = ln cos t.							(Д43). Вычислите yxx′′			, если
t =		π	.
	3
	8. Функция z = z(x, y) задана неявно уравнением
					x2 + y2 + z2 − xz − yz + 2x + 2y + 2z − 2 = 0.
	Вычислите: а)(303)					∂z			∂z
							(1, −1, −2); б)(П83)			(1, −1, 0).
						∂x			∂y

9. На графике функции y = ln 2x взята точка A. Касательная к графику в точке A наклонена к оси OX под углом, тангенс которого

равен 14 . (9Д3). Найдите абсциссу точки A.

10.	Найдите dy, если y = x6. (183.ДЛ). Вычислите значение dy,
если x0 = 2,		x = 0,01.
11.	Дана	функция z = x2 + 3xy − 6y и точки M0(4, 1) и

M1(3,96; 1,03). Вычислите (143.ДК) z и (Р9А.Д6) dz при переходе из точки M0 в точку M1 (ответы округлить до сотых).

12. Дана функция	y = 3	2(x − 2)2(8 − x)	− 1. Найдите её
(С6А) наибольшее и (26Б)	наименьшее значения на отрезке [0, 6].
	p

13. Дана функция z = 3x2 − 3xy + y2 + 4. Найдите её (9С3) наибольшее и (НДЦ) наименьшее значения на замкнутом множестве,

ограниченном прямыми x = −1, y = −1, x + y = 1.

4

14. Проведите полное исследование функции y = x + x + 2 и начертите её график.

5.3. Контрольная работа № 4

179

Вариант 4.4

1. Найдите производные от данных функций:

а) y =

(1 − √

)2

x

,

(184) y′(0,01);

x

б) y = 2xe−x + x,

(Т04) y′(0);

arcsin x

в) y =

√

,

(СТ4) y′(0).

1 − x

2

y = e(x ln2 x

2. Дана

функция

−

2x ln x + 2x). Найдите

y′′ .

(С54). Вычислите yxx′′ (e).

xx

+ 1)/(x − 1)

3. Дана функция f (x) = "

(x2

#

. Найдите f ′(x) и

x xe−x

arcsin x

f ′′(x). Вычислите (ПС4.РП) f ′(0) и (904.РП) f ′′(0).

4. Докажите, что функция z = cos(xy) удовлетворяет уравнению

∂2z

∂2z

y2

− x2

= 0.

∂y2

∂x2

x + y

5. Дана функция f (x, y) =

arctg

. Найдите f ′(x, y). Вы-

x

y

sin πx−

π cos πy

числите (654)

f ′(1, 0). В

ответ введите сумму элементов матрицы

f ′(1, 0).

6. Дана функция u = 4 arcsin(xz + y2 − 1). Найдите:

1

, 1, 3 ;

а) (994.РП) координаты вектора grad u в точке M

5

∂u

б) (2А4)

в точке M в направлении вектора a{1, −2, 2}.

∂a

t = π .

xx′′

y = cos2 t.

(2СА). Вычислите y

xx′′

, если

7. Найдите y

, если

x = ln sin t,

6

8. Функция z = z(x, y) задана неявно уравнением

x2 + 2y2 − 3z2 + xy − z − 3 = 0.

∂z

∂z

Вычислите: а)(654)

(1, −2, 1); б)(26Б)

(1, −2, 1).

∂x

∂y

9. К графику функции f (x) = √

в точке с абсциссой x = 1

x

проведена касательная. (88А). Найдите ординату точки графика касательной, абсцисса которой равна 31.

180 5. Контрольные работы

10. Найдите dy, если y = x8. (0С4.ДЛ) Вычислите значение dy,

	если x = 2,	x = 0,001.
	11. Дана	функция z = x2 − y2 + 6x + 3y и точки M0(2, 3) и
	M1(2,02; 2,97). Вычислите (Т94.ДЛ)			z и (Р31.ДЛ) dz при переходе
	из точки M0 в точку M1 (ответы округлить до сотых).
	12. Дана функция y =		2(x2 + 3)	. Найдите её (С74) наибольшее
			x2 − 2x + 5

и(ССА) наименьшее значения на отрезке [−3, 3].

13.Дана функция z = x2 + 2xy − y2 − 4x Найдите её (454) наибольшее и (8С4) наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном прямыми y = x + 1, y = 0, x = 3.

14.Проведите полное исследование функции y = x2 − x12 и начертите её график.

Вариант 4.5

1.

Найдите производные от данных функций:

а) y = 2√4

+

√

x

,

(905) y′(0);

16 − 2x

2

1

1 − x

б) y = arctg

+ tg3(2x + 4),

(9Д5) y′(−2);

x3

в) y = arcsin r

3

+ x2 − 3−x,

(ТД5) y′(0).

4

2.

Дана функция y =

1

ln

x

. Найдите y′′. (855). Вычислите

2

y′′(1).

x + 2

Дана функция f (x) =

sin 3x

π

. Найдите f ′(x) и

3.

3/ sin

2x +

6

π

ctg

x +

3

f ′′(x). Вычислите (695.РП) f ′(π/6) и (П35.РП) f ′′(π/6).

4.

Докажите, что2функция z = cos y + (y − x) sin y удовлетворяет

уравнению (x − y)

∂ z

∂z

= 0.

−

∂x∂y

∂y

ln(2ex

ey )

5.

Дана функция f (x, y) = "

arctg

x−+ y

# . Найдите f ′(x, y).

1 − xy

Вычислите (СП5) f ′(0, 0). В ответ введите сумму элементов матрицы f ′(0, 0).