математика лекции

Отсюда находим

1

1

b2

a22

. . . a2n

1

b1

a12

. . . a1n

x

1

=

(b

A

11

+ b

A

21

+ . . . + b

n

A

n1

) =

=

.

1

2

. . . . . . . . . . . .

bn

an2

. . . ann

Определитель		=		b2	a22
				b1	a12
	1
			. . . . . .
				bn	an2

. . . a1n

.. . a2n

получается из определителя

.. . . . .

. . . ann

заменой первого столбца столбцом свободных членов. Его называют дополнительным определителем неизвестной x1.

Аналогично получаем, что x2 =	2 , . . . , xn =	n
		, где определитель

			a21	a22	. . . b2 . . .
			a11	a12	. . . b1 . . .
k	=
		. . . . . . . . . . . . . . .
			an1 an2 . . . b1 . . .

a1n

a2n

. . .

ann

получается из определителя заменой k-го столбца столбцом свободных

членов.

Формулы

x1 = 1 , x2 = 2 , . . . , xn = n (7.2)

называют формулами Крамера. Сформулируем доказанную теорему

Теорема 7.1. (Крамера) Если определитель системы n уравнений с

n неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное реше-

ние, которое можно найти по формулам Крамера

		k
	xk =		, (k = 1, n)
	где определитель системы,	k дополнительный определитель неиз-

вестной xk.

Из формул (7.2) вытекает следствие.

21

Следствие 7.2. Если определитель системы равен нулю, а хотя бы

один из дополнительных определителей неизвестных отличен от нуля, то система решений не имеет.

8. Метод Гаусса.

Наиболее удобным для отыскания решений системы линейных уравнений с числовыми коэффициентами на практике является метод последовательного исключения неизвестных или метод Гаусса.

Дана система линейных уравнений (6.1). Рассмотрим следующие преобразования системы, называемые элементарными преобразованиями :

1)Умножение (деление) обеих частей уравнения на некоторое отлич- ное от нуля число;

2)Прибавление к обеим частям j-ого уравнения соответствующих ча-

стей i-того уравнения, умноженных на некоторое отличное от нуля число;

3) Перестановка местами двух уравнений.

Полученная в результате такого преобразования система будет равносильна системе (6.1), то есть они либо обе несовместны, либо обе со-

сместны и имеют одни и те же решения. Может получиться так, что после выполнений нескольких таких преобразований получим уравнение, все коэффициенты которого равны 0. Отбрасывая это уравнение, также

получим систему, равносильную исходной.

Рассмотрим метод Гаусса. Идея этого метода состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований привести систему уравнений к треугольному (ступенчатому) виду. Уравнение, которое будем прибавлять к другим уравнениям назовем разрешающим уравнением, а коэффициент при переменной, которую будем исключать из всех уравнений, кроме разрешающего назовем разрешающим элементом.

Дана система (6.1). Пусть для определенности a11 6= 0. Возьмем a11 за разрешающий элемент. Исключим неизвестное x1 из всех уравнений кроме первого. Для этого будем первое уравнение умножать последова-

a21	a31	am1
тельно на −a11	, −a11	, . . . , − a11 и прибавлять к остальным уранениям

22

системы. Получим систему

		11		1	a012x2	+ . . . + a0	xn
	a		x		+ a x2	+ . . . + a1nxn
					22	2n

. . . . . . . . . . . .

	am0	2x2 + . . . + amn0 xn

=b1

=b02

. . . ,

=b0m

равносильную исходной. Будем считать, что a022 6= 0, тогда неизвестное

x2 можно исключить из всех уравнений системы кроме второго, и так далее, пока не получим систему треугольного или ступенчатого вида, из которой легко находить неизвестные.

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn

a022x2 + . . . + a02nxn

. . . . . . . . . . . .

	amk00 xk + ... + amn00 xn

=b1

=b02

. . . ,

=b00m

Решать систему методом Гаусса удобно, преобразовывая расширенную матрицу системы.

9. Арифметические векторы и действия над ними.

В школе на уроках геометрии и физики вектор определяли как направленный отрезок, вводили графически сумму и разность векторов, произведение вектора на число. Если ввести в пространстве декартову систему координат, то каждому вектору будет соответствовать упорядоченная тройка чисел a = (a1, a2, a3). Обобщая известные из школы факты, можно ввести следующее понятие

Арифметическим n-мерным вектором называется упорядоченная последовательность n действительных чисел a1, a2, . . . , an. Обозначается вектор

a

= (a1, a2, . . . , an).

(9.1)

Числа a1, a2, . . . , an называют координатами вектора.

Векторы a = (a1, a2, . . . , an) è b = (b1, b2, . . . , bn) называют равными, если если их соотвествующие координаты равны, то есть a1 = b1, a2 = b2, . . ., an = bn.

23

Суммой векторов a = (a1, a2, . . . , an) è b = (b1, b2, . . . , bn) называется вектор

	+ b = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn)	(9.2).
a

Произведением вектора a = (a1, a2, . . . , an) на число k называется вектор

		= (ka1, ka2, . . . , kan)	(9.3).
ka

Вектор 0 = (0, 0, . . . , 0), все координаты которого равны 0, называется

нулевым.

Вектор −a = (−a1, −a2, . . . , −an) называется противоположным вектору a = (a1, a2, . . . , an).

Введенные выше операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлåтворяют условиям:

1.

+ b = b +

;

2. (

+ b) +

=

+ (b +

);

a

a

a

c

a

c

4.

+ (−

) =

;

3.

+ 0 =

;

0

a

a

a

a

5. k(

+ kb;

6. (k + l)

;

a

+ b) = ka

a

= ka

+ la

7. (kl)

);

8. 1 ·

=

.

a

= k(la

a

a

Два вектора a и b называются коллинеарными, если b = ka.

Пример коллинеарных векторов дает таблица обменных курсов валют.

	1рубль	1 доллар	1 åâðî
1рубль	1	0,035	0,03
1доллар	28,55	1	0,819
1 åâðî	34,87	1,221	1

Любые две строки или любые два столбца этой матрицы представляют собой коллинеарные вектора.

Определение 9.1. Множество n-мерных арифметических векторов,

в котором введены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие условиям 1 8, называется арифметическим n-мерным векторным пространством и обозначается Rn.

Определение 9.2. Скалярным произведением двух n-мерных векторов a = (a1, a2, . . . , an) è b = (b1, b2, . . . , bn) называется число, равное

24

сумме произведений их одноименных координат.

(									(9.4)
	a, b) = a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + + an · bn. . .

Свойства скалÿрного произведения:

1)(a, b) = (b, a);

2)(a + b, c) = (a, c) + (b, c);

3)(αx, y) = α(x, y);

4)(a, a) > 0 при a 6= 0 и (a, a) = 0 только тогда, когда a = 0.

Два ненулевых вектора a и b называются ортогональными, если их

скалярное произведение равно нулю, то есть a · b = 0.

10. Линейная зависимость векторов.

Операции сложения и умножения векторов лежат в основе и находят многочисленные приложения в разделе математики, называемом линейной алгебрîé.

Вектор b называется пропорциональным вектору a, если существует число k 6= 0 такое, что b = ka. Обобщением понятия пропорциональности векторов является понятие их линейной комбинации.

Пусть дана система векторов a1, a2, . . . , am из пространства Rn. Âåê-

òîð b âèäà

b = λ1		1 + λ2		2 + . . . + λm		m,	(10.1)
	a		a		a

ãäå λ1, λ2, . . . , λm действительные числа называется линейной комбинацией векторов a1, a2, . . . , am.

Говорят также, что вектор b линейно выражается через вектора

a1, a2, . . . , am.

Если векторы заданы своими координатами, то используÿ определение операций над векторами, для любой координаты вектора b получим

bi = λ1a1i + λ2a2i + . . . + λmami.

Определение 10.1. Cистема векторов a1, a2, . . . , am (m > 2) èç ïðî- странства Rn называется линейно зависимой, если существуют такие числа λ1, λ2, . . . , λm, не равные нулю одновременно (λ21 + λ22 + . . .+ λ2m 6=

25

0), что справедливо равенство

λ1

1 + λ2

2 + . . . + λm

m = 0

(10.2)

a

a

a

(линейная комбинация векторов

1,

2, . . . ,

m

a

a

a

с коэффициентами

λ1, λ2, . . . , λm равна нулю). Если равенство (10.2) выполняется только тогда, когда все коэффициенты равны нулю ( λ1 = λ2 = . . . = λm = 0), то система векторов a1, a2, . . . , am называется линейно независимой.

Докажем несколько теорем о свойствах линейно зависимых векторов. Теорема 10.1. Система векторов a1, a2, . . . , am линейно зависима то- гда и только тогда, когда один из векторов этой системы является ли-

нейной комбинацией остальных.

Доказательство. Необходимость. Пусть система векторов

a1, a2, . . . , am линейно зависима. По определению существуют такие числа λ1, λ2, . . . , λm, не равные нулю одновременно, что

λ1a1 + λ2a2 + . . . + λmam = 0.

Пусть для определенности λ1 6= 0. Тогда

λ2

λ3

λm

a1 = −

a1

−

a2

− . . . −

am.

λ1

λ1

λ1

Вектор a1 является линейной комбинацией остальных векторов системы. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть для определенности вектор a1 является линей- ной комбинацией остальных векторов системы, то есть выполнено равенство a1 = λ2a2 + . . . + λmam èëè a1 − λ2a2 − . . . − λmam = 0. В линейной комбинации a1 −λ2a2 −. . .−λmam = 0 не все коэффициенты равны нулю (λ1 = 1), значит, система векторов a1, a2, . . . , am линейно зависима.

Теорема 10.2. Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Доказательство. Дана система векторов a1, a2, . . . , am, 0, содержащая нулевой вектор. Коэффициенты линейной комбинации можно выбрать так: 0, 0, . . . , 0, 1. Линейная комбинация векторов равна нулю

0a1 + 0a2 + . . . + 0am + 10 = 0, но не все коэффициенты нулевые.

26

Теорема 10.3. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

Доказательство. Дана система векторов a1, a2, . . . , am, и ее подси- стема a1, a2, . . . , ak (k < m). Так как система векторов a1, a2, . . . , ak линейно зависимой, то существуют такие числа λ1, λ2, . . . , λk, íå âñå равные нулю, что справедливо равенство λ1a1 + λ2a2 + . . .+ λkak = 0. Если взять коэффициенты линейной комбинации λ1, λ2, . . . , λk, 0, . . . , 0, то получим верное равенство λ1a1+λ2a2+. . .+λkak +0ak+1+. . .+0an = 0, в которой не все коэффициенты равны 0.

Теорема 10.4. Если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема также линейно независима.

Доказательство. Доказывать будем методом от противного. Предположим, что в линейно независимой системе векторов a1, a2, . . . , am существует линейно зависимая подсистема. По теореме 10.3 тогда и вся система векоров будет линейно зависима. Получили противоречие. Зна- чит, наше предположение неверно, и система векторов a1, a2, . . . , am ëè- нейно независима.

Теорема 10.5. Система векторов, содержащая два коллинеарных вектора, линейно зависима.

Доказательство. Два вектора a и b коллинеарны, если b = ka. По

теореме 10.1 эта система векторов линейно зависима.

Примером линейно независимых векторов являются два некîллинеар-

ных вектора на плоскости. В самом деле, если векторы a и b линейно

зависимы и в равенстве λ1a + λ2b = 0 , например, λ1 6= 0, òî b = −λ2 a λ1

и, значит, векторы a и b коллинеарны. Также линейно независимыми являются три некомпланарных вектора в пространстве R3 (векторы на- зываются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости).

Данное выше определение линейно зависимой системы векторов предполагает, что эта система содержит конечное число векторов. Однако часто приходится рассматривать и бесконечные системы. Мы условимся бесконечную систему считать линейно зависимой, если линейно зависимой будет какая-нибудь ее подсистема, и линейно независимой, если

27

любая ее подсистема является линейно независимой. С бесконечными линейно независимыми системами мы встретимся в курсе анализа.

Возникает вопрос: сколько линейно независимых векторов может содержать система n-мерных векторов. Для ответа на него рассмотрим систему векторов

e1 = (1; 0; . . . ; 0), e2 = (0; 1; . . . ; 0), . . . , en = (0; 0; . . . ; 1) (10.3)

Эта система векторов линейно независима. Действительно, линейная

комбинация векторов (10.3) обращается в 0 только при λ1 = λ2 =	. . . =
λn = 0 (проверить самостоятельно). Значит, существует система	n ëè-
нейно независимых n-мерных векторов.

Ответ на поставленный вопрос дает

Теорема 10.6. Всякие k n-мерных векторов при k > n линейно зависимы (без доказательства).

11. Линейные пространства.

Для построения общей теории систем линейных уравнений недостаточно того аппарата, который мы до этого применяли. Помимо матриц

èопределителей нам необходимо понятие линейного пространства. Определение 11.1. Множество V элементов произвольной природы

называется линейным пространством, если а) задана внутренняя операция сложение элементов пространства

(правило, по которому x, y V ставится в соответствие элемент z V),

òî åñòü z = x + y;

б) задана внешняя операция умножение элемента на число (правило, по которому x V, α R (или C) ставится в соответствие элемент

w V), òî åñòü w = α · x.

Эти операции удовлетворяют следующим условиям:

I.1) x + y = y + x, x, y V;

2)(x + y) + z = x + y + z, x, y z V;

3) 0 V (нулевой элемент), такой что 0 + x = x, x V;

4) x V x0 V (противоположный элемент), такой что x + x0 = 0;

II.5) 1 · x = x, x V;

28

6)α(β · x) = (αβ) · x, x V, α, β R;

7)(α + β) · x = α · x + β · x, x V, α, β R;

8)α · (x + y) = α · x + α · y, x, y V, α R.

Исходя из определения линейного пространства можно доказать следующие утверждения:

Предложение 11.1. 1. В линейном пространстве существует единственный нулевой элемент;

2. x V существует единственный противоположный элемент, ко-

торый равен (−1) · x = −x;

3.Произведение 0 · x = 0, x V;

4.Произведение α · 0 = 0, α R;

5.Если произведение α · x = 0, то либо α = 0 , либо x = 0.

Доказательство. Доказывать утверждения 1 и 2 будем от противного. 1. Предположим, что в линейном пространстве существуют два нулевых элемента 01 è 02. Тогда с одной стороны 01 + 02 = 01, с другой стороны 01 + 02 = 02. Откуда следует равенство 01 = 02.

2.Предположим, что в линейном пространстве для любого элемента x существуют два противоположных элемента x0 è x00. Имеем x0 + x + x00 = (x0 + x) + x00 = 0 + x00 = x00 èëè x0 + x + x00 = x0 + (x + x00) = x0 + 0 = x0. Откуда x0 = x00.

3.Пусть 0 · x = 0. Тогда 0 · x = (α − α)x = αx − αx = 0.

4.Пусть α · 0 = 0. Тогда α · (x − x) = αx − αx = 0.

5.Пусть α · x = 0, но α 6= 0.

Тогда x = 1 · x =	1	1	1
	α · α	x = α · (αx) = α · 0 = 0.

Примеры линейных пространств.

1. Множество матриц размера mЧn с обычными операциями сложения

матриц и умножения матрицы на число.

2. Множество многочленов степени меньше или равной n с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на число.

3.Множество Rn n-мерных векторов с введенными в предыдущем параграфе операциями сложения векторов и умножения вектора на число.

4.Множество C[a; b] функций, непрерывных на отрезке [a; b]. Введем

29

на этом множестве операции сложения функций и умножения функции на число по следующим правилам: 1) сумма функций f + g находится

по правилу (f + g)(x) = f(x) + g(x), 2) произведение функции f на

число α находится по правилу (αf)(x) = αf(x).

Все аксиомы линейного пространства для этих примеров проверьте самостоятельно.

Линейное пространство V, в котором для любых двух элементов x, y

определено число ρ(x, y) (расстояние между точками или метрика), удо-

влетворяющее условиям:

1.ρ(x, y) = ρ(y, x);

2.ρ(x, y) > 0 ïðè x 6= y è ρ(x, x) = 0;

3.ρ(x, y) + ρ(y, z) > ρ(x, z) (неравенство треугольника)

называется метрическим пространством.

Расстояние можно вводить различными способами, при этом будем получать различные метрические пространства. Например, можно ввести расстояние через скалярное произведение.

Линейное пространство Rn, в котором введено скалярное произведение называется евклидовым и обозначается En.

Длиной (нормой) вектора x в евклидовом пространстве En называется

p

число |x| = (x, x).

Вектор, длина которого равна 1, называется нормированным. Два век-

тора, скалярное произведение которых равно 0, называются ортогональ-

íûìè.

Теорема 11.2. Всякая система a1, a2, . . . , am, векторы которой попар- но ортогональны, линейно независима.

Доказательство. Рассмотрим линейную комбинацию данных векто-

ðîâ α1		1 + α2		2	+ . . . + αm		m = 0 ( ). Найдем, при каких значениях
	a		a			a
коэффициентов					αi она обращается в 0. Умножим ( ) скалярно на				i.
								a

α1(a1, ai) + . . . + αi(ai, ai) + . . . + αm(am, ai) = 0. Получим αi(ai, ai) = 0,

òàê êàê (ai, aj) = 0 при i 6= j. Таким образом, для каждого i = 1, m

30