Лекц

Розгортки гранних поверхонь.

Розгорткою поверхні називається плоска фігура, що утворюється при суміщенні

відсіків поверхні з площиною при її розрізанні по ребрах.

1

Побудова розгортки

Рис.І.65.

S2

поверхні

багатогранникаПри

побудові

розгортки гранної поверхні всі її грані

суміщуються з площиною проекцій або з

площиною, яка паралельна площині

проекцій,

для

того,

щоб

усі

грані

x

В2

зобразились

не

спотворено.

Можна

А2

С2

S`10

рекомендувати

два

способи:

обертання

S10

граней навколо спільних ребер, паралельних

площині

проекцій,

та

побудову

n

неспотворених

граней

за

визначеними

А1

довжинами ребер (для трикутних граней).

На

рис.І.65

показана

розгортка

В1

тригранної піраміди SABC на горизонтальну

S1

площину її основи. Для цього кожна грань

обертається навколо її горизонталі - ребра

основи. Побудова розгортки починається з

С1

обертання грані

SBA навколо горизонталі

S`10

S0

S`10

а)

S2

BA. Проекції B1

та A1

при обертанні не змінюють

свого положення, а вершина S переміщується у

просторі по колу, площина якого перпендикулярна

B0

до осі обертання BA. Горизонтальною проекцією

A0

площини є пряма n, перпендикулярна до проекції

A2

C2

B1A1. Щоб визначити положення точки S11

роз-

гортки, спочатку знаходять натуральну величину

П2

B2

S111B1

ребра SB за допомогою способу

x

прямокутного трикутника,

а потім відстань S111B1

П1

B1

відкладають від

точки

B1

на

перпендикулярі

n.

A0

B0

Трикутник S11B1A1 є натуральною величиною грані

A1

C1

SBA. Бічні грані піраміди SCB та SAC обертаються

навколо CB та AC. Побудована плоска фігура є

розгорткою поверхні піраміди на горизонтальну

площину її основи.

S1

Якщо

всі

ребра

багатогранника

A0

B0

A0

знаходяться в загальному положенні, спочатку

визначають їх натуральні величани, а потім

б)

будують розгортку.

На рис.І.66а зображено

A0

A0

тригранну

піраміду

у загальному

C0

положенні. За допомогою

способу прямокутного

трикутника знайдені

натуральні величини

всіх

ребер.

На рис.І.66б спочатку

побудована

грань

S0

Рис.І.66.

А0В0S0. Для цього на довільній прямій відкладено

натуральні величини ребра АВ, і з точок А0

та В0

засічками, які дорівнюють натуральним величинам ребер AS та BS, побудовано точку S0.

Точки С0, А0

побудовані аналогічно, за допомогою засічок.

Метод розкатки.
На рис.І.67 показано побудову розгортки бічної поверхні призми з фронтальними
ребрами, послідовним обертанням граней навколо бічних ребер до суміщення граней з
фронтальною площиною, що проходить через ребро CF. Вершини багатогранника
переміщуються у фронтально проекціюючих площинах, перпендикулярних до ребра CF. При
побудові враховано, що ребра основ призми горизонтальні і зображуються на горизонтальній
проекції без спотворення.
			D0	F0
			E0
D2	E2	F2	R=E1F1
				C0
				A0
				B0
П2		A2	B2	C2
x
П1
D1			A1
		F1		C1
	E1		B1	Рис.І.67.

Метод «нормального перерізу»

Для побудови розгортки призми існує метод «нормального перерізу» (рис.І.68). Від використовується при умові, що на одній з проекцій ребра призми проектуються в натуральну величину. У випадку, коли елементи призми займають загальне положення, рекомендується методом заміни площин проекцій перетворити ребра загального положення в прямі рівня. Побудову розгортки починаємо із введення проекціюючої площини, перпендикулярної до натуральних величини ребер призми. На рис. І.65 це фронтально проекціююча площина G, перпендикулярна до фронтальних проекцій ребер А2D2 , B2E2 , C2F2. При перетині ребер з січною площиною отримали трикутник 122232, це і буде нормальний переріз, натуральну величину якого необхідно побудувати. Натуральна величина перерізу побудована методом обертання навколо проекціюючої осі, яка проходить через точку 2 і перпендикулярна до фронтальної площини проекцій. Обернемо фронтальну проекцію трикутника 122232 навколо точки 22, щоб вона перетворилась в горизонтальну площину рівня 12`22`32`, та будуємо горизонтальну проекцію оберненого трикутника 11`21`31`

. Це і буде натуральна величина нормального перерізу. Переходимо до побудови розгортки. В будь якому місці проводимо горизонтальну пряму та відкладаємо на ній натуральні величини сторін нормального перерізу 10, 20, 30, 10 . Перпендикулярно до прямої з кожної точки проводимо прямі, на які вгору і вниз від цих точок відкладаємо натуральні величини відрізків ребер, що знаходяться на фронтальній проекції. Таким чином

знаходимо точки A0, B0, C0, A0, D0, F0, E0, D0, сполучивши які отримуємо розгортку бічної поверхні призми. Щоб отримати повну розгортку, лишається добудувати натуральну величину верхньої та нижньої основи, що знаходяться на горизонтальній проекції.

Рис.І.68.						A0		F0
			E2	D2	F2			D0
					D0
	32`	12` 22≡22`
			12			E0
			32
			G2		10		30	10
						20
B2	A2	C2
			21≡21`	E1
B1	31`		C1		F1		C0
			31
	A1	11`	11	D1	A0			A0
						B0	A0

КРИВІ ПОВЕРХНІ

Способи утворення кривих поверхонь та їх систематизація

Крива поверхня визначається як неперервна двопараметрична множина точок або однопараметрична множина ліній. Точки або лінії цих множин називаються відповідно точками або лініями каркаса поверхні. Оскільки на рисунку неможливо зобразити всі точки або лінії каркаса поверхні, їх зображують з певним інтервалом.

	z	Рис І.84.
	b
a	O
x		y

Сукупність ліній, які мають спільний закон утворення та пов'язані між собою певною залежністю, називається лінійним каркасом поверхні. Форма і положення конкретної лінії каркаса на поверхні визна-

чаються параметром каркаса.

Творення криволінійної поверхні можна розглядати на основі звільнення одного параметра заданої лінії. В результаті утворюється однопараметрична множина ліній каркаса поверхні. Як правило, параметр звільнюється за допомогою надання закону

руху лінії в просторі.

На рис.І.84 в площині xOz задано конкретну параболу a, яка не має вільних параметрів. Звільнення одного параметра положення дає змогу параболі рухатись за визначеним законом, наприклад, поступально вздовж лінії b. Усі положення параболи в просторі утворюють неперервний каркас поверхні. В нарисній геометрії такий прийом називається

кінематичним способом утворення поверхні, лінія a каркаса - твірною поверхні, а лінія b руху точок лінії - напрямною.

	Поверхні, утворені рухом твірної певної форми, називаються кінематичними
поверхнями з твірною постійної форми.
	З параметром		положення		лінії каркаса		Рис І.85.		z
можуть бути зв’язані і параметри її форми. За										c	b
параметр каркаса можна прийняти будь-який з
											a
цих	параметрів.		При	цьому		незалежним
(вільним) є тільки один параметр каркаса, а
решта змінних параметрів визначається як
залежні від першого. Поверхня, що утворюється
таким чином, називається кінематичною
поверхнею з твірною змінної форми. Як
приклад,		можна	розглянути			поверхню,					y
зображену на рис.І.85.								O
	Твірне коло рухається у просторі таким
чином, що його центр переміщується вздовж							x
напрямної b, а площина кола весь час залиша-
ється паралельною площині xOy . Зміна радіуса
в процесі переміщення задається лінією c.
Змінюються два параметри кола: положення
площини кола та радіус, проте незалежним є тільки один.

Класифікація криволінійних поверхонь.

Різноманіття форм поверхонь ускладнює їх вивчення, для спрощення цього процесу поверхні систематизують, розподіляють по класах, підкласах, групах, підгрупах. Різні способи утворення, складності геометричних характеристик значно ускладнюють класифікацію поверхонь.

Основою класифікації поверхонь служать їх визначники або геометричні особливості, зв’язані з кінематичним способом їх утворення, виду твірної…

	СХЕМА КЛАСИФІКАЦІЇ КРИВИХ ПОВЕРХОНЬ
	Криволінійні поверхні.
Поверхні, утворені кінематичним методом		Поверхні, утворені каркасним методом
Лінійчаті	Нелінійчаті	Лінійчатий	Точковий
Розгортні	Нерозгортні	Графічні
		поверхні
Поверхні обертання (розгорт.; нерозг.)		Топографічні
Паралельного переносу (розгорт. ; нерозг.)		поверхні
Гвинтові поверхні (нерозгорт.)		Дискретна
Поверхні з трьома напрямними (нерозгр.)		сітка
Поверхні з площиною паралелізму (нерозгор.)			Схема І.1.

Враховуючи головні ознаки поверхонь, складена схема класифікації (схема І.1). На рис.І.86 представлені основні криві поверхні, утворені кінематичним методом.

Головні ознаки класифікації поверхонь:

1. за законом руху твірної: поверхні обертання; гвинтові поверхні; поверхні паралельного переносу.

2.за видом твірної: прямолінійна твірна; криволінійна твірна.

3.за законом зміни форми твірної: постійна твірна; змінна твірна.

4.за принципом розгортуваності: розгортні; нерозгортні.

5.за способом задання: аналітично; графічно; таблично.

6.за диференціальними характеристиками: гладкі; негладкі.

Криві поверхні, утворені кінематичним методом

i

твірна а

Рис.І.86.

m

Поверхня

Поверхня

Гвинтові поверхні

меридіан

(пряма)

Нелінійчаті поверхні

паралельного переносу

a твірна

горло

обертання

утворюються рухом

Лінійчаті поверхні

утворена

утворюється

твірної а по

(твірна – крива лінія)

поступальним рухом

рухом твірної а

гвинтовій лінії

(твірна – пряма лінія)

плоскої кривої а по

екватор

навколо

криволінійна

(поступальний +

a

напрямній m

нерухомої осі і

твірна а

обертальний рух)

Поверхні зі змінною

Поверхні з постійною

Поверхні з трьома

Поверхні з двома

Поверхні з двома

Поверхні з однією

твірною D=(a,m)[Aa,Am]

твірною D=(a,m)[Am]

напрямними D=(l,n,m)

напрямними і напрямною

напрямними і площиною

напрямнимою D=(a)[Am]

а – твірна;

а – твірна;

l, n, m – напрямні

площиною D=(n,m)[A ]

паралелізму

а – твірна;

m – напрямна;

m – напрямна;

n, m – напрямні

/поверхні Каталана/

m – напрямна;

Аа – закон зміни твірної.

Аm – закон руху твірної.

Скісний циліндроїд

Прямий циліндроїд

Аm – закон руху твірної

l, n, m – криві напрямні

Скісний циліндроїд

n, m – криві напрямні.

Поверхня з ребром

Поверхня загального виду

n

n, m – криві напрямні.

Поверхня загального виду

– площ. паралелизму

Кут α до пл.

постійний

звороту (торс)

утворюється рухом змінної

N

a

утворюється довільною

a

N

M

m

криволінійної твірної а по

n

криволінійною твірною а,

напрямній m

m

a

m

характер руху визначається

α

a

an

M

n

формою і положенням

l

α

a3

L

напрямної m.

α

N1

n1

m

a2

α

Двічі скісний циліндроїд

m1

a

m

n, m – криві напрямні

M1

a1

a1

l – прямолінійна напр.

Прямий коноїд

l

Скісний коноїд

n, – пряма напрямна

Конічна поверхня

Каналова поверхня

L

m

n, – крива напрямна

m – крива напрямна

утворена неперервним

M

N

a

m – пряма напрямна

– площ. паралелізму

An

каркасом замкнених

A1

A2

A3

m

n

Кут α до пл.

постійний

m

плоских перерізів.

n

N

M

a

Трубчата поверхня утворена

G2

G3

Двічі скісний коноїд

α

Gn

рухом кола а (діаметр

α

n

S

n – крива напрямна

постійний)

по криволінійній

α

N1

m

l , m – прямолінійна

напрямній m. Площина кола

a1

a2

a3

n

l

n1

перпендикулярна m.

α

a1

M

m

m1 M1

a

m

an

m

N

a

Скісна площина

L

Двічі скісна площина

Циклічна поверхня утворена

/Гіперболічний параболоїд/

Циліндрична

n, m – прямі напрямні.

Однопорожнинний

n, m – прямі напрямні.

рухом кола а (діаметр

Кут α до пл.

постійний

поверхня

– площ. паралелізму

змінний) по криволінійній

O3

On

гіперболоїд

напрямній m

l, n, m – прямі напрямні

a

α

n

a

m

O2

a

n

α

N

M

m

a

a3

a4

On

l

N

M

α

O1

a2

O4

m

a

α

n1

N1

a1

O3

m

m1

m

O2

an

L

m

n

a1

M1

Визначник поверхні.				а)						в)
								i2
Криволінійна поверхня називається
						2	M2
заданою, якщо за однією проекцією точки, що
лежить на поверхні, можна визначити її другу				x	П2	a2
проекцію.							M11
					П1
Сукупність умов, необхідних для							a1
однозначного задання криволінійної поверхні,									b2
								i1
називається визначником поверхні (D)										i2
								x П2
D = DГ + DА ;						M1
								П1
DГ – геометрична частина;
DА – алгоритмічна частина.			поверхню	б)		m2	n2		b1
Наприклад:	циліндричну									i1
обертання з кінематичної точки зору можна					П2
уявити: а) як слід,	що залишає		в просторі	x
пряма, рухаючись навколо осі D(а, і); б) як слід					П1
						m1
від обертання кривої, що належить поверхні								n1
										Рис.І.87.
прямого кругового циліндра, навколо осі; в) як
результат поступального руху кола, центр О якого лежить на осі, а площина, в якій лежить
коло, перпендикулярна до цієї осі; г) як поверхню, утворену поступальним рухом сфери,
центр якої лежить на осі.
Оскільки існують: обертальний, поступальний, гвинтовий рух, відповідно
класифікуються поверхні: -		поверхні обертання			(рис.І.87а),		-	поверхні	паралельного
переносу (рис.І.87б),	- гвинтові поверхні (рис.І.87в).
Поверхні, утворені кінематичним методом, частіше зустрічаються на практиці.
Поверхні, утворені обертанням твірної лінії навколо нерухомої осі, називаються
поверхнями обертання (рис.І.87а). Найпростішими прикладами таких поверхонь є циліндр, конус
обертання та сфера. Всі поверхні обертанняможна віднести до циклічних поверхонь. Визначник
поверхні обертання має вигляд: D = ( a, i )
Поверхні, утворені поступальним рухом твірної, називаються поверхнями паралельного
переносу(рис.І.87б). Визначник: D = ( m, n ).
Поверхні, утворені гвинтовим рухом (обертальним+ поступальним) твірної навколо осі,
називаються гвинтовими(Нарис.І.87вповерхняпрямогогелікоїда.). Визначникповерхні:D = ( b, i ).
Лінійчаті поверхні

Лінійчата поверхня може бути визначена як нескінченнамножина прямих (твірних), кожна з яких перетинає три фіксовані у просторі напрямні лінії.

Належність лінійчатої поверхні до певного виду визначається числом невласних напрямних ліній.

У загальному випадку дві нескінченно близькі твірні лінійчатої поверхні є мимобіжними прямими. Такі поверхні називають косими.

Лінійчаті поверхні з невласною прямою напрямною, яка замінюється площиною паралелізму, називаються поверхнями Каталана. До поверхонь Каталана належать коноїд, циліндроїд і гіперболічний параболоїд (він же – гіпар або коса площина).

Циліндроїд - дві власні напрямні криві (рис.І.88а).

Коноїд – це поверхня, яка має дві власні напрямні - пряму і криву (рис. І.88б).

Гіперболічний параболоїд (коса площина) має дві власні напрямні прямі лінії

(рис.І.88в).

Циліндроїди, коноїди та гіпари широко використовуються в архітектурній практиці як поверхні покриття споруд, оскільки несуть на собі лінійні каркаси.

П2			а)	Циліндроїд		D=(	P)
					n2		m2
	n	m
	n1		Р
						n1	Р1
		m1
	П1						m1
П2
		n	б) Коноїд D=(
							n2
	m				m2
			Р
m1					m1
		n1
	П1				Р1		n1
П2			в)	Гіперболічний параболоїд (скісна площина)
			D=				n2
	m
			n
					m2
			Р
m1
		n1			m1
							n1
Рис.І.88.	П1						Р1
Якщо площина паралелізму ліній каркаса
поверхні замінює нескінченно віддалену пряму
напрямну, то нескінченно віддалена крива на-
прямна замінюється напрямним конусом.
На рис.І.89 показана поверхня з напрямним							S2
конусом, яка називається косим гелікоїдом і крім
					П2
напрямного конуса має ще дві власні напрямні -				x		B2
					П1
гвинтову лінію і вісь гвинтової лінії.			Прямі лінії
каркаса гелікоїда перетинають власні напрямні та
паралельні	відповідним	твірним	напрямного				S1
конуса.
						B1
На відміну від косих поверхонь, у яких
кожна пара нескінченно близьких ліній каркаса є							Рис. І.89.
мимобіжною, у розгортних поверхонь вони
перетинаються.

Розгортну лінійчату поверхню можна уявити собі якграничний стан багатогранної поверхні з гранями, ширина яких наближається до нуля. Тому таку поверхню можна отримати розгортаннямбагатогранника на площину.

	m2
x	П2
	П1
	m1
	Рис.І. 90.

У загальному вигляді розгортна поверхня утворюється як неперервна однопараметрична множина дотичних до просторової кривої лінії m і називається торсом (рис.І.90). Просторова крива при цьому називається ребром звороту. Якщо ребро звороту перетворюється в точку – отримаємо конічну поверхню з вершиною в даній точці. Якщо вершина конічної поверхні віддалена в нескінченність, - маємо циліндричну поверхню.

Дискретизаціятаінтерполяціяповерхонь.

В практиці конструювання архітектурних та технічних форм виникає потреба представлення поверхні як неперервним, так і дискретнимкаркасом. У зв’язку з цим виникають задачі перезадання каркасаповерхні.

Виявлення на поверхні дискретної множини ліній або точок, положення яких відповідає заданим умовам, називається дискретизацією поверхні. Прикладом дискретизації може бути

розділення поверхонь збірного просторового покриття на збірні елементи або нанесення сітки кінцевих елементівнаповерхнюоболонкидляїї розрахункунаміцністьта стійкість.

Задача, протилежна дискретизації, називається інтерполяцією. В практиці проектування часто як вихідну форму представлення поверхні приймають її дискретний каркас. Але таке представлення не є способом її задання, оскільки в цьому випадку неможливо визначити положення довільної точки, яка належить поверхні. Отже, виникаєзадача відновлення поверхні за її дискретним каркасом.

Багато задач потребують наближеної заміни складної поверхнібільш простими, що мають певні властивості. Наприклад, для побудови наближеної розгортки нерозгортної поверхні її замінюють відсіками конусів або циліндрів, для яких і будують розгортку. Така наближеназаміна однієї поверхні іншими називається апроксимацією і виконується як дві послідовні операції дискретизації та інтерполяції.

Дотичні лінії та площини до поверхні.

Дотична площина до поверхні – це геометричне місце всіх дотичних прямих, які проходять через точку на поверхні.

Нормаль – пряма, яка перпендикулярна до дотичної площини в точці дотику.

В залежності від виду поверхні дотична площина може мати з нею:

а)– одну спільну точку (рис.І.91а); б)– ряд спільних точок (рис.І.91б,в);

в)- спільну точку,лінію перетину (рис.І.91г).

а)	б)
в)	г)
	Рис.І.91.

Перетин кривих поверхонь площиною та прямою лінією.

При перерізах поверхонь площиною утворюється плоска крива лінія,кожна точка якої є точкою перетину лінії каркаса поверхні з січною площиною. Для побудови точок перерізу можуть бути застосовані способи допоміжних січних площин або способи перетворення проекцій. Допоміжні січні площини в більшості випадків обираються проекціюючими, що дає змогу визначити множину точок перетину плоских ліній каркаса поверхні з заданою площиною.

Спосіб перетворення проекцій дозволяє перевести площину чи поверхню, що перетинаються, в проекціююче положення і спростити розв’язання задачі. Отже, обидва способи грунтуються наалгоритмах побудови перерізу поверхні проекціюючою площиною.

Перетин поверхні проекціюючою площиною

На рис.І.92 а,б показано побудову перерізу сфери та конуса проекціюючими площинами Г та Σ. Проекція на П2 називається виродженою. Одна з проекцій лінії перерізу поверхні завжди збігається з виродженою проекцією проекціюючої січної площини. Отже, побудова лінії перерізу зводиться до знаходження її другої відсутньої проекції , до визначення другої проекції множини точок, що належать поверхні, тобто, будується просто за відповідністю. Тому для побудови другої проекції лінії перерізу досить задати поверхню у вигляді множини простих ліній каркаса. Для побудови точок проведені допоміжні горизонтальні площини.

а)

Г2

б)

S2

∆''2

∆'2

12

Σ

S2

22 =32

Т2

∆''2'

коло

42=52

Т21

'''

A2

11

еліпс

62=72

62

∆2

∆2

Т2

парабола

42Ξ52

∆'

гіпербопа

82

2

12

22Ξ32

x

П2

x

П2

x

П2

П1

71

П1

51

31

П1

31

A1

S1

81

S1

51

11

61

11

41

41

21

21

61

Рис.І.92.

Рис.І.93.

Конічніперерізи.

При перетині конуса обертання площинами утворюються криві другого порядку (еліпс, парабола, гіпербола,коло), якіщеназивають коніками.

На рис.І.93 показано переріз конуса обертання різними проекціюючими площинами. Якщо січна площина паралельна двом прямолінійним прямим конуса, то вона перетинає його погіперболі, якщо площина паралельна одній твірній, то вона перетинає конус попараболі, якщо площина не паралельна жодній твірній то вона перетинає конус обертання поеліпсу, і нарешті, якщо площина перпендикулярнаосіконуса, то вонаперетнейогопо колу.