Линейная алг. Заочное

5. Возведение в степень.
, где > 1	= A ∙ A ∙ A ∙ ∙ A
			раз
Свойства:
0 = , 1 = , ∙ = + ,						=
Пример 1. Найти 2, если =				1	2
				3	4
2	1	2	1	2		7	10
	= 3	4	3	4	=	15	22

Пример 2. Найти матричный многочлен , если

= 2 2 + − 3,								=		0		1
										2		3
Решение:	= 2 2 + − 3
	2 =	0		1	0	1	=		2	3
		2		3	2	3			6	11
= 2		2	3		+	0 1		− 3		1		0	=
		6		11		2	3			0		1
= 4 6		+		0 1		−	3	0	=		1		7
12	22			2	3		0	3		14			22

6. Транспонирование матрицы – операция замены строк

соответствующими столбцами.
	11	12			1			11	21	1
=	21	22			2		=	12	22	2
	1	2						1	2
					×	ᵀ×
Пример. =		1	2		3
		4	5		6	1	4
					=
						2	5
						3	6

Свойства операции транспонирования:

1)=

2)λ = λ

3)+ = +

4) = ∙

Определители Оглавление

1.Определители 1-го, 2-го и 3-го порядков

2.Определитель –го порядка

3.Свойства определителей

Определители квадратных матриц

Определитель матрицы – это число ее характеризующее.

1.Определитель матрицы 1-го порядка = 11 (определитель первого порядка)

∆1= = 11.

2. Определитель 2-го порядка – число, которое вычисляется

по формуле	11	12
∆ = =			=		− .
2	21	22	11	22	12	21

3. Определитель 3-го порядка – число, которое вычисляется

по формуле

11 12 13

∆3= = 21 22 23 =

31 32 33

= 11 22 33 + 12 23 31 + 13 21 32 − −13 22 31 − 12 21 33 − 11 23 32.

Всего 6 слагаемых.

Каждое слагаемое – произведение трех элементов (ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы).

Вопрос: как определить знак слагаемого?

Мнемоническое правило для определения знака (правило треугольников или звездочки):

	11	12	13	11	12		13	11	12	13
	21	22	23
				21	22	23		21	22	23
	31	32	33
				31	32	33		31	32	33
		+
									–
	Пример.
					1	2	3
				=	4	5	6	=
					7	8	9

= 1 ∙ 5 ∙ 9 + 2 ∙ 6 ∙ 7 + 4 ∙ 8 ∙ 3 − 3 ∙ 5 ∙ 7 − 2 ∙ 4 ∙ 9 − 6 ∙ 8 ∙ 1 = 0

Правило Саррюса				−
11	12	13	11	12
21	22	23	21	22
31	32	33			+
			31	32

Определитель –го порядка

Минором элемента матрицы –го порядка называется определитель − 1 −го порядка, полученный путем вычеркивания из определителя –го порядка –ой строки и –го столбца.

	11		12	13		21	23
Пример. =	21		22	23	=			=			−
12	31			33		31	33		21	33	23	31
			32
Каждая матрица –го порядка имеет 2							миноров		− 1 −го
порядка.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы –го порядка называется его минор, взятый со знаком −1 + .

=

−1

+

23

= −1

2+3

= −

;

33

=

−1

3+3

=

23

23

33

33

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические

дополнения.

∆ =		1	+	2	+ +		=
	1		2

=1

(разложение определителя по элементам –ой строки ; = 1, )

∆ = +	2	+ +		=
1 1 2

=1

(разложение определителя по элементам –го столбца; = 1, )

5	4	3
Пример. 0	−1	1	=
0	0	2

= 5 −1	1+1	−1	1	+ 0 + 0 =
		0	2

= 5 ∙ ( −1 −1 2 2 + 0) = 5 ∙ −1 ∙ 2

Определитель треугольной (диагональной) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

1 2 4 7

0 3 0 2 =?

2 4 3 2

6 3 1 1

Свойства определителей

1.Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из одних нулей, то он равен 0.

2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на число λ, то его значение умножится на это число λ.

Умножим в исходном определителе ∆

–ую строку на λ и получим определитель ∆′.

11 1

∆′= λ	λ		= λ		1		+ λ	2	+ + λ				=
1			1				2
1
	= λ	1	+	2		+ +					=
	1		2

= λ ∙ ∆

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца.