primeri_zao

ЗАДАЧА № 12
РАСЧЕТ БАЛКИ НА ПОПЕРЕЧНЫЙ УЛАР
1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ И УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ
			На двутавровую балку, свободно
		Q	лежащую на двух жестких опорах, с вы-
		h	соты h падает груз Q (рис. 15).
			Требуется:
		z	1) найти наибольшее нормальное	на-
A	B	C	пряжение в балке;
l		0,2l	2) решить аналогичную задачу при усло-
y			вии, что правая опора заменена пру-
Рисунок 15			жиной, податливость которой (т.е.
			осадка от груза 1 кН) равна α ;
			3) сравнить полученные результаты.
Исходные данные для решения задачи: Q = 400 Н; l =2,8 м; h = 4				см;
α = 28 10−3 м/кН; двутавр № 24а, схема балки 8.
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Для ответа на первый вопрос задачи необходимо найти величину опорных реакций балки от статического воздействия груза Q (рис. 16). Используя уравнения равновесия статики, получаем:

∑тА = 0 ; VB l −Q (l +0,2l)= 0 ; VB =Q (l + 0,2l)/ l =1,2Q ;

∑тB = 0 ; VA l +Q 0,2l = 0 ; VA = −Q 0,2l / l = −0,2Q .

Проверка:

∑y = 0 ; VA +VB −Q = 0 ; −0,2Q +1,2Q −Q = 0 .

	Q	z
A
	C
B		ст
		v
VA	VB
0,2Ql
y
l	0,2l	Эп. М

Рисунок 16

Строим эпюру изгибающих моментов в заданной балке от статического действия груза Q . Записываем

уравнение метода начальных параметров для определения прогибов оси балки

	vi	= v0 +θ0 zi −	VA zi3			1,2l	−	VB (zi −l)3			1,2l .
			6EJ x					6EJ x
						0					l

Начальные параметры задачи v0 и θ0 определяем исходя из следующих граничных условий:

41

zi	= 0 ; v(0)= 0 , отсюда v0 = 0;
zi	= l ; v(l)= 0 , отсюда 0 = 0 +θ0l −	VAl3	, тогда θ0 =	VAl2	=	−0,2Ql2	.
		6EJ x		6EJ x
						6EJ x

Вычисляем вертикальное перемещение балки в точке С, где приложена сила Q , при zi =1,2l

vcm = 0 +

−0,2Ql2

1,2l −

−0,2Q (1,2l)3

−

1,2Q (1,2l −l)3

= 0,016

Ql3

;

6EJ x

6EJ x

6EJ x

EJ x

vcm

= 0,016

Ql3

= 0,016

400 2,83

=1,849 10−5 м.

EJ x

2 1011 3800 10−8

Вычисляем динамический коэффициент по следующей формуле

kд =1

+ 1 +

2h =1 +

1 +

2 4 10−2

= 66,79 .

vcm

1,849 10−5

Максимальный изгибающий момент, возникающий в балке от статического действия груза Q , равен

M max =0,2Ql =0,2 400 2,8 = 224 Нм.

Вычисляем величину максимальных нормальных напряжений от статического действия груза Q

σmaxст =	M max	=	224	= 0,707 10-6 Па = 0,707 МПа.
			317 10-6
	Wx

Здесь Wx =317 см3 – момент сопротивления двутавра № 24а, определяемый

по сортаменту прокатной стали.

Максимальные нормальные напряжения от ударного действия падающего груза Q равны

σmaxдин =σmaxст kд = 0,707 66,79 = 47,22 МПа.

A

VA

y

		Q		z
пр		B	C	пр
v		B1	C1	βv
			C2	ст
				v
l	VB	0,2l

Рисунок 17

Для ответа на второй вопрос задачи рассмотрим деформированное состояние балки при замене ее правой опоры пружиной, имеющей заданную податливость α (рис. 17). При указанной замене, прогиб балки от статического действия груза Q будет равен:

vст′ = vcm + βvпр .

42

Как следует из чертежа треугольник АВВ1 подобен треугольнику АСС1. Исходя из этого подобия, имеем

vlnp = β1,v2npl , тогда β =1,2 .

Осадка пружины возникает от действия опорной реакции VB при статическом приложении к балке груза Q и равна

vnp =αVB = 28 10−6 1,2 400 =1344 10−5 м.

Прогиб балки в точке С при статическом действии силы Q vст′ =1,849 10−5 +1344 10−5 =1345,849 10−5 м.

Вычисляем величину динамического коэффициента при подпружиненной правой опоре

kд′ =1+ 1+	2h	=1+ 1+	2 4 10−2	−5 = 3,64 .
	′		1345,849 10
	vcm

Максимальные нормальные напряжения от ударного действия падающего груза Q при замене правой опоры на пружину равны

′дин	ст	′	= 0,707 3,64 = 2,57 МПа.
σmax	=σmax	kд

Таким образом, при замене жесткой опоры в точке В пружиной максималь-

ные нормальные напряжения в поперечном сечении балки уменьшаются в

σmaxст	=	47,22	=18,374 раза.
′дин	2,57
σmax

43