Линейная алгебра УМК

Определение 9. Пусть М x, y,...,z подпространство n-мерного векторного пространства Rn и er1 , er2 ,..., erm система векторов из М. Эта система называ-

ется базисом векторного подпространства М, если:

1)Она линейно независима.

2)Для любого вектора x из М существуют такие числа x1 ,..., xm , что x ли-

нейно выражается через x1 ,..., xm ,т.е. xr = x1 er1 + x2 er2 +... + xn erm .

Иными словами, система векторов образует базис, если она линейно независима и через ее линейную комбинацию может быть представлен любой

вектор	подпространства. При этом данная	линейная	комбинация
xr = x1 er1	+ x2 er2 +... + xn erm называется разложением	вектора xr	по базису

er1 ,er2 ,...,erm , а числа x1 , x2 ,..., xm – координатами вектора x в данном базисе.

Определение 10. Векторным произведением двух векторов a, b в пространстве R3 с ортонормированным базисом е1, е2, е3, называется третий вектор c, удовлетворяющий условиям:

1)Вектор с перпендикулярен каждому из векторов а и b.

2)Длина вектора с равна произведению длин векторов а и b на синус угла между ними, т.е. |с| = |а| |b| sin(ab) .

3)Тройки векторов {а, b, c} и {е1, е2, е3} имеют одинаковую ориентацию

(обе правые или левые).

Векторное произведение записывают в виде с = а*b или с = [аb]. Определение 11. Пусть a, b, с – вектора в пространстве R3 с ортонормированным базисом е1, е2, е3. Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, равное векторному произведению [ab], умноженному скалярно на вектор с.

16. Линейная форма

Определение 1. Отображение f , заданное на евклидовом пространстве En

вмножество действительных чисел , называется числовой функцией векторного аргумента

Определение 2. Отображение f , заданное на евклидовом пространстве En

вмножество действительных чисел , называют линейным функциона-

30

лом векторного аргумента если для любых элементов xr, yr Еn и любого действительного числа λ выполняются соотношения:

1o. f (xr + yr) = f (xr)+ f (yr) (свойство аддитивности).

2o. f (λ xr)= λ f (xr) (свойство однородности).

Определение 3. Однородный многочлен 1-ой степени: f(x) = x1a1 + x 2a 2 +... + x n a n

относительно значений линейного функционала х1, х2, …, хn называется линейной формой. Таким образом, любая линейная функция f(x) в n- мерном евклидовом пространстве является линейной формой относительно координат ее аргумента х. При этом запись АТХ = 0 называют однородным уравнением линейной формы, а запись АТХ = С – неоднородной уравнением линейной формой.

Определение 4. Неоднородное уравнение линейной формы вида Ах1 + Вх2 = С

называется уравнением прямой в двумерном векторном пространстве R2, а неоднородное уравнение линейной формы вида

Ах1 + Вх2 + Сх3 = D называется уравнением плоскости в R3.

Определение 5. Множество векторов Х, удовлетворяющих уравнению АХ = С, называют линейным многообразием или гиперплоскостью, а само уравнение – уравнением гиперплоскости. При этом в пространстве размерности n гиперплоскость имеет размерность (n–1).

17. Квадратичные формы

Определение 1. Квадратичной формой от n переменных x1 ,..., xn называет-

ся однородная функция второго порядка вида

f (x)= f (x1 ,..., x n )=∑n ∑n	aijxi x j ,
i=1 j=1
где ai, j – числовые коэффициенты.

31

Определение 2. Квадратичная форма вида

f (x1 ,x 2 ,...,x n )= λ1x12 + λ2 x 2 2 +... + λn x n 2 (1)

с диагональной матрицей коэффициентов называется диагональной. При этом вид (1) называется каноническим видом квадратичной формы. Закон инерции квадратичной формы:

Если вещественная квадратичная форма вещественными неособенными линейными преобразованиями переменных приведена двумя способами к диагональному виду, то в обоих случаях число положительных коэффициентов, число отрицательных коэффициентов и число нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных одно и то же.

Определение 3. Линейное невырожденное преобразование переменных называется ортогональным (ортонормированным) преобразованием, если матрица преобразования ортогональна (ортонормированная).

Определение 4. Будем говорить, что квадратичная форма f (x) = xT Ax по-

ложительна (отрицательна), если положительны (отрицательны) все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных нулю одновременно (нулевые значения отсутствуют).

Определение 5. Будем говорить, что квадратичная форма f (x) = xT Ax не-

отрицательна (неположительная), если x Rn f (x)≥ 0	(≤ 0).
Определение 6. Будем говорить, что квадратичная форма	f (x) = xT Ax зна-

копеременна, если она принимает на Rn как положительные, так и отрицательные значения.

18. Критерий Сильвестра

Пусть дана квадратичная форма f (x) = xT Ax . Данная форма:

1)	положительна тогда и только тогда, когда k (A) > 0, k =1,...,n ;
2)	отрицательна тогда и только тогда, когда
	(−1)k k (A) > 0, k =1,...,n ;
3)	неотрицательна тогда и только тогда, когда
	k (A) ≥ 0, k =1,..., n ;

32

4) неположительная тогда и только тогда, когда

(−1)k k (A) ≥ 0, k =1,..., n ; 5) знакопеременна – в остальных случаях.

Неотрицательные и неположительные формы иногда называют полуопреленными.

19. Линии второго порядка

Определение 1. Многочлен вида

n	n	n
Ф(X ) = ∑(∑aij xi x j ) + 2∑bi xi +C			(1)
i=1	j=1	i=1

представимый в виде суммы квадратичной формы, линейной формы и свободного члена называют многочленом 2-й степени от n переменных. В матричной форме многочлен (1) можно записать в виде

Ф(Х) = ХТАХ + 2ХТВ + С

Записи

n	n	n
∑(∑aij xi x j ) + 2∑bi xi +C = 0 и ХТАХ + 2ХТВ + С = 0			(2)
i=1	j=1	i=1

называют общим уравнением второй степени.

Определение 2. При n = 2 уравнение (2) называют уравнением линии второго порядка на плоскости в декартовой системе координат.

Многочлен Ф(Х) при этом примет вид:

Ф(x1, x2) = Ax12 + Bx22 + 2Cx1x2 + 2Dx1 + 2Ex2 + 2F (3)

Каждой линии 2-го порядка отвечает симметричная матрица вида

A C D

C B E .

D E F

Верно и обратное – каждой симметричной матрице 3-го порядка отвечает единственная линия 2-го порядка. Определитель такой матрицы называют главным дискриминантом линии 2-го порядка. Так как выражение (1) представляет собой сумму комбинацию квадратичной и линейной формы, то используя теорему Лагранжа получаем результат.

33

Теорема 1. С помощью невырожденных преобразований (в тои числе и ортогональных) любое уравнение Ф(x1x2)=0 линии 2-го порядка в надлежащей системе координат приводится к одному из двух видов

Ф(у1у2) = αу12 + βy22 + μ или Ф(у1у2) = αу12 + 2βy2

При этом, в зависимости от значений полученных коэффициентов различают:

1)αу12 - βy22 = 0 две пересекающихся прямых.

2)αу12 = 1 две параллельные прямых.

3)αу12 + βy22 = 1 эллипс.

4)αу12 – βy22 = 1 гипербола.

5)αу12 = 2βy2 парабола.

Для того, чтобы линия второго порядка сводилась к 2-м прямым необходимо и достаточно, чтобы главный дискриминант кривой второго порядка был равен нулю.

Определение 3. Эллипсом называется линия, имеющая в заданной системе

координат уравнение	x 2	+	y2	=1, где х, y – переменные; a, b – положи-
	a 2		b2

тельные числа.

Отрезок [–a, a] называют большой осью, отрезок [–b, b] малой осью. Точки F1 и F2 называют фокусами, их координата определяется:

с = a 2 − b2 .

Сумма расстояний от фокусов до любой точки эллипса постоянная величина, равная 2а. Отношение координаты фокуса к большой оси эллипса называется его эксцентриситетом е и определяется по формуле е = с/a.

Ясно, что 0 < е < 1. Если a = b, то эллипс является окружностью. Определение 4. Гиперболой называется линия, имеющая в некоторой сис-

теме координат уравнение	x 2	−	y2	=1, где х, y – переменные, a, b положи-
	a 2		b2

тельные числа.

34

Отрезок [–a, a] называют действительной осью, отрезок [–b, b] мнимой осью. Линии Y = – ba х и Y = ba х называются асимптотами гиперболы. Точ-

ки F1 и F2 называют фокусами, их координата определяется: с = a 2 + b2 . Модуль разности расстояний от фокусов до любой точки гиперболы – постоянная величина, равная 2а.

Отношение координаты фокуса к действительной оси гиперболы называется его эксцентриситетом е и определяется по формуле

е = с/a, е > 1.

Равносторонней называется гипербола, у которой a = b.

Определение 5. Параболой называется линия, имеющая в системе координат уравнение у = 2pх2, р > 0.

20. Уравнение поверхностей второго порядка

Определение 1. Уравнение поверхности второго порядка в R3 имеет вид Ф(x1x2x3)=Ax12+Bx22+Cx32+2Dx1x2+2Ex1x3+2Fx2x3+2Gx1+2Hx2+2Kx3+L.

Поверхности 2-го порядка отвечает симметричная матрица вида

A D E F
D B G H
	.
E G C K
F H K L

Верно и обратное – каждой симметричной матрице 4-го порядка отвечает единственная поверхность 2-го порядка. Определитель такой матрицы называют главным дискриминантом поверхности 2-го порядка.

Так как выражение (1) представляет собой сумму квадратичной и линейной формы, то используя теорему Лагранжа получаем результат.

С помощью элементарных невырожденных преобразований любое уравнение поверхности 2-го порядка в надлежащей системе координат приводится к одному из двух видов

Ф(у1, у2, y3) = ау12 + by22 + сy32 + d или Ф(у1, у2, y3) = ау12 + bу22 + 2cy3

При этом, в зависимости от значений полученных коэффициентов уравнения могут описывать либо алгебраические, конические и цилиндрические

35

поверхности, либо две плоскости (пересекающиеся, параллельные или совпадающие).

Для того, чтобы поверхность второго порядка сводилась к 2-м плоскостям необходимо и достаточно, чтобы главный дискриминант поверхности 2-го порядка был равен нулю. При этом получают уравнения:

1)αу12 + βy22 = 0 – одна прямая в пространстве.

2)αу12 - βy22 = 0 – две пересекающиеся плоскости.

3)αу12 = 1 – две параллельные плоскости.

Классификация поверхностей 2-го порядка:

1)Алгебраические поверхности

		x 2		x 2		x 2
	Эллипсоид	1	+	2	+	3	=1
		a12		a 22		a32

x 2

x

2

x 2

Однополосный гиперболоид

1

+

2

−

3

=1

a12

a 22

a32

x 2

x 2

x 2

Двухполосный гиперболоид

1

−

2

−

3

=1

a12

a 22

a32

2) Конические поверхности

x 2

x 2

x 2

Конус

1

+

2

−

3

= 0

a12

a 22

a32

x

2

x 2

Эллиптический параболоид

1

+

2

= 2px3

a12

a 22

x

2

x 2

Гиперболический параболоид

1

−

2

= 2px3

a12

a 22

3) Цилиндрические поверхности

x 2

x 2

Эллиптический цилиндр

1

+

2

=1

a12

a 22

x 2

x 2

Гиперболический цилиндр

1

−

2

=1

a12

a 22

Параболический цилиндр x 22

= 2px3

36

9.ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1.Понятие матрицы m*n. Действия над матрицами (умножение на число, сложение) и их свойства.

2.Умножение матриц.

3.Транспонирование матриц.

4.Свойства матриц. Эквивалентные преобразования матриц.

5.Определители.

6.Свойства определителей и методы их вычислений.

7.Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).

8.Обратная матрица. Вычисление.

9.Ранг матрицы.

10.Понятие о системе линейных алгебраических уравнений.

11.Условие совместимости (разрешимости) системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).

12.Методы решения определенных систем алгебраических уравнений (Крамера, матричный, Гаусса).

13.Решение произвольных систем алгебраических уравнений.

14.Понятие комплексного числа.

15.Модуль и аргумент комплексного числа.

16.Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

17.Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

18.Показательная форма комплексного числа

19.Линейные пространства. Определение. Элементы линейного простанства.

20.Определение n-го вектора (элемента). Операции над векторами.

37

21.Евклидово пространство. Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Определение угла между векторами.

22.Условие ортогональности двух векторов. Механический смысл скалярного произведения.

23.Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл определителя второго порядка.

24.Векторное произведение векторов.

25.Смешанное произведение векторов.

26.Прямая на плоскости. Уравнение прямой в отрезках.

27.Нормальная форма уравнения прямой. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

28.Кривые второго порядка: окружность, эллипс.

29.Кривые второго порядка: парабола, гипербола и их геометрические свойства.

30.Плоскость. Уравнение плоскости в отрезках. Нормальная форма уравнения плоскости.

31.Плоскость и прямая в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

32.Плоскость. Уравнение плоскости в отрезках.

33.Нормальная форма уравнения плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

34.Плоскость и прямая в пространстве.

35.Угол между плоскостями. Угол между прямыми.

36.Угол между прямой и плоскостью.

37.Канонические и параметрические уравнения прямой.

38.Цилиндрические поверхности.

39.Конусы

40.Поверхности вращения.

41.Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

38

10. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

1.Дана матрица:

	1	2	0
	0	1	4
				.
	3	0	3

Найти ее определитель.

Варианты ответов:

1)27.

2)–5.

3)15.

4)7.

2.Дана матрица:

1		2	3
	2	1	4
	3	2	3	.

Найти алгебраическое дополнение элемента матрицы a12 .

Варианты ответов:

1)0.

2)6.

3)8.

4)–6.

3.Дана матрица:

А =	1	3	,
	3	4

найти А-1.

Варианты ответов:

1)	−0,5		0,5
	A−1 =	0,75	−0,25

39