Математический анализ УМК

Основнаялитература

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М: Айрис-пресс, 2009.

2.Шипачев В.С. Высшая математика: базовый курс. – М.: Юрайт, 2011.

Дополнительная литература

1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие. – СПб.: Профессия, 2002.

2.Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н.Ш. Кремера.

–М.: ЮНИТИ, 2010.

3.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: учебник. – М.: Дело и Сервис, 2009.

4.Кириллов А.Л., Клоков В.И., Полянская С.В. Практикум по математике.

–СПб.: Изд-во СЗАГС, 2009.

Занятие 19. Интегральное исчисление

Вопросыдляобсуждения

1.Непосредственное интегрирование.

2.Интегрирование по частям

3.Замена переменных.

4.Интегрирование рациональных функций.

5.Свойства определенного интеграла.

6.Несобственный интеграл.

Основнаялитература

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М: Айрис-пресс, 2009.

2.Шипачев В.С. Высшая математика: базовый курс. – М.: Юрайт, 2011.

Дополнительная литература

1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие. – СПб.: Профессия, 2002.

30

2.Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н.Ш. Кремера.

–М.: ЮНИТИ, 2010.

3.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: учебник. – М.: Дело и Сервис, 2009.

4.Кириллов А.Л., Клоков В.И., Полянская С.В. Практикум по математике.

–СПб.: Изд-во СЗАГС, 2009.

Тема 10. Числовые ряды

Занятия 20, 21. Числовые ряды

Вопросыдляобсуждения

1.Свойства числовых рядов.

2.Признаки сравнения числовых рядов.

3.Признак Даламбера.

4.Радикальный и интегральный признак Коши.

5.Знакопеременные числовые ряды.

6.Условная и абсолютная сходимость числовых рядов.

Основнаялитература

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М: Айрис-пресс, 2009.

2.Чесноков Е.А. Основы математического анализа. – СПб.: СЗАГС, 2010.

3.Шипачев В.С. Высшая математика: базовый курс: учеб. пособие. – М.:

Юрайт, 2011.

Дополнительная литература

1.Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н.Ш. Кремера.

– М.: ЮНИТИ, 2010.

2.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: учебник. – М.: Дело и Сервис, 2009.

31

Тема 11. Функциональные ряды

Занятие 22. Функциональные ряды

Вопросыдляобсуждения

1.Степенные ряды.

2.Признаки сходимости степенных рядов.

3.Радиус (интервал) сходимости.

4.Тригонометрические ряды.

Основнаялитература

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М: Айрис-пресс, 2009.

2.Чесноков Е.А. Основы математического анализа. – СПб.: СЗАГС, 2010.

3.Шипачев В.С. Высшая математика: базовый курс: учеб. пособие. – М.:

Юрайт, 2011.

Дополнительная литература

1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие. – СПб.: Профессия, 2002.

Занятие 23. Числовые и функциональные ряды

Вопросыдляобсуждения

1.Свойства числовых рядов.

2.Признаки сравнения числовых рядов.

3.Признак Даламбера.

4.Радикальный и интегральный признак Коши.

5.Знакопеременные числовые ряды.

6.Степенные ряды.

7.Признаки сходимости степенных рядов.

Основнаялитература

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М: Айрис-пресс, 2009.

32

2.Чесноков Е.А. Основы математического анализа. – СПб.: СЗАГС, 2010.

3.Шипачев В.С. Высшая математика: базовый курс: учеб. пособие. – М.:

Юрайт, 2011.

Дополнительная литература

1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие. – СПб.: Профессия, 2002.

2.Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н.Ш. Кремера.

– М.: ЮНИТИ, 2010.

33

8. СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ

1.Понятие функции

Пусть X – числовое множество. Если существует правило f, которое всякому x X ставит в соответствие единственное число f(x), то говорят, что на множестве X задана функция f(x).

2.Понятие последовательности

Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел.

3.Предел последовательности

Постоянное число a называется пределом последовательности xn, если для любого ε > 0 найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется | xn – a | < ε.

4.Понятие производной

Пусть f(x) определена в окрестности точки x0. Производной функции в точке x0 называется предел

	f (x0 ) = lim	f (x0 + x) − f (x0 )
		x
	x→0

5.Правила дифференцирования. Линейность

(α(u+ v))′= α u′+α v′; α – число

6.Правила дифференцирования. Производная произведения

(uv)′= u′v + v′u

7. Производные элементарных функций (табличные производные)

(1)′ = 0; (x)′ = 1; (xn)′ = nxn-1; (ex)′ = ex; (sin x)′ = cos x; (cos x)′ = – sin x ;

(ln x)' =1 / x

8.Производная сложной функции

Пусть имеется сложная функция y = y (x (t)), тогда производная равна y′t = y′x(x(t)) x′(t), или в других обозначенияхdydt = dydx dxdt

34

9.Критическая точка функции

Критической точкой функции f(x) называют точку x, в которой производная обращается в нуль, т.е. f ′(x)=0.

10. Признаки возрастания функции

Функция возрастает в точке x, если ее производная в этой точке больше нуля, т.е. f ′(x) > 0.

11. Признаки убывания функции

Функция убывает в точке x, если ее производная в этой точке меньше ну-

ля, т.е. f ′(x)<0.

12. Достаточное условие минимума

Функция f(x) имеет в точке x минимум, если f ′(x) = 0 и f′′(x) > 0.

13. Достаточное условие максимума

Функция f(x) имеет в точке x максимум, если f′(x) = 0 и f′′(x) < 0.

14. Понятие первообразной и неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в некотором интервале, если в каждой точке интервала выполнено:

dFdx(x) = f (x)

Совокупность всех первообразных на интервале называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают

∫ f (x)dx = F(x) +C,

где С – произвольная постоянная.

15.Интегрирование заменой переменной

∫f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt

16.Интегрирование по частям

∫udv =uv − ∫vdu

17.Связь определенного и неопределенного интеграла (формула Нью- тона-Лейбница)

∫b f (x)dx = F (b) − F (a), где F(x) – первообразная.

a

35

18.Вычисление площади плоской фигуры

Пусть f(x) < g(x) для любых x [a,b], тогда площадь, ограниченная кри-

выми y = f(x), y = g(x) и x = a, x = b будет равна:

S = ∫b (g(x) − f (x))dx

a

19. Двойной интеграл

Если при стремлении к нулю шага разбиения области интегральные

i=n

суммы ∑ f (xi , yi ) Si имеют конечный предел, то этот предел называет-

i=1

ся двойным интегралом от функции f(x, y) по области .

20. Определитель Якоби

∂ϕ

∂f

∂ϕ

∂f

∂f

∂f

Выражение

−

=

∂u

∂v

=

i

называется определителем

∂v

∂u

∂u

∂v

∂ϕ ∂ϕ

∂u

∂v

Якоби или Якобианом функций f(u, v) и ϕ(u, v).

21.Тройной интеграл

Тройным интегралом называется кратный интеграл, если интегрирование ведется по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в трехмерном пространстве.

∫∫∫f (x, y, z)dxdydz = limx→0		∑∑∑ f (x, y, z) x y z
r	y→0	v
	z→0

Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью ϕ(x, y, z) = 0.

	x2	y2 z2
∫∫∫f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫			f (x, y, z)dzdydx
r	x1	y1 z1

Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.

36

22.Числовой ряд

Сумма членов бесконечной числовой последовательности u1 ,u2 ,...,un ,...

называется числовым рядом.

∞

u1 + u2 +... + un +... = ∑un

n =1

Суммы Sn = u1 +u2 +... +un = ∑n uk , n = 1, 2, … называются частными

k =1

(частичными) суммами ряда.

23. Сходимость и расходимость ряда

∞

Ряд u1 + u2 +... + un +... = ∑un называется сходящимся, если сходится

n =1

последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

	∞
lim Sn = S,	S = ∑un .
	n=1

Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

Для того, чтобы последовательность a1 , a2 ,..., an ,... была сходящейся, не-

обходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство: an+ p − an < ε.

24. Признак Даламбера

∞

Если для знакоположительного ряда ∑a n существует конечный предел

n=1

lim an+1 = λ, то ряд сходится при λ <1 и расходится при λ >1.

n→∞ an

25.Признак Коши

Если для ряда ∑un с неотрицательными членами существует такое чис-

ло q < 1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

37

n un ≤ q , то ряд ∑un сходится, если же для всех достаточно больших n

выполняется неравенство n un ≥1, то ряд ∑un расходится (радикальный признак Коши).

Если ϕ(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на про-

∞

межутке [1; ∞), то ряд ϕ(1) + ϕ(2) + …+ ϕ(n) + … = ∑ϕ(n) и несобст-

n=1

венный интеграл ∞∫ϕ(x)dx одинаковы в смысле сходимости (интеграль-

1

ный признак Коши).

26.Знакочередующийся ряд

Знакочередующийся ряд – это ряд, который можно записать в виде:

u1 −u2 +u3 −u4 +... + (−1)n+1 un +... , где un > 0, n =1,2,3,...

27.Признак Лейбница

Если у знакочередующегося ряда u1 −u2 +u3 −u4 +... + (−1)n+1 un +... абсо-

лютные величины ui убывают u1 > u2 > u3 >... и общий член стремится к нулю un → 0 , то ряд сходится.

28.Абсолютная и условная сходимость

∞					∞
Если сходится ряд ∑		a n		,	то ряд ∑a n называется абсолютно сходя-
n=1					n=1
∞					∞
щимся. Если же ряд ∑a n					сходится, а ряд ∑		a n		расходится, то ряд
n=1					n=1

∞

∑a n называется условно сходящимся.

n=1

29.Функциональный ряд

Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.

30.Степенной ряд

Степенным рядом называется функциональный ряд

∞

∑Cn (x − x0 )n =C0 +C1 (x − x0 )+C2 (x − x0 )2 +K+Cn (x − x0 )n +K,

n=0

38

члены которого являются произведениями постоянных C0 , C1 ,..., Cn ,... на степенные функции от разности x − x0 с целыми неотрицательными показателями степеней, точка x0 называется центром степенного ряда.

Для каждого степенного ряда существует такое положительное число R,

что при всех х таких, что x < R ряд абсолютно сходится, а при всех x > R ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимо-

сти. Интервал (–R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым. Радиус сходимости может быть найден по

формуле: R =lim an−1 .

n→∞ an

31.Тригонометрический ряд

Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

	a0	+(a cos x +b sin x) +(a				2	cos 2x +b sin 2x) +... +(a	n	cos nx +b	sin nx) +...
2		1	1				2			n
			a0		∞
или, короче,					+ ∑(an cos nx +bn sin nx). Действительные числа ai, bi на-
			2
					n=1

зываются коэффициентами тригонометрического ряда.

32.Коэффициенты Фурье

Если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2π, непрерывная на отрезке [-π; π] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

an =	1	∫π	f (x) cos nxdx; n = 0,1,2,...	bn =	1	∫π	f (x) sin nxdx, n =1,2,...
	π				π
		−π				−π

существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).

33.Ряд Фурье

Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

39