Действительный анализ

Окончательно имеем

k

Bn(x)

f(x)

k

f

k

f(x) Cnkxk(1

x)n k

+

k Ax n

X

2

f

k

f(x) Cnkxk(1

x)n k

<

k Bx n

X

2

" + " = 2"

n n0("):

Значит,

kBn fk ! 0; n ! 1:

Теорема доказана.

I

Теорема 19. Пусть T – произвольный линейный непрерывный функционал на пространстве C[a; b]: Тогда существует функция '; имеющая ограниченную вариацию на отрезке [a; b], такая, что

Z b

T (f) = f(x)d'(x); f 2 C[a; b]:

a

J

Сначала докажем теорему для пространства C[0; 1]: Пусть S – произвольный линейный непрерывный функционал на этом пространстве.

Для каждого n = 1; 2; : : : ; положим

Uk;n(x) = Cnkxk(1 x)n k; k = 0; 1; : : : ; n;

71

и определим на отрезке [0; 1] функцию 'n по формуле

		8S(U0;n(x)); 0 < x < 1 ;
		>	0;	x = 0;			n
				m
		>
'	(x) =	>			m 1			m
n		>S(		Uk;n);			x <	n	; m = 2; : : : ; n;
		>			n
		>
		>		k=0
		<		n
		>		P
		>
		>
		>
		>	S(	Uk;n);	x = 1:
				k=0
				P

>

>

:

Согласно лемме 6 функционал S ограничен, и значит, найдется положительное число K, для которого

jS(f)j Kkfk; f 2 C[0; 1]:

Учитывая, что Uk;n(x) 0; x 2 [0; 1] и лемму 7, получим

n

n

n

XUk;n(x)		= XjUk;n(x)j = XUk;n(x) 1; x 2 [0; 1]:

k=0

k=0

k=0

(3.13) Из этих соотношений, определения функций 'n и постоянной K выводим, что

				m
' (x)		K max max		X	U			=
j n	j	m=0;n x2[0;1]							n
			k=0			k;n
									X
				K max						2
									Uk;n = K; x		[0; 1];
					x		[0;1]		k=0
						2

то есть последовательность функций f'ng равномерно ограничена на отрезке [0; 1]:

Заметим теперь, что всюду на отрезке [0; 1] будет

n

n

XX

	"kUk;n(x) Uk;n(x) 1;

k=0

k=0

где "k = 1; k = 0; : : : ; n: (3.14)

72

Так как 'n – кусочно постоянная функция, ее полная вариация находится по формуле (1.10) (следствие 5 из теоремы 6):

1	n 1	j'n(k=n) 'n(k=n 0)j+
0	('n) = j'n(0 + 0) 'n(0)j+ k=1
_	X

j'n(k=n + 0) 'n(k=n)j + j'n(1) 'n(1 0)j:

Отсюда нетрудно вывести, что при определенном выборе значений "k = 1 или 1 будет

1n

_X

('n) = "kS(Uk;n)

0k=0

Всилу линейности и ограниченности функционала S из соотношений (3.14), (3.13) получим оценку

1

n

!

_X

0	('n) = S	"kUk;n K; n = 1; 2; : : :
	k=0
Последовательность		функций ограниченной вариации
		1
f'ng равномерно ограничена и вариации W0			('n) в совокупно-

сти ограничены. Следовательно, по теореме 9 найдется подпоследовательность этой последовательности, скажем, f'nj g; сходящаяся в каждой точке отрезка [0; 1] к некоторой функции ограничнной вариации ':

Используя теорему 14, для любой функции f 2 C[0; 1]

73

получим

1

Z

f(x)d'n(x) =

0					f	n Cnkxk		(1 x)n k
n				n					=
k=0 f	n S(Uk;n(x)) = k=0 S
X		k	X				k
		S	f n Cnkxk(1 x)n k! = S(Bn(x));
		n
		k=0
		X		k

где Bn – полином Бернштейна. Согласно теореме 18 kBn fk ! 0; n ! 1:

Поэтому, с учетом линейности и непрерывности функционала S и теоремы 17 о предельном переходе под знаком интеграла Стилтьеса, можем написать

n!1			nj!1 S(Bnj ) = nj!1 Z0		1	1
	n	) =			fd'nj	Z0
S(f) = lim S(B			lim	lim		= fd':

Для пространства функций C[0; 1] теорема доказана.

Для того, чтобы обосновать справедливость утверждения теоремы в пространстве C[a; b] с произвольными a; b 2 R; заметим, что замена переменной x = (b a)y + a; y 2 [0; 1]; устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами пространств C[a; b] и C[0; 1]; сохраняющее линейные операции и норму:

f(x) 2 C[a; b] ()

g(y) := f((b a)y + a) 2 C[0; 1]; kfkC[a;b] = kgkC[0;1]:

При этом, если T – линейный ограниченный функционал на пространстве C[a; b]; то отображение S : C[0; 1] ! R, дей-

74

ствующее по правилу	g	b	a
S(g) = T				;
		x	a

есть линейный ограниченный функционал на пространстве C[0; 1]: Действительно, линейность функционала S очевидна, а его ограниченнность следует из того, что для всех f 2 C[a; b]

jT (f)j KkfkC[a;b] при некотором K > 0;

и равенства норм

kg(y)kC[0;1]	=	g	b		a	C[a;b] :
				x	a

Согласно доказанному для пространства C[0; 1] утверждению найдется функция ', имеющая ограниченную вариацию на отрезке [0; 1], такая, что

	S(g) = Z0	1 g(y)d'(y); g 2 C[0; 1]:
Последнее соотношение эквивалентно равенству
T (f) = Z0	1 f((b a)y+a)d'(y) для всех f 2 C[a; b]: (3.15)

Нетрудно проверить, что для функции (x) = '((x a)=(b a))

	b
	_a		( ) < +1;		b
	следовательно, по теореме 12, существует интеграл
					fd : Из
					a
	определения интеграла Стилтьеса легко вывести,			что
					R
	Zab f(x)d (x) = Z0	1 f((b a)y + a)d'(y):			(3.16)

75

Из (3.15) и( 3.16) получаем требуемое представление для функционала T :

Z b

T (f) = f(x)d (x); f 2 C[a; b]:

a

Теорема доказана.

I

76