Metod-zaochn
.pdfПри интерференции волн максимум и минимум амплитуды получается соответственно при условиях
x − x |
2 |
= ±2n λ |
( n = 0,1,2,... ), |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
x − x |
2 |
= ±(2n +1) λ |
( n = 0,1,2,... ). |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Звуковыми волнами или звуком называются волны, распространяю- |
щиеся в упругой среде и имеющие частоту в пределах от 20 до 20000 Гц. Уровень громкости L определяется как логарифм отношения интен-
сивности данного звука I к интенсивности I0 , принятой за исходную. Значение L в децибелах (дБ) определяется формулой
L =10 lg |
I |
, |
|
||
|
I0 |
где I0 =10−12 Вт/м2 .
По принципу Доплера частота звука, воспринимаемая наблюдателем, определяется формулой
ν = ν0 1 ± vп / v , 1 m vи / v
где ν0 – частота излучаемых колебаний, v – скорость распространения звука, vп – скорость движения приемника (наблюдателя), vи – скорость движения источника. Перед скоростью vп знак «+», если приемник при-
ближается к источнику; «–», если приемник удаляется от источника. Перед скоростью vи знак «–», если источник приближается к приемнику; «+»,
если источник удаляется от приемника.
Задача 6.1. Волна с частотой 4 Гц распространяется в пространстве со скоростью 6 м/с. Найти в градусах разность фаз волны в двух точках пространства, отстоящих друг от друга на расстоянии 50 см и расположенных на прямой, совпадающей с направлением распространения волны.
Дано: |
Решение: |
|
ν = 4 Гц |
Две точки волны, отстоящих друг от друга на рас- |
|
v = 6 м/с |
стоянии ∆l , отличаются по фазе на |
|
∆l = 50 см |
∆ϕ = k∆l , |
(1) |
|
где k = 2π/ λ – волновое число. |
|
∆ϕ−? |
|
|
40 |
|
|
Длину волны λ находим из |
|
v |
|
|
|
|
|||
|
|
|
λ = vT = |
. |
|
|
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ν |
|
|
|
|
Подставляя (2) в (1) с учетом выражения для k , получим: |
|||||||||
∆ϕ = |
2π∆lν |
; |
∆ϕ = |
2 π 0,5 4 |
= |
2π |
=120° . |
||
|
6 |
|
3 |
||||||
|
v |
|
|
|
|
Ответ:
∆ϕ =120° .
Задача 6.2. Амплитуда звуковой волны увеличилась в 10 раз. На сколько увеличился уровень громкости?
Дано: |
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
A2 =10 A1 |
Используя выражение для уровня громкости |
|||||||
|
|
|
|
L =10 lg I / I0 , |
||||
|
можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
∆L −? |
I2 |
|
I1 |
|
I2 |
|
||
|
∆L = L − L =10 lg |
−10 lg |
=10 lg |
. |
||||
|
|
|
|
|||||
|
2 |
2 |
I0 |
|
I0 |
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
Так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды I ~ A2 , окончательно получим
|
A2 |
|
A |
|
|
∆L =10 lg |
2 |
= 20 lg |
2 |
= 20 lg10 = 20 дБ. |
|
A2 |
A |
||||
|
|
|
|||
|
1 |
|
1 |
|
Ответ:
∆L = 20 дБ .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 6.3. Звуковые колебания, имеющие частоту ν = 500 Гц и амплитуду A = 0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны λ = 70 см. Найти скорость v распространения колебаний и максимальную скорость vmax частиц воздуха.
Задача 6.4. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид x = = sin π2 t см. Найти уравнение волны, если скорость распространения коле-
баний v = 300 м/с. Написать и изобразить графически уравнение колебания для точки, отстоящей на расстоянии l = 600 м от источника колебаний. На-
41
писать и изобразить графически уравнение колебания для точек волны в момент времени t = 4 с после начала колебаний.
Задача 6.5. Найти разность фаз ∆ϕ колебаний двух точек, лежа-
щих на луче и отстоящих на расстоянии l = 2 м друг от друга, если длина волны λ =1 м.
Задача 6.6. Найти длину волны λ основного тона ля (частота ν = = 435 Гц). Скорость распространения звука в воздухе v = 340 м/с.
Задача 6.7. Человеческое ухо может воспринимать звуки с частотой приблизительно от ν1 = 20 Гц до ν2 = 20 000 Гц. Между какими длина-
ми волн лежит интервал слышимости звуковых колебаний? Скорость распространения звука в воздухе v = 340 м/с.
Задача 6.8. При помощи эхолота измерялась глубина моря. Какова была глубина моря, если промежуток времени между возникновением звука и его приемом оказался равным t = 2,5 с? Сжимаемость воды
β = 4,6 10−10 Па−1 ( β =1/ E ), плотность морской воды ρ =1,03 103 кг/м3 .
Задача 6.9. Шум на улице с уровнем громкости L1 = 70 дБ слышен в комнате так, как шум с уровнем громкости L2 = 40 дБ. Найти отношение I1 / I2 интенсивностей звуков на улице и в комнате.
Задача 6.10. Человеческое ухо способно воспринимать разницу уровней громкости 1,0 дБ. Каково отношение I1 / I2 интенсивностей этих
звуков, уровни громкости которых отличаются на эту величину?
Задача 6.11. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями
v1 = 72 км/ч |
и v2 = 54 км/ч. |
Первый поезд дает свисток с частотой |
ν = 600 Гц. |
Найти частоту ν′ |
колебаний звука, который слышит пассажир |
второго поезда: а) перед встречей поездов; б) после встречи поездов. Скорость распространения звука в воздухе v = 340 м/с.
Задача 6.12. Ружейная пуля летит со скоростью u = 200 м/с. Во сколько раз изменится частота тона свиста пули для неподвижного наблюдателя, мимо которого пролетает пуля? Скорость распространения звука в воздухе v = 333 м/с.
42
Уравнение состояния газа
Уравнение состояния газа определяет связь его температуры T , давления p и объема V в состоянии термодинамического равновесия.
Идеальным называется газ, размерами молекул которого можно пренебречь по сравнению с его объемом, и в котором силы взаимодействия между молекулами пренебрежимо малы.
Для идеального газа уравнение состояния имеет следующий вид pV = Mm RT ,
где m – масса газа, M – молярная масса, R = 8,31 Дж/моль K – универсальная газовая постоянная.
Величину ν = m / M называют количеством вещества, она выражается в молях. Моль – это количество вещества, в котором содержится число час-
тиц, равное числу атомов в 0,0012 кг изотопа углерода 12C .
Частными случаями |
уравнения |
|
|
Клапейрона–Менделеева (при |
|||||||||
m = const ) являются опытные газовые законы: |
|
|
|
|
|||||||||
Закон Бойля–Мариотта: |
|
p1 |
= V2 |
||||||||||
pV = const или |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
V |
||||
при T = const (изотермический процесс); |
|
|
|
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Закон Гей–Люссака: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
= const или |
V1 |
= |
|
T1 |
|
|||||||
|
T |
T |
|
||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|||||
при p = const (изобарический процесс); |
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Закон Шарля: |
|
|
|
p1 |
|
|
|
T1 |
|
|
|||
|
p |
= const или |
|
|
|
= |
|
|
|||||
|
T |
|
|
|
T |
||||||||
|
|
|
p |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
при V = const (изохорический процесс).
Закон Авогадро: моли любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковые объемы. Число частиц, содержащихся в моле вещества, называется постоянной Авогадро
N A = 6,02 1023 моль−1 .
43
Нормальные физические условия определяются давлением p0 =1,013 105 Па (нормальная атмосфера), температурой T = 273K ( 0°C ),
при которых молярный объем газа V0 = 22,4 10−2 м3 / моль .
Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений, то есть давлений, которые имел бы каждый из этих газов в отдельности, если бы он при данной температуре один занимал весь объем.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
|
2 |
|
2 |
|
m v2 |
|
|
p = |
n < E >= |
n |
0 ср.кв. |
, |
|||
3 |
3 |
2 |
|||||
|
|
|
|
где p – давление, n – число молекул в единице объема, < E > – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, m0 – масса одной молекулы, vср.кв. – средняя квадратичная скорость молекулы.
Число молекул в единице объема (концентрация молекул): n = kTp ,
где k = R / N A =1,38 10−23 Дж/K – постоянная Больцмана.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы:
|
|
|
|
|
< E >= |
3 |
kT . |
|
|
|
|
|
|
||
Скорости молекул: |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
||||
vв = |
2kT = |
2RT – наиболее вероятная скорость, |
|||||
|
m0 |
|
M |
|
|
|
|
vср.кв. = |
3kT |
= |
3RT |
≈1,22 vв – средняя квадратичная скорость, |
|||
|
|
m0 |
|
M |
|
|
|
< v >= |
|
8RT |
≈1,13 vв |
– средняя скорость. |
|||
|
|
πM |
|
|
|
|
|
Задача 7.1. В цилиндре под поршнем находится воздух при давлении 2 105 Па и температуре 27 °C . С какой силой надо действовать на поршень после нагревания воздуха до температуры 40 °C , чтобы объем
воздуха в цилиндре был равен первоначальному? Площадь поршня 20 см2 .
44
Дано: |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|||||||
S = 20 см2 |
|
|
Так как объем воздуха в цилиндре остается постоян- |
|||||||||||||
p = 2 105 Па |
|
ным, можно применить закон Шарля: |
|
|||||||||||||
t1 = 27 °C |
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
= |
|
T1 |
. |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
t1 = 40 °C |
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
T2 |
|
|
|||
|
|
Для того чтобы поршень был в равновесии и объем |
||||||||||||||
V = const |
|
воздуха не изменялся, необходимо, чтобы сила, с которой |
||||||||||||||
F −? |
|
действуют на поршень, была равна увеличению силы |
||||||||||||||
|
|
давления воздуха при нагревании |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F = ∆p S . |
|
|
|
|
(2) |
||||
Давление воздуха внутри цилиндра возросло на |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∆p = p2 − p1 . |
|
|
|
|
(3) |
|||||
Подставляя в (3) значение |
p2 = p1T2 / T1 , найденное из (1), получим |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
∆p = |
p1(T2 −T1) |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя полученное выражение в (2), получим ответ: |
|
|||||||||||||||
|
|
Sp (T −T ) |
|
0,002 2 105 (313 −300) |
|
|
||||||||||
F = |
1 |
2 |
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=17,3 Н. |
|
|
|
T1 |
|
|
|
300 |
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F =17,3 H |
|
|
|
|
|
||||
Задача 7.2. |
Определить плотность кислорода при давлении |
p = |
= 2 105 Па, если средняя квадратичная скорость молекул vср.кв. =103 м/с.
Дано: |
|
Решение: |
|
|
|
p = 2 105 Па |
Задачу можно решить двумя способами. |
||||
v |
ср.кв. |
=103 м/с |
1 способ использует уравнение состояния Клапейро- |
||
|
|
на–Менделеева: |
|
|
|
ρ−? |
|
pV = |
m |
RT , |
|
|
|
|
M |
откуда плотность газа
ρ = Vm = pMRT .
45
С учетом того, что vср.кв. = 3RT / M , сразу имеем ответ:
ρ = |
3 p |
= |
3 2 105 |
= 0,6 |
кг |
. |
||
vср2 |
.кв. |
106 |
м3 |
|||||
|
|
|
|
2 способ предполагает использование основного уравнения молеку- лярно-кинетической теории в виде:
p = |
2 |
n |
m0vср2 |
.кв. |
, |
|||||
3 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где m0 – масса одной молекулы, |
n – концентрация молекул. |
|||||||||
Поскольку по определению плотность газа равна ρ = m0n , получим |
||||||||||
тот же ответ: |
3 p |
|
|
|
кг |
|
||||
ρ = |
|
|
= 0,6 |
. |
||||||
vср2 |
|
|
|
|
||||||
|
.кв. |
|
|
м3 |
Ответ:
ρ = 0,6 мкг3 .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 7.3. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра имеется тонкий поршень, который может скользить в цилиндре без трения. С одной стороны поршня находится водород массой m1 = 4 г, с
другой – азот массой m2 =14 г. Какую часть объема цилиндра занимает водород?
Задача 7.4. Сосуд разделен перегородками на три части, объемы которых равны V1 , V2 и V3 , в которых находятся газы при давлениях p1 ,
p2 и p3 соответственно. Какое давление в сосуде установится после удаления перегородок, если температура при этом осталась неизменной?
Задача 7.5. В баллоне объемом 0,2 м3 находится газ под давлением 105 Па при температуре 290 К. После подкачивания газа давление повы-
силось до 3 105 Па, а температура увеличилась до 320 К. На сколько увеличилось число молекул газа?
46
Задача 7.6. Воздушный шар объемом V заполнен гелием. При нормальных условиях он может поднять груз массой m1 . Какой груз может поднять тот же шар при замене гелия водородом при той же температуре?
Задача 7.7. Объем пузырька газа, всплывающего на поверхность со дна озера, увеличился в 3 раза. Какова приблизительно глубина озера, если считать, что температура воды постоянна?
Задача 7.8. Камеры автомобильных шин накачиваются при помощи насоса, работающего от двигателя. Сколько времени требуется для того, чтобы камеру объема V = 6 л накачать до давления p = 0,5 МПа, если
при каждом цикле насос захватывает из атмосферы цилиндрический столб воздуха высоты h =10 см и диаметра d =10 см и если время одного качания τ =1,5 с? Начальное давление в камере p0 = 0,1 МПа.
Задача 7.9. Газ последовательно переводится из состояния 1 с температурой T1 в состояние 2 с тем-
пературой T2 , а затем в состояние 3 с температурой T3 и возвращается в состояние 1. Найти температуру T3 , если процессы изменения происходили так, как это показано на рисунке, а температуры T1 и T2 известны.
Задача 7.10. В сосуде находятся 14 г азота и 9 г водорода при температуре t =10 °C и давлении p =1 МПа. Найти молярную массу смеси и
объем сосуда.
Задача 7.11. Найти концентрацию молекул водорода при давлении p = 266,6 Па, если средняя квадратичная скорость его молекул 2,4 103 м/с.
Задача 7.12. Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки, взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости мо-
лекул воздуха? Масса пылинки m =10−8 г. Воздух считать однородным газом, молярная масса которого M = 0,029 кг/моль.
47
Первое начало термодинамики
Внутренняя энергия термодинамической системы – это энергия теп-
лового движения молекул:
U = Mm 2i RT ,
где i – число степеней свободы (число независимых координат, определяющих положение системы в пространстве): i = 3 для одноатомной молекулы, i = 5 для двухатомной молекулы, i = 6 для молекул, состоящих из трех или более атомов.
Теплоемкостью тела называется величина, равная количеству теплоты, которую нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин:
Cтела = δdtQ .
Теплоемкость единицы массы вещества называется удельной теплоемкостью с, теплоемкость одного моля вещества называется молярной теплоемкостью С . Удельная и молярная теплоемкости связаны:
C = c M ,
где M – молярная масса.
Теплоемкость газа зависит от условий, при которых происходит его нагревание: CV = i / R – молярная теплоемкость при постоянном объеме,
C p – при постоянном давлении. Они связаны уравнением Майера:
C p = i +22 R = CV + R .
Первое начало термодинамики: количество теплоты, сообщаемое системе, затрачивается на приращение внутренней энергии системы и совер-
шение системой работы над внешними телами
Q = ∆U + A ,
где Q – количество теплоты, полученное системой, ∆U – изменение
внутренней энергии системы, A – работа, совершаемая системой против внешних сил.
Если температура идеального газа массой m изменилась на величину ∆T , то его внутренняя энергия изменилась на величину:
∆U = cV m∆T = Mm CV ∆T = 2i Mm R∆T .
48
Если при постоянном давлении p газ нагревается на ∆T =T2 −T1 , то его объем возрастает от V1 до V2 и газ совершает работу:
A = p(V2 −V1)= p∆V .
Применим первое начало термодинамики с уравнением состояния Клапейрона–Менделеева к различным процессам:
При изобарическом процессе ( ∆p = 0 ):
A = p∆V = Mm R∆T .
Если в процессе изобарического расширения к газу подводилось тепло, то согласно первому началу термодинамики:
Q = ∆U + A = Mm CV ∆T + Mm R∆T = Mm C p ∆T = Mm i +22 R∆T .
При изотермическом процессе ( ∆T = 0 ) все тепло, получаемое газом,
идет на совершение работы, так как в этом случае ∆U = 0 :
Q = A = m RT ln V2 . M V1
При изохорическом процессе ( ∆V = 0 ) все тепло, получаемое газом,
идет на изменение внутренней энергии последнего:
Q= ∆U .
Вэтом случае A = 0 , а количество теплоты, получаемое или отдаваемое газом, может быть определено по формуле:
Q = Mm CV ∆T = 2i R Mm ∆T .
Адиабатический процесс происходит при изменении объема газа без теплообмена с окружающей средой. В этом случае давление p и объем V
постоянной массы газа связаны уравнением Пуассона:
pV |
γ |
= const , |
где γ = |
C p |
. |
|
C |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
Для перехода к переменным T и V можно использовать уравнение Клапейрона–Менделеева и тогда получим:
TV γ−1 = const .
При адиабатическом процессе ( Q = 0 ) работа производится за счет
внутренней энергии газа: при расширении газ охлаждается и наоборот. Работа в этом случае определяется выражением:
49
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ−1 |
|
|
|
|
m |
|
|
mRT1 |
|
|
|
|
||||
A = |
C |
∆T = |
− |
V1 |
|
|
, |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
M |
V |
|
M (γ −1) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
V2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где T1 и V1 – первоначальные значения температуры и объема газа, V2 –
объем газа в конце процесса.
При политропическом процессе теплоемкость тела остается постоянной величиной ( C = const ). В этом случае давление p и объем V связаны
уравнением политропы:
pV n = const , |
где |
n = |
C −Cp |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
C −C |
|
|
|
|
|
V |
|
Величина n называется показателем политропы. |
|||||
Коэффициент полезного действия тепловой машины |
|||||
η = |
Q1 −Q2 |
|
, |
|
|
Q |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
где Q1 – количество теплоты, полученное от нагревателя, Q2 – количество
теплоты, отданное холодильнику. Для идеального цикла Карно:
η = T1 −T2 ,
T1
где T1 и T2 – температуры нагревателя и холодильника соответственно.
Задача 8.1. Под поршнем цилиндра, расположенного вертикально, находится 200 г воздуха, который при сообщении ему количества теплоты 100 Дж изобарически нагрелся на 1 °C . Если принять воздух за идеальный
газ, то чему равны работа воздуха по поднятию поршня и увеличение его внутренней энергии?
Дано: |
Решение: |
|
m = 200 г |
Количество теплоты, сообщенное воздуху, пошло на |
|
Q =100 Дж |
увеличение его внутренней энергии и на совершение ра- |
|
∆T =1К |
боты против внешних вил. Из первого закона термодина- |
|
мики |
||
|
||
A −? |
Q = ∆U + A |
|
∆U −? |
следует: |
|
∆U = Q − A . |
||
50 |
||
|
Работа расширения воздуха при постоянном давлении:
A = p∆V ,
где ∆V – изменение объема воздуха.
Используя уравнения Клапейрона–Менделеева
p∆V = Mm R∆T ,
получим
0,2 8,31 1 = − 57,3 Дж.
29 10 3
Увеличение внутренней энергии равно:
∆U =100 −57,3 = 42,7 Дж.
Ответ:
A = 57,3 Дж , ∆U = 42,7 Дж .
Задача 8.2. Идеальная тепловая машина Карно совершает за один цикл работу 800 Дж и отдает за один цикл холодильнику количество теплоты 3,2 кДж при температуре 47 °C . Найти температуру нагревателя.
Дано: |
Решение: |
|
|
|
|
|
|
A = 800 Дж |
Работа, совершаемая тепловой машиной за один |
||||||
Q2 = 3,2 кДж |
цикл, определяется выражением: |
|
|||||
T2 = 320 К |
|
|
A = Q1 −Q2 , |
(1) |
|||
T1 −? |
где Q1 – количество теплоты, полученное от нагревателя, |
||||||
|
Q2 – количество теплоты, отданное холодильнику. Тогда |
||||||
|
|
Q1 = A +Q2 . |
|
||||
Используя определение КПД тепловой машины |
|
||||||
|
η = |
Q1 −Q2 |
=1− |
Q2 |
, |
|
|
|
Q |
|
|
|
|||
|
|
|
Q |
|
|||
получим: |
1 |
1 |
|
|
|||
|
|
Q2 |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
η =1− |
|
. |
(2) |
||
|
|
A +Q2 |
Сдругой стороны, для цикла Карно
η= T1 −T2 =1− T2 ,
T1 T1
51
откуда получаем температуру нагревателя |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
T = |
|
|
T2 |
. |
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
1−η |
|
||||||
Подставляя (2) в (3), получим ответ |
|
|||||||||||
T |
=T |
A +Q2 |
= 320 |
0,8 +3,2 |
= 400 К. |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
Q2 |
|
|
3,2 |
|
|
|
||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 = 400 K |
|
или |
|
|
t1 =127 °C |
. |
|
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 8.3. 10 г кислорода находятся в сосуде под давлением p = = 300 кПа и температуре 10 °C . После изобарического нагревания газ за-
нял объем V =10 л. Найти количество теплоты, полученное газом, изменение внутренней энергии газа и работу, совершенную газом при расширении.
Задача 8.4. В закрытом сосуде находится масса 20 г азота и 32 г кислорода. Найти изменение внутренней энергии газов при охлаждении ее на 28 К.
Задача 8.5. В сосуде под поршнем находится 1 г азота. Какое количество теплоты надо затратить, чтобы нагреть азот на 10 К? На сколько при этом поднимется поршень? Масса поршня 1 кг, площадь его попереч-
ного сечения 10 см2 . Давление под поршнем 100 кПа.
Задача 8.6. Масса m = 2 г гелия, находящегося при температуре
t = 0 °C и давлении |
p = 2 105 |
Па, изотермически расширяется за счет |
1 |
1 |
|
полученного извне тепла до объема V2 = 20 л. Определить работу, совершенную газом при расширении, и количество сообщенной газу теплоты.
Задача 8.7. Один моль кислорода нагревается при постоянном объеме от температуры t0 = 0 °C . Какое количество теплоты Q необходимо
сообщить кислороду, чтобы его давление увеличилось в три раза? Удельная
52
теплоемкость кислорода при постоянном объеме cV = 657 Дж/(кг К) , его молярная масса M = 0,032 кг/моль.
Задача 8.8. Воздух массы m = 5 г нагревается при постоянном давлении от температуры T0 = 290 К. Какое количество теплоты Q необходимо сообщить воздуху, чтобы его объем увеличился в два раза? Считать, что
удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении равна |
cp = |
=1,018 кДж/(кг К) . |
|
Задача 8.9. Двухатомный газ, находящийся при давлении |
p1 = |
= 2 МПа и температуре t1 = 27 °C , сжимается адиабатически от объема V1 до V2 = 0,5V1 . Найти температуру и давление газа после сжатия.
Задача 8.10. Давление некоторого газа изменяется с объемом V по закону p = p0 exp[−α(V −V0 )] . Найти работу, совершаемую газом при расширении от V1 до 2V1 .
Задача 8.11. Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура нагревателя в n раз превышает температуру холодильника (T1 = nT2 ). Ка-
кую долю теплоты, получаемой за один цикл от нагревателя, газ отдает холодильнику?
Задача 8.12. Идеальная холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, совершает работу за один цикл A = 37 кДж. При
этом она забирает теплоту от тела с температурой T2 = 263 К и передает ее телу с температурой T1 = 290 К. Найти КПД цикла, количество теплоты Q2 , отнятое у первого тела, и количество теплоты Q1 , переданное второму телу за один цикл.
Задача 8.13. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего сгорания газ сжимается политропически так, что после сжатия температура газа становится равной T2 = 700 К. Начальная температура газа T1 = 413 К.
Степень сжатия V1 /V2 = 5,8 . Найти показатель политропы n .
53
Ответы
Кинематика поступательного и вращательного движения
1.5.t =10 c, < v >= 45 м/с, < a >=11м/c2 .
1.6.< v >= 48 км/ч.
1.7.< v >= 50 км/ч.
1.8.а) v = 3 м/с; б) v =1 м/с; в) v = 2,24 м/с.
1.9.u = 0,6 м/с, t = 250 с.
1.10.v = 2,65 м/с, β = 41°, S = 79 м.
1.11.а) t = 8,4 с; б) t = 7,3 с; в) t = 7,8 с.
1.12.t = nτ = 5,45 с, h =145,5 с.
1.13. а) L = v02 sin 2α/ g ; |
б) |
H = v02 sin 2 α/ 2g ; |
в) tп = v0 sin α/ g , |
|||||||||||||
τ = 2v0 sin α/ g ; |
г) y(x) = x tg x − g x2 /(2v02 cos2 α) . |
|||||||||||||||
1.14. h1 / h2 =1/ 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.15. u = |
v |
0 |
cos α |
|
+ |
1− |
|
2gh |
|
|
, |
v |
|
sin α ≥ |
2gh . |
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
0 |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
sin |
α |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
v0 |
|
|
|
|
|
|
|
1.16.xn = 8nhsin α .
1.17.t = 2( 2gh +u) / g .
1.18.v = 267 м/с, ω = 4 10−5 рад/с.
1.19.а) < ω >= 4 рад/c , < β >= 6 рад/c2 ; б) β = 4 рад/c2 .
1.20. а) |
ω =15 рад/c ; |
б) v =1,5 м/с; в) aτ =1,6 м/c2 , an = 22,5 м/c2 ; |
г) |
a = 22,6 м/c2 ; |
д) α = 4° . |
1.21. xA = R(1−cos ϕ) = R(1−cos ωt) , yA = R(ϕ−sin ϕ) = R(ωt −sin ωt) .
1.22. |
h |
= R + |
v |
2 |
+ |
gR2 |
, (cos ϕ) |
hmax |
= − |
Rg |
. |
||
2g |
2v2 |
v2 |
|||||||||||
|
max |
|
|
|
|
|
|
||||||
1.23. β = πn2 / N = 4,7 рад/c2 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Динамика поступательного движения |
||||||||||
2.3. |
a = −0,25 м/c2 , F = −0,25 H , |
p = 0,14 кг м/c . |
|||||||||||
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. |
a = 60 м/c2 , F = 60 H . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m −M (k |
−k |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.5. |
|
|
|
|
|
g |
1 |
|
|
|
|
, m > M (k |
+ k |
), |
a =1м/c2 . |
||||||||||
|
|
|
|
m + 2M |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a = a1 = a2 = a3 = |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m ≤ M (k1 +k2 ); |
|
|
||||||
2.6. а) |
m1 |
|
> k cos α+sin α; б) |
m1 |
< sin α −k cos α . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
m2 |
m2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
F cos α −k(mg − F sin α) |
, F |
> |
|
|
|
|
kmg |
|
, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
cos α+ k sin α |
|
|
|
|
|||||||||||
2.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kmg |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0, |
|
|
|
|
0 ≤ F ≤ |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos α+k sin α |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.8. |
a |
= g |
4m1m3 −3m2m3 +m1m2 |
|
, |
a |
2 |
= g |
m1m2 −4m1m3 +m2m3 |
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
4m1m3 + m2m3 |
+ m1m2 |
|
|
|
|
|
|
|
4m1m3 +m2m3 +m1m2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a3 |
= g |
|
4m1m3 −3m1m2 +m2m3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4m1m3 + m2m3 +m1m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.9. k = v02 /(2Sg) = 0,01 .
2.10. |
v = v0 |
sin α −k cos α |
, ∆t = |
v |
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
sin α+ k cos α |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
. |
||||
|
|
|
g |
sin α+k cos α |
|
sin |
α−k |
cos |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
Законы сохранения импульса и энергии
3.3. При k = 0,3 для совершения наименьшей работы куб нужно кантовать.
При k < ( 2 −1) / 2 меньшую работу потребуется совершить, перемещая куб «волоком».
3.4.∆l = (m1 −m2 )l . M +m1 +m2
3.5.F∆t = 2,8 10−23 H c .
3.6.а) u = Mv /(M + m) ; б) u = (Mv −mw) /(M +m) .
3.7.Q / E = 0,5 .
3.8.h = 6,4 м.
3.9.h2 = h1 (tg α −k) /(tg α+k) .
3.10.a = g(2H / ∆l −1) =19g .
55
3.11. |
l = h |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
k(m + M ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.12. |
x = l |
T −3mg |
, при T ≥ 3mg . При T < mg нить оборвется раньше, чем |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T −mg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
достигнет гвоздя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.13. |
l = |
|
|
mv |
2h . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
m + M |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Динамика вращательного движения твердого тела |
||||||||||||||||||||||||||||
4.3. |
m = |
|
2(FR −M ) |
|
= 7,36 кг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
R2β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.4. |
β = 2,354 рад/c2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4.5. |
M =100 H м . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4.6. |
a = 2m g /(2m + m) = 3 м/c2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.7. |
a = |
|
2g(m1 −m2 ) |
= 2,8 м/c2 , |
|
T =14 H , T |
=12,6 H . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
m + 2(m1 +m2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4.8. |
a = |
|
|
mg sin α |
, |
a |
= 3,5 м/c2 , a |
2 |
= 3,27 м/c2 , |
a = 2,45 м/c2 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
m + I / R2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4.9. |
S = 4,1 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.10. |
ω =14 рад/c , v1 =1,05 м/c , v2 = 2,1м/c . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4.11. |
α = 81°22′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4.12. |
F ≥ mg |
h(2R −h) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R −h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.13. |
α = arctg |
1−k1k2 |
, |
N |
1 |
= |
|
|
mg |
|
|
, N |
2 |
= |
|
|
k1mg |
. |
|||||||||||
|
1 |
+ k k |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
2 |
|
|
+ k k |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
4.14. T = mg / cos α, |
N = mg tg α . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинематика и динамика гармонических колебаний
5.3.vm = 0,094 м/c , am = 0,29 м/c2 , ϕ =17,3 рад.
5.4.T = 0,64 с, ν =1,57 Гц, x(0) = 2,08 м, v(0) =1,88 м/с, v(10) =1,88 м/с, a(10) = 5,13 м/c2 .
56
5.5. x(t) = π3 cos 2πt .
5.6. ϕ0 = 54° , ν = 0,74 Гц, x = Acos(ωt +ϕ0 ) , y = Asin(ωt +ϕ0 ) , где
A= 5,16 м.
5.7.x = FA2 / 2W =1,5 см.
5.8.Уменьшится в 2 раза.
5.9.m = 200 г.
5.10.ν =1,3 Гц.
5.11. ν = |
1 |
|
2g . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2π |
|
3R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.12. A = 4,6 см, |
ϕ0 = 62°46′. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
A T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.13. |
A = |
|
п 0 |
|
|
= 4,76 см. |
|
|
|
|
|
|
||
T 2 −T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Волны. Звуковые волны |
|
|
|
|||
6.3. |
v = 350 м/с, |
vmax = 0,785 м/с. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
π |
|
|
|
πx |
|
|
π |
|
|
π |
|
6.4. |
ξ = sin |
|
t − |
|
|
|
см, ξ(l = 600) |
= −sin |
|
t , ξ(t = 4) |
= −sin |
|
x . |
|
2 |
|
|
6 104 |
2 |
600 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.5.∆ϕ = 4π – точки колеблются в одинаковых фазах.
6.6.λ = 0,78 м
6.7.От λ1 =17 мм до λ2 =17 м.
6.8.h =1816 м.
6.9.I1 / I2 =1000 .
6.10.I1 / I2 =1,26 .
6.11. а) ν′ = 666 Гц; |
б) ν′ = 542 Гц. |
|||||||||
6.12. В 4 раза. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
m1M 2 |
|
Уравнение состояния газа |
||||
7.3. |
η = |
|
|
|
|
= 0,8 . |
||||
m M |
2 |
+ m |
M |
1 |
||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||
7.4. |
p = |
p1V1 + p2V2 + p3V3 |
. |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
V1 +V2 +V3 |
57
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
p2 |
|
|
p1 |
|
|
|
23 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7.5. |
∆N = N A |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= 8,6 10 |
|
. |
|||||||||||
R |
T |
T |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
7.6. |
m |
2 |
= m + |
pV |
|
(M |
He |
−M |
). |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
RT |
|
|
|
|
|
|
|
|
H2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
2 p0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.7. |
h = |
|
|
= 20 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ρg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.8. |
t = |
4V ( p − p0 )τ |
= 46 с. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
πd 2hp0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.9. |
T =T 2 / T . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.10. |
M = |
|
|
|
|
m1 +m2 |
|
|
|
|
|
= 4,6 10−3 кг/моль, V =11,7 л. |
|||||||||||||
m |
|
|
|
/ M |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
/ M |
1 |
|
+m |
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.11.n = 4,2 1022 м−3 .
7.12.В 1,44 107 раза.
Первое начало термодинамики
8.3.Q = 7,92 кДж, ∆U = 5,66 кДж, A = 2,26 кДж.
8.4.∆U =1 кДж.
8.5.Q =10,4 Дж, ∆h = 2,7 см.
8.6.A = Q =1,4 кДж.
8.7.Q = 2cV MT0 =11,5 кДж.
8.8.Q = mcpT0 =1,48 кДж.
8.9.t2 =123 °C , p2 = 5,28 МПа.
8.10.A = αp (1−e−αV1 ).
8.11.Q2 / Q1 =1/ n .
8.12.η = 0,093 , Q2 = 360 кДж, Q1 = 397 кДж.
8.13.n =1,3 .
58 |
59 |