Кванты лекции 2 семестр

		x iy			3	m	sin e	i	m	d (6)
n l m				nlm	Rnl Rn l r	dr l			l
					0

При вычислении учтем рекуррентное соотношение для шаровых функций

	m		m		m
	cos l	A l 1		B l 1
	sin e i m A m 1				B m 1		(7)
		l		l 1		l 1

A

l 1 m l 1 m

2l 1 2l 3

B

l m l m

(8)

2l 1 2l 1

A

l 2 m l 1 m

2l 1 2l 3

B

l

m l 1

m

2l 1 2l

1

In ln l Rn l ( r )Rn l ( r )r3dr (9)

0

A l ,l 1

B l ,l 1 m ,m

z

nlm

Inln l

(10)

n l m

x

iy

nlm I

A

B

n l m

nln l

l ,l 1

l ,l 1

m ,m 1

Отсюда получим правила отбора.

Правило отбора, которое соответствуют колебаниям вдоль оси z

		m 0		l	1
	a ) m m		l l
	б )x iy,	m 1,	l 1
					(11)
	в )x iy,	m 1,	l 1

Таким образом, разрешен будут только те переходы, для которых изменение магнитного квантового числа m 0, 1, орбитального квантового числа l 1 (12) Необходимо показать, что интеграл In ln l ни при каких числах m и l 0 , таким образом

главное квантовое число может меняться произвольно Правила отбора (12) показывают, что оптические переходы для дипольного излучения

возможны лишь между состояниями, являющимися соседними в отношении изменения орбитального квантового числа

l=0 s l=1 p l=2 d l=3 f

Оптические переходы совершаются между соседними уровнями, квантовая механика дает объяснение этому факту

Дадим правило отбора для квадрупольного излучения

- 21 -

Вычислим матричный элемент квадрупольного момента M n l m Qr c p nlm . Все это

сводится к вычислению следующих матричных элементов

M n l m xy nlm , M n l m yz nlm , M n l m xz nlm

m 0, 1, 2 l 2

При движении в поле центральных сил четность волновой функции определяется орбитальным квантовым числом l, поэтому дипольные переходы только с изменением четности, квадрупольне без изменения четности

Релятивистская квантовая механика

Элементарные частицы в квантовой механике. Уравнение Клейна-Гордона. Релятивистское уравнение для частицы с нулевым спином

В настоящее время известно очень большое число элементарных частиц. Будем считать, что ЭЧ характеризуется определенным значением массы покоя и могут быть либо нейтральными либо электрически заряженными. Абсолютная величина электрического заряда частиц равна заряду электрона. ЭЧ могут иметь целый или полуцелый спин.

Согласно современным представлениям взаимодействие между частицами одного типа

передается с помощью частиц другого типа заряженных нейтрально. -мезоны передают ядерное взаимодействие между нуклонами. Теряет смысл понятие изолированной частицы того или иного вида. Свободное движение –грубая идеализация действительности. Теряет смысл также представление о неизменности числа частиц.

Описание явлений, происходящих при больших энергиях должно базироваться на уравнениях, инвариантных относительно преобразований Лоренца. Переход от нерелятивистского описания к релятивистскому связан с тем, что нерелятивистская квантовая теория допускает возможность как угодно точной локализации частицы в пространстве и времени. В релятивистской теории одной частицы невозможно локализовать частицы в пространстве, линейные размеры которой

меньше		. В силу соотношения неопределенностей Гейзенберга частице будет сообщена
	4 c
энергия	p2	2	c2 , достаточная для рождения двух частиц. Таки образом, представления об
	2 0	0

одной частице можно сохранить только при отсутствии внешних взаимодействий, приводящих к локализации частицы в пространстве.

Понятие координаты в общем смысле отсутствует. Если имеется не определенность в

определении координаты x 4 c то неизбежна неопределенность во времени

	t	x			. Поэтому в релятивистской теории понятие плотности вероятности
		c		4 c2

определения положения частицы в определенный момент времени требует существенного пересмотра

t -промежуток времени, в течении которого реализуется движение

p x x c t p x c t

- 22 -

импульс не меняется с течением времени

t

в случае свободного движения частиц

p 0

Поэтому для свободного движения частицы когда ее импульс не меняется с течением времени составляющие движения описываются волновыми пакетами имеет с смысл введение плотности вероятности определенного значения импульса для свободного движения частицы когда

p , то есть удобно использовать импульсное

представление Волновое УШ, соответствующее нерелятивистской связи между энергией и импульсом частицы массой

				2
i					2 U( r ) (1)
	t			2

E

p2

U( r ) (2)

2 0

Уравнение (1) можно получить формальным путем из (2) с помощью преобразования если

E i

p i

(3)

t

Чтобы получить волновое уравнение для движения частиц с релятивистскими скоростями,

нужно исходить из релятивистской связи между энергией и импульсом

E2

p2 c2

(4)

c2

2

2

2

2

2

2

c

c

2

t

2

При наличии электромагнитного поля мы энергию должны заменить на E i

eФ ,

t

p i

e

A (6)

c

2

e

2

1

i

i

Сделав эту замену, получим

eФ

A

2c2

(7)

2

c

t

c

0

Вернемся к уравнению Клейна-Гордона (5). Инвариантность проявляется более ярко, если

ввести четырехмерный вектор импульса

iE

p

px , py , px

,

(8)

c

Соотношение между энергией и импульсом релятивистской теории Эйнштейна

4

p2

2c2 (9)

1

Соответствующий переход к операторам имеет вид

p

p

i

,

x

x, y,z,ict (10)

x

4

p2

2c2

0 (11)

1

- 23 -

Запишем аналитическое уравнение для комплексно-сопряженных функций

2 2

*

2 2

2

2

*

c

(5’)

c

2

t

2

Совершим операцию * ( 5 ) ( 5')

1

2

2 *

*

* 2 2 *

c2

t2

t2

1

*

*

*

*

grad

0 (12)

2

c

t

t

t

div grad

Если мы теперь определим плотность заряда и плотность тока в виде

j

ie
		*			*
2 c	2		t	t

2
ie
	* *



(13)

Увидим что выполняется условие непрерывности

div j 0 (14)t

Уравнение непрерывности, которое имеет релятивистски инвариантную форму. Введем четырехмерный вектор плотности тока jn jx , jy , jz ,ic (15)

4 jn 0 (16)

n 1 xn

Из релятивистского уравнения Клейна-Гордона к УШ переходят с помощью унитарного преобразования

,t ,t exp i c2t

(17)

2		2
		t2 2i					t	2 2
c2
	2		2					2
			t2 i							2 (18)
2 c2							t		2
					2
i						2 (19)
		t		2

Подставляя (17), (13) и (14) получим

c *

j	ie	* *
	2

Особенность уравнения Клейна-Гордона – это дифференциальное уравнение второго порядка относительно времени, поэтому для определения изменения ВФ с течением времени нужно

знать значение ВФ и ее производной в начальный момент времени ,

t

- 24 -

Возьмем производную и подставим в выражение для плотности заряда. Можем получить что

e

может принимать любые , , 0 значения. Но плотность вероятности сугубо положительная

величина, поэтому нельзя интерпретировать как плотность вероятности. Эта трудность была

e

причиной того, что это уравнение было непризнанно. Впоследствии выяснилось, что уравнение

описывает частицы с нулевым спином: фотоны, -мезоны. В микромире имеется возможность рождения и уничтожения частиц. Общее число частиц изменяется, поэтому в процессе движения нельзя проследить за одной частицей, однако величина суммарного заряда сохраняется, поэтому вместо плотности вероятности удобно рассматривать плотн ость вероятности электрического заряда. Множество определено знаком соответствующей

частицы. Из уравнения непрерывности следует закон сохранения суммарного заряда

d const . Плотность заряда – разность между числом положительных и отрицательных

зарядов, поэтому не является положительно определенной величиной. Уравнение КлейнаГордона не имеет вероятностную интерпретацию в смысле УШ.

Уравнение Дирака

1. e нельзя интерпретировать как плотность вероятности нахождения частицы, эта величина определяется не только начальным зарядом ВФ но и начальными значениями производной

2.Релятивистское УШ должно содержать первые производные ВФ по координате

3.Принцип суперпозиции состояний. Волновое уравнении должно быть линейным

На основе этих соображений для описания движения свободной частицы Дираком было сформулировано следующее уравнение

i

p

p

p

(1)

t

x

x

y

y

z

z

0

H x px y p y z pz 0 (2)

iH (3)

t

Оно имеет полное, хотя и формальное, сходство с УШ. Чтобы H был оператор гамильтона, необходимо чтобы для него существовало такое же соотношение как для энергии и импульса в релятивистской теории

E2 p2c2 c4

H 2 c2 p2x p2y p2z 2c4 (4)

H 2 x p2x y p2y z p2z 02 x y y x px p y x z z x px pz

y z z y p y pz x 0 0 x px y 0 0 y p y z 0 0 z pz (5)2x 2y 2z c2

- 25 -

2	2	2		2
x	y	z	c
2	2c4
0					(6)
k	j j k
			0		j k x, y,z

k 0 0 k 0
	k	c k		0	c2		(7)
k j j k 0
							(8)
x y z 2
				1

j j 0

i

c x px

2

t

y p y z pz c

(9)

x i y j z k

(10)

iHt

H c p 0c2 (11)

Заметим, что действие тех операторов не могут сводиться к умножению ВФ на некоторые числа. С помощью операторов, сводящихся к случайным числам невозможно было бы сводить к этим соотношениям. Но существует определенный класс операторов, который представляет собой числа, но удовлетворяет соотношением. Это матрицы. Будем искать среди квадратичных матриц

		a	a	...	a
		11	12		1n
		a21	a22	...	...		(13) В общем случае это комплексные числа. Определим число n.
	j
		... ...		...	...
		an1	an2	...	ann

Будем считать что все матрицы одинакового порядка. Сопоставим этим матрицам определитель

			a11	a12	...	a1n
	det j		a21	a22 ... ...			Прежде всего отметим свойства матриц
			... ... ... ...
			an1	an2	...	ann

det , det det (14)j j I j (15)

det j det j det det I det det j (16)

det I 1

Если n=2 то матрицы второго порядка. Пример двухрядных матриц = матрицы Паули

1

j j

- 26 -

													1						1		Sp (17)
Sp Sp Sp j j														Sp j j
Sp 0				Sp j			0 (18)
	0		0		0	1				0 0					0 i					0			0 1	0		1		0	0	0
x		0	0		1	0		y			0 0				i	0		z				0	0 0	1			0	1	0	0
		0	1		0	0					0		i		0 0							1	0 0	0			0	0	1	0
		1	0		0	0				i			0		0 0							0	1 0	0			0	0	0	1
(19)
x		0				y		0						z		0							I	0
		x			x				y			y							z						(20)
				0							0					z		0					0	I
x		0 1			y		0		i		z			1		0
		1 0							0						0			(21)
							i									1

(22)

k k

k S k S 1

(23)

SpS 1

Где S унитарная матрица S S I . Также удовлетворяют соотношениям антикоммутации а также их квадрат равен I. Причем необходимо отметить, что все физические следствия

удовлетворяют уравнениям Дирака и не зависят от набора матриц. Так как матрицы и четвертого порядка, ВФ должна быть четырехкомпонентной. Запишем в виде столбца

		1
		2					*		*		*		*
									2		3		4
							1
		3
	4

Тогда уравнение Дирака (матричное) будет эквивалентно четырем уравнениям

		1
	i	t
		2
	i
		t
		3
	i
		t
		4
	i	t

c	p			i p			p		c2
		x			y 4		z	3		1
c	p			i p			p		c2
			x			y 3	z	4		2
										(25)
c	p			i p			p		c2
			x			y 2	z	1		3
c	p			i p			p		c2
			x			y 1	z	2		4

Для того чтобы записать уравнение Дирака, описывающее движение заряженной частицы во внешнем электрическом поле, необходимо оператор импульса p заменить на канонический

оператор p p ce A. Тогда справа умножится на скалярный потенциал e

- 27 -

e

2

i

c

p

A

e c

(26)

t

c

Вернемся к уравнению Дирака для частицы, движущейся свободно

i

c p

2

c

(9)

t

0

i

c p

c2 (9’)

t

Произведем действие ( 9 ) ( 9')

c

t

t

c div

0 (27)

t

То есть мы пришли к уравнению непрерывности. - плотность вероятности положения частицы в той или иной точке пространства, так как сугубо положительная величина

		1		1	2	2	3	3	4	4
											(28)
j c плотность потока вероятности

Таким образом, как и в теории Шредингера ВФ допускает обычную вероятностную интерпретацию, а если так, то значит остаются в силе все основные положения квантовой механики

1.Интерпретация величины Cm( t ) 2 , где Cm( t ) коэффициент разложения ВФ в ряд по СФ некоторого самосопряженного оператора Cm( t ) m

2.Определение среднего значения L * L d

вся схема построения квантовой механики справедлива для уравнения Дирака, то есть Дирак получил уравнения, которые не противоречили основным положениям квантовой механики

Решение уравнения Дирака для свободных частиц

В качестве простого примера рассмотрим движение свободной частицы описывающееся следующим уравнением

i				c p			2			(1)
							c
	t			0

В стационарном состоянии зависимость ВФ от времени рассматривается в виде
		,t		exp iEt	(2)
	r		r
Подставим в уравнение (1) и получим E							c		p c2 (3)
						r

Далее будем рассматривать состояние с определенным значением импульса. В этом случае решение уравнения (3) будем искать в виде r Uei pr (4). Подставляя в (3) получим

следующее EU c p c2 U (5)

- 28 -

	U1
U	U2					(6) четырехкомпонентная функция, представленная в виде двух компонент
	U3
	U4
	U	1				U	3
	U2					U4

c2 E c p 0

(7)

c p c2 E 0

Такое представление обычно называют приближением Паули. Мы получили в итоге систему двух алгебраических однородных уравнений с двумя неизвестными. Очевидно оно имеет решение, когда определитель будет равен нулю

c2 E			c p			0 (8)
			c2 E
c p

E2 2c4 c2 p 2 (9)

- матрицы Паули

A B AB i A B (10)

А и В – два произвольных оператора, коммутирующий с оператором

E2 2c4 p2c2	E E	p	(11)

Ep c p2 2c2 (12)

Этим двум значениям энергии соответствуют два типа решений уравнений Дирака. Величине энергии Ep соответствует решение, которое мы будем называть положительным решением

уравнения Дирака для свободного движения частицы, а решение - Ep отрицательным решением уравнения Дирака

E Ep

1 (13)

Подставляя это решение в систему уравнений (7) мы можем выразить через

		c p					(14)
		c2 E

не зависит от координат, двухкомпонентная функция, спиновая функция, спинор Дирака. Произвольная функция

Спиновую функцию на которую действует оператор можно нормировать следующим образом

* u1*u1 u*2u2 1 (15)

Тогда функция Дирака соответствующая состоянию с определенным значением импульса p , энергией E и значением энергии будет иметь вид

- 29 -

	p N	c p
		c	2	E

exp i pr
								(16)
	2				3
							2

N – нормировочный множитель, который находится из условия нормировки

*

( r )

( r )d

p

p

p p (17)

N

c2

E

0

2 Ep

Рассмотрим положительные решения

1

E E

p

и перейдем к нерелятивистскому пределу, то есть E

c2

E c2

E , где E кинетическая энергия

E

c

2

E

v

2

c

2

c

В этом случае из (14) мы видим

c p

p

v

(19)

2 c2 E

2 c

c

Спинор значительно меньше спинора в отношении

v

. Таким образом при малых

c

скоростях v

c две из четырех компонент ВФ станут малыми по сравнению с двумя другими.

Поэтому в связи с этим 1 и 2 называются большими функциями, а 3 и 4 малыми

функциями, но это только для положительных решений

Для состояний с отрицательной энергией E Ep которые соответствуют отрицательному

решению 1

c p

p

v

(20)

c2 E

2 c

c

Таким образом 1

и 2

становятся малыми функциями, а 3 и 4

большими так как

.

Таким образом при переходе к релятивистскому приближению две компоненты ВФ становятся малыми по сравнению с другими компонентами при этом для + , а при - . Общее

решение уравнения Дирака можно записать в виде суперпозиции ВФ. Состояния с определенным значением импульса могут различаться значением еще одной физической величины, обусловленной наличием спина у электрона

										0
	p											(21) (матрица 4 порядка)
2								0

Этот оператор коммутирует с оператором Гамильтона свободного движения частиц соответствующая ей физическая величина будет являться интегралом движения. Поскольку при свободном движении частицы импульс является интегралом движения, то отсюда интегралом

- 30 -