Алгебра лекции 1 семестр

α11 X1 + α12 X2 + …+ α1N XN = 0,
α21 X1 + α22 X2 + …+ α2N XN = 0,	(III)
αK1 X1 + αK 2 X2 + …+ αKN XN = 0.
ЗАМЕЧАНИЕ. Множество M всех решений однородной СЛУ не пусто,
так как упорядоченная n-ка (0; 0; …;	0) является её решением.
ТЕОРЕМА 25. Множество M всех решений однородной системы
линейных уравнений является подпространством арифметического
векторного пространства PN .	. По определению
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По замечанию выше M
множества M имеем M PN . Осталось проверить условия из
определения подпространства.
1) Пусть B, C M . Тогда

b = ( β1; β2; …; βN ) , C = (γ1; γ2; …; γN )

и для всех I = 1, 2,…, K выполняются равенства:

иαI 1 β1 + αI 2 β2 + …+ αI N βN = 0

αI 1 γ1 + αI 2 γ2 + …+ αI N γN = 0 .

Складывая почленно два этих равенства, получаем верное равенство:

αI1 ( β1 + γ1) + αI 2 ( β2 + γ2 ) + …+ αI N ( βN + γN ) = 0 ,

т.е. вектор (α1 + β1; α2 + β2;		…; αN + βN ) = A + B M , так как
является решением каждого уравнения системы (III).
2) Пусть α P и B = ( β1;	β2;	…; βN ) M , т.е. для всех I = 1, 2,…, K
верно равенство:	βN	= 0 .
αI 1 β1 + αI 2 β2 + …+ αI N
Умножая обе части этого равенства на α и переставляя скобки,
получаем
αI 1 (α β1) + αI 2 (α β2 ) + …+ αI N (α βN ) = 0 ,
т.е. упорядоченная n-ка	(α β1; α β2; …; α βN ) = α B является
решением каждого уравнения системы (III). Следовательно, α B			M .
Из доказанных свойств 1) и 2) следует, что M – подпространство

арифметического векторного пространства PN .▲

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаментальной системой решений (сокращённо ФСР) однородной системы линейных уравнений называется базис подпространства M её решений.

ЗАМЕЧАНИЕ. По теореме 24, если M ≠ θ } , то M имеет базис и,

следовательно, система (III) имеет ФСР. Согласно определению базиса каждое решение системы (III) является линейной комбинацией векторов ФСР.

Алгоритм построения ФСР

Пусть M ≠ θ } , т.е. СЛУ (III) имеет ненулевое решение. Тогда

по теоремам 18 и 19 она приводится к равносильной однородной полностью преобразованной системе, имеющей свободные (независимые) неизвестные. Не теряя общности можно считать, что первые r неизвестных в ППС – зависимые, а последние (N − R ) – свободные. В этом случае общее решение

системы (III) будет иметь вид:

51

		X1	= γ1R +1		XR +1	+ …+ γ1N		XN ,
		X2	= γ2R +1		XR +1	+ …	+ γ2N	XN	,	(А)
		…………………………………
		XR	= γR R +1		XR +1	+ …	+ γR N XN .
		Найдём частные решения системы (А), придавая
		последовательно значение 1 одной из независимых
		неизвестных, а 0 – всем остальным. Затем находим значения
		зависимых неизвестных. Эти частные решения удобно
		записывать в таблице:
X1	X2	…		XR		XR +1	XR +2		…	XN
γ1R +1 γ 2R +1		…		γR R +1		1	0		…	0
γ1R +2 γ 2R +2		…		γR R +2		0	1		… 0
…	…	…		…		…	…		…	…
γ1N	γ 2N	…		γR N		0	0		…	1

								векторов:
При этом получим последовательность из (N − R )
		= (	γ1R +1; γ2R +1; …;		γR R +1; 1; 0;	…; 0) ,
C1									(Б)
		(		γ2R +2; …;	γR R +2; 0; 1;	…; 0	)	,
C2		=	γ1R +2;
		(					)
	…………………………………………………………
CN −R =			γ1N ;	γ2N ; …;	γR N ; 0; 0; …; 1 .

ТЕОРЕМА 26. Последовательность векторов (Б) является
фундаментальной системой решений системы (III).
В силу выбора последних N − R компонент последовательности
(Б) легко доказать, что она линейно независима.
Действительно,
X1 C1 + X2 C2 + …+ XN −R CN −R = θ
(X1 γ1R +1 + X2 γ1R +2 + …+ XN −R γ1N ; X1, X2,..., XN −R ) =
= (0; 0; …; 0) .							= X2 = … = XN −R = 0 , т.е.
Из этого равенства следует, что X1
однородное векторное уравнение для последовательности
векторов (Б) имеет только нулевое решение. Значит,
последовательность (Б) линейно независима. Заметим, что все
векторы CI		M .
Докажем, что каждый вектор из M является линейной
комбинацией векторов из (Б). Пусть A M ,
A = (α1; α2;			…;	αN ) , и a является решением системы (III), а
значит и равносильной ей системы (А). Поэтому
α1	= γ1R +1		αR +1	+ γ1R +2	αR +2	+ …+	γ1N αN ,
α2	= γ2R +1		αR +1	+ γ2R +2	αR +2	+ …+	γ2N α N ,

αR = γR R +1	αR +1 + γR R +2 αR +2 + …+ γR N α N ,
Но тогда A	= αR +1 C1 + αR +2 C2 + …+ αN CN −R , т.е. любое решение

СЛУ (III) является линейной комбинацией векторов

Б = c1; c2; …; cN −R . Следовательно, Б – базис

подпространства решений M, т.е. ФСР системы (III).▲

ПРИМЕР. Найти ФСР однородной системы

52

		− 2X2		+ X3	− X4	= 0,
	X1
	− X1	+	X2	− 2X3	+ X4	= 0,
				− 3X3 + X4 = 0.
− X1

Находим общее решение заданной однородной СЛУ:

	0	0	0	0		0			0	1	1	0		0
		1	1 0
0					0				−1 0 −3			1		.
	−1	0	−3	1		0								0
Тогда ППС, равносильная исходной, и общее решение имеют
вид:									X2 =		−
	X2 +X3			= 0,								X3	.
										= X1	+	3X3
		− 3X3	+ X4 = 0						X4
−X1

Так как общее решение имеет два независимых неизвестных, то и в ФСР будет два вектора. Записываем последовательное построение таблицы для нахождения ФСР:

Поэтому	C1	= 1; 0;	0; 1 , C2 =	(	0;	−1; 1; 3	)	образуют ФСР
		(	)

исходной системы и M = {λ1C1 + λ2C2 | λ1,λ2 }.

§4. Ранги матрицы, их применение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Строчечным рангом ненулевой матрицы A K ×N

называется количество векторов в базисе последовательности её строк, рассматриваемых как арифметические вектор-строки. Столбцовым рангом ненулевой матрицы A K ×N называется

количество векторов в базисе последовательности её столбцов, рассматриваемых как арифметические вектор-столбцы. Столбцовый и строчечный ранги нулевой матрицы полагаются равными нулю.

ОБОЗНАЧЕНИЕ. R ( A) – строчечный, ρ( A) – столбцовый ранги матрицы

A.

ЗАМЕЧАНИЯ. Для произвольной матрицы A K ×N выполняются

следующие соотношения:

0 ≤R ( A) ≤K, 0 ≤ ρ( A) ≤N .

Если матрица A ненулевая, то

R ( A) > 0, ρ( A) > 0 и R (AT ) = ρ( A), ρ(AT ) = R ( A ) .

Из определения строчечного и столбцового рангов матрицы и алгоритма нахождения базиса последовательности арифметических векторов следует, что столбцовый ранг матрицы A равен количеству ведущих коэффициентов конечной матрицы, которая получается из матрицы A при помощи элементарных преобразований строк. А строчечный ранг - числу ведущих коэффициентов конечной матрицы, полученной из AT .

53

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подматрицей матрицы A = Ak ×n = (αi j ) порядка s, где

1 ≤S ≤ MIN (K;N ) , называется любая матрица, которая получается из A после вычеркивания (K − S ) её строк и (N − S ) её столбцов. Она имеет

размерность S ×S . Определитель подматрицы s-го порядка

называется минором s-го порядка матрицы A.

Минорным рангом матрицы называется наибольший из порядков её ненулевых миноров. Минорный ранг обозначим через M ( A) .

ЗАМЕЧАНИЕ. Из свойств определителей следует, что минорный ранг матрицы не изменяется при удалении нулевой строки, умножении

любой строки на ненулевой скаляр и M ( A) = M (AT ).

ТЕОРЕМА 27. Минорный ранг матрицы не уменьшается, если к её i- той строке прибавить j-тую строку, умноженную на произвольный скаляр.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для нулевой матрицы утверждение теоремы верно. Пусть A = Ak ×n = (αi j ) - ненулевая матрица, M ( A) = S и - ненулевой

минор s-того порядка. Минорный ранг может уменьшиться только в

том случае, если к i-той строке, часть которой входит в ,

прибавляется j-тая строка, которая не входит в

, умноженная на

λ ≠ 0. Если

A( P )

=

...

, где

A

(t ) - часть строки

A

(t ) , входящая в

, то

A(I )

...

A(R )

A( P )

A( P )

...

...

1 =

A(I ) + λ A( J )

= + λ

A( J )

= + λ 2.

...

...

Так

как

A(R )

≠ 0 и

A(R )

то

≠ 0, λ

1

= 0,

2 ≠ 0.

Но тогда в полученной после преобразования матрице найдётся

ненулевой минор s-того порядка. А именно, из

1

нужно удалить

строку A(i ) + λ A( j ) и включить вместо неё j-тую строку. Этот минор

равенравен s.2 или − 2 , следовательно, он не равен нулю и его порядок

Таким образом, после прибавления к i-той строке матрицы её j-той

строки, умноженной на произвольный скаляр, её минорный ранг

уменьшиться не может.

ТЕОРЕМА 28. Минорный ранг матрицы не увеличится, если к её i-той

строке прибавить j-тую строку, умноженную на произвольный

скаляр.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для нулевой матрицы утверждение теоремы верно.

Пусть A = Ak ×n = (αi j )

- ненулевая матрица, M ( A) = S и после

прибавления к i-той строке матрицы её j-той строки, умноженной на ненулевой скаляр λ (иначе матрица не изменится), получился ненулевой минор S +1 -того порядка. Тогда этот минор имеет вид

54

A( P )

...

= A(I ) + λ A( J ) ≠ 0.

...

A(R )

По свойствам определителя в этом случае имеем

A( P ) A( P )

	...				...
= A(I ) + λ A( J ) = 1 + λ 2.
	...				...
A(R )					A(R )
Если	2 = 0,				то	1 ≠ 0 и матрица A содержит ненулевой минор
порядка S +1, что противоречит условию M ( A) = S. Если 2 ≠ 0, то
исключая из					2 строку		A	( j ) на i-том месте и включая вместо неё
строку		A	( j )	на её месте, получим минор порядка S +1 , который равен
2 или − 2				. Следовательно этот минор не равен нулю и причём

является минором исходной матрицы A. Снова получилось противоречие с условием M ( A) = S.

Таким образом, после прибавления к i-той строке матрицы её j-той строки, умноженный на произвольный скаляр, её минорный ранг увеличиться не может.

ТЕОРЕМА 29. Минорный ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях её строк.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если одна матрица получается из другой при помощи n элементарных преобразований и при каждом элементарной преобразовании минорный ранг не изменяется, то, очевидно, минорные ранги первой и последней матриц совпадают. Строгое доказательство проводится индукцией по количеству элементарных преобразований.

ТЕОРЕМА 30. Минорный ранг матрицы равен её столбцовому и строчечному рангам, т.е. M ( A) = R (A) = ρ( A) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для нулевой матрицы утверждение теоремы верно. Приведём данную ненулевую матрицу A к конечной при помощи преобразований её строк модифицированным методом Гаусса. Минорный ранг конечной матрицы равен числу k ведущих элементов, т.к. в каждой строке есть ровно один ведущий коэффициент и нужно взять минор, составленный из k столбцов с ведущими коэффициентами. По теореме 29 минорный ранг исходной и конечной матрицы равны. Кроме того, столбцовый ранг исходной матрицы также равен k. В результате

M ( A) = ρ(A).

Кроме того, M ( A) = M (AT ), ρ(AT ) = R ( A). В результате

ρ( A) = M ( A) = M (AT ) = ρ(AT ) = R ( A).▲

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы A называется её столбцовый, строчечный или минорный ранги и обозначается через RANG A , т.е.

RANG A = M ( A) = R ( A) = ρ( A) .

Критерии совместности СЛУ и обратимости матрицы

ТЕОРЕМА 31 (Кронекера-Капелли или критерий совместности систем линейных уравнений). Система линейных уравнений (I)

совместна тогда и только тогда, когда ранг её расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.

55

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Напомним обычные обозначения и

равносильности:

α11

X1

+

…

+

α1N XN = β1,

α21

X1

+

…

+

α2N XN

= β2,

(I)

X1 + …+ αKN XN = βK ,

αK1

α11 … α1N

α11 … α1N

β1

β1

α21 … α2N

α21 … α2N

β2

β2

A =

A =

B =

… … … ,

… … … …

,

βK

или

αK1

… αKN

αK1 … αKN βK

1

2

N

) ) ,

1

2

N

B) ,

1 A

A = (A( )

A(

)

… A(

= (A( )2

A(

) … A(N )

(I ) A X = B X1

A( ) + X2 A(

) + …+ XN A( ) = B .

Если СЛУ (I) совместна, то существует упорядоченная n-ка

(γ1;

γ2;

…; γN ) , являющаяся её решением. Тогда

1

γ2 A(

2

) + …+ γN

A(

N

) = B

γ1 A( ) +

и последний столбец матрицы A

линейно выражается через

предыдущие столбцы, а, значит, и через их базис. Ввиду этого,

базис столбцов матрицы

A является базисом столбцов

матрицы A , т.е. ρ( A) = ρ(A

)

и RANG A = RANG A .

Если RANG A = RANG A

, то столбец B матрицы A

линейно

выражается через базис последовательности столбцов

матрицы

A (теорема 21, свойство 8), а значит, и через

последовательность всех столбцов матрицы

A. Поэтому

существуют коэффициенты

γ1, γ2,…, γN

такие, что

1

γ2 A(

2

) + …+ γN

A(

N

) = B ,

γ1 A( ) +

т.е. упорядоченная n-ка (γ1;

γ2; …; γN )

является решением

СЛУ (I) и эта система совместна.▲

ТЕОРЕМА

32 (критерий обратимости квадратных матриц).

Квадратная матрица

A

= AN ×N обратима тогда и только

тогда, когда выполняется одно из условий:

1)

A

≠ 0

;

2)

R ( A) = ρ( A) = M ( A) = RANG A = N .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ранее было доказано, что матрица A обратима

тогда и только тогда, когда

A

≠ 0 . Но

A

≠

0 M (A) = N . А

так как M ( A) = ρ(A) = R ( A) =

RANG A , то A обратима тогда и

только тогда, когда R

( A) = ρ( A) = RANG A = M

( A)

= N .▲

§5. Связь решений неоднородной системы с ФСР

ассоциированной однородной

Рассмотрим две СЛУ:

+ α1N XN

= β1,

α11

X1

+ α12

X2

+ …

α21

X1

+ α22

X2

+

…

+ α2N XN

=

β2,

(I)

αK1

X1

+ αK 2

X2

+

…

+ αK N XN

= βK ,

и

56

α11 X1 + α12 X2 + …+ α1N XN = 0,
α21 X1 + α22 X2 + …+ α2N XN = 0,			(III)
αK1 X1 + αK 2 X2 + …+ αKN XN = 0,
где однородная СЛУ (III) получена из (I) заменой столбца свободных
β1
β2
членов B =		на нулевой столбец.
	βK
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однородная СЛУ (III) называется однородной
ассоциированной системой для системы (I).

Обозначим через M1 множество всех решений СЛУ (I), M2 –
множество всех решений однородной ассоциированной СЛУ (III).
ТЕОРЕМА 33 (о связи решений неоднородной системы с ФСР
ассоциированной однородной системы).
1) Если B, A M1, то B − A M2 .
2) Если a M1, Б = c1; c2; …; cR – ФСР системы (III), то любое
решение b системы (I) есть сумма вектора a и некоторой линейной
комбинации векторов ФСР:
B = A + γ1 C1 + γ2 C2 + …+ γR CR , γ1, γ2,…, γR P .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
1) Пусть A = (α1; α2; ...; αN ), B = (δ1; δ2; ...; δN ) M1 - два решения
системы (I). Тогда для всех I = 1,2,…,K выполняются равенства:
иαI1 δ1 + αI 2 δ2 + …+ αI N δN = βI
αI1 α1 + αI 2 α2 + …+ αI N	αN = βI .
Для каждого I = 1, 2,…, K	вычтем из первого равенства второе и
получим равенство:
αI1 (δ1 − α1) + αI 2 (δ2 − α2 ) + …+ αI N (δN − αN ) = 0 ,

т.е. упорядоченная n-ка B − A = (δ1 − α1; δ2 − α2 ;...; δN − αN ;) является

решением каждого уравнения системы (III), а значит, B − A M2 . 2) Зафиксируем решение a системы (I), и пусть b –произвольное её решение. Тогда B − A M2 , т.е. B − A - решение системы (III), и,

следовательно, является линейной комбинацией векторов ФСР этой системы. Поэтому существуют коэффициенты γ1, γ2,…, γR Б такие,

что

B − A = γ1 C1 + γ2 C2 + …+ γR CR ,

откуда

B = A + γ1 C1 + γ2 C2 + …+ γR CR . ▲

ЗАМЕЧАНИЕ. Теорема 33 дает алгоритм нахождения решений произвольной системы. А именно, из общего решения СЛУ (I) можно

получить не только частное её решение, но и общее решение ассоциированной однородной СЛУ (III). Для этого достаточно в правой части общего решения системы (I) заменить все свободные члены на

нули. Отсюда находим ФСР системы (III) и записываем произвольное решение СЛУ (I) как сумму её частного решения и линейной

комбинации векторов ФСР системы (III).

ПРИМЕР. Записать так, как указано в теореме 33, решение некоторой системы (X), если её общее решение имеет вид:

57

	X1 =				− 3X4			,		(A)
			=	1 + X3 −		4X4.
	X2
	Найдем частное решение a системы (X). Для этого зададим значения
	независимым неизвестным:
X1		X2			X3			X4
0			1		0			0
		Таким			образом		упорядоченная четверка A = (0; 1; 0; 0) – частное
	решение системы (X).
	Зануляя в (А) свободные члены, получим общее решение
	ассоциированной однородной системы:
	X1		=		− 3X4,					(Б)
			=	X3 − 4X		4.
	X2
	По (Б) находим ФСР ассоциированной системы:
X1		X2			X3			X4
0			1	1				0
-3	-4			0				1

,C2 =

−3; −4; 0;

1 - ФСР ассоциированной

Значит, C1 =

(

0;

1;

1; 0

)

(

)

системы. Тогда всякое решение системы (X) можно записать в виде:

B = A + γ1

C1 + γ2

C2 , где

γ1, γ2

– некоторые скаляры.

Ранг произведения матриц

Из свойств определителей и критерия обратимости

квадратных матриц следует, что если

A

≠ 0 ,

B

≠ 0 , то

A B

≠ 0 и RANG ( A B ) = RANG A = RANG B = N . Если же одна из

матриц вырождена, то данное равенство может не

выполняться, как видно из примеров ниже:

1 0

1 0 1 0

1 0

0 0

0 0

=

и

=

.

0 0

0 0 0 0

0 0

0 1

0 0

Произведение матриц ранга 1 имеет в первом случае ранг 1, а

во втором – ранг 0.

ТЕОРЕМА

34. Ранг произведения матриц не превосходит ранга

каждого из сомножителей.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать эту теорему для случая

двух сомножителей. Пусть даны матрицы A, B, для которых

произведение A B

имеет смысл и

A B = C . По определению

умножения матриц m-й столбец матрицы

C имеет вид:

A( )

B(

)

1

M

(2)

(M)

A

B

= 1, 2, 3,…, K

получается система

, т.е. для I

(K )

(M)

A

B

равенств:

β1M + α12

β2M + …+

α1N

γ1M =

α11

βNM ,

γ2M

=

α21

β1M + α22

β2M + …+ α2N

βNM ,

= αK1 β1M + αK2 β2M + …+ αKN βNM ,

γKM

где A = (αi j ), B = (βi j ),

C = (γi j

) . Но это означает, что

C(

M

1

β1M + A(

2

) β2M + …+ A(

N

) βNM ,

) = A( )

58

т.е. m-й столбец матрицы C является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Тогда по замечанию к теореме 23 каждый столбец матрицы C линейно выражается через базис столбцов матрицы A. Поэтому RANG C ≤ RANG A .

Аналогично показывается, что каждая строка матрицы C является линейной комбинацией строк матрицы B, поэтому RANG C ≤ RANG B . Таким образом,

RANG C ≤ MIN RANG A; RANG B .▲

ТЕОРЕМА 35. Ранг произведения произвольной матрицы A на невырожденную матрицу Q равен рангу матрицы A.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Матрицу A можно умножать на Q как слева, так и справа. Так как переместительный закон умножения для матриц не выполняется, будут получаться разные матрицы. Доказательства для обоих случаев аналогичны.

Пусть Q ≠ 0 и, для определённости, A Q = C . Тогда, умножая

обе части этого равенства на Q−1 справа, получим A = C Q−1 .

По предыдущей теореме из первого равенства следует, что RANG C ≤ RANG A , а из второго – RANG A ≤ RANG C , что влечёт RANG A = RANG C . Аналогичное доказательство проводится и в случае Q A = C .▲

59

Тема 4. Общеалгебраические
понятия
§1. Алгебраические операции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. n-арной алгебраической операцией, заданной на
непустом множестве										A, называется правило, которое каждой
упорядоченной n-ке элементов из A ставит в соответствие
единственный элемент из множества A. n-арная операция иногда ещё
называется n-местной операцией.
Обычное обозначение n-арных операций:
ρ :			A1,A2,…,AM					)	→B ,		ρ : AN → A
или(
ρ(A1,A2,…,AM) = B .
ПРИМЕР. ЕСЛИ A = ,
ρ	(	X,Y,Z		)	=		X		Y Z
						X	2 + Y2 + Z			2

для любых X,Y,Z , то ρ - тернарная (трёхместная) операция на R.

Для некоторых n вводятся особые названия n-арных операций.

1) N = 0 – нульарная операция. Эта операция состоит в выделении

одного элемента (например, для действительных чисел выделение нуля или единицы). Обычно нульарные операции выделяются в отдельную группу и называются выделенными элементами.

2) N = 1 – унарная или одноместная операция. Она одному элементу

сопоставляет один элемент. Например, таковой является операция взятия противоположного.

3) N = 2 – бинарная или двухместная операция. Это наиболее часто

встречающийся вид n-арных операций. К ним относятся, например, сложение чисел, матриц или векторов; умножение чисел, умножение квадратных матриц одной и той же размерности.

4) N = 3 – тернарная операция.

Число n называется рангом n-арной операции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгеброй называется непустое множество с заданными на нем алгебраическими операциями. Обозначаются алгебры следующим образом: A; ρ1,ρ2,...; C1,C2,... , где A – основное

множество, ρ1,ρ2,..., - алгебраические операции, а C1,C2,... -

выделенные элементы.

Непустое подмножество B A называется подалгеброй алгебры

A; ρ1, ρ2,...; C1,C2,... , если B; ρ1, ρ2,...; C1,C2,... – также алгебра, т.е ρI

являются алгебраическими операциями на множестве B и

C1,C2,... B.

Говорят, что алгебра A; ρ1, ρ2,...; C1,C2,... изоморфна алгебре

B; µ1, µ2,...; B1,B2,... , если

1) для любого 1 ≤ I ≤ K ранги алгебраических операций ρI и µI

совпадают;

2) существует взаимно однозначное отображение f множества A на множество B такое, что для любых элементов A1,A2,…,AM A верно

равенства

F ( ρI (A1,A2,…,AM )) = µI ( F (A1), F (A2 ),…, F (AM )) ,

F (CI ) = BI

(здесь m – ранг алгебраических операций ρI и µI ).

Для наиболее частого случая бинарной алгебраической операции определение можно переформулировать следующим образом:

бинарной алгебраической операцией (сокращённо БАО), заданной на непустом множестве A, называется правило, которое каждой

60