умк_Вабищевич_квант. физики
.pdfЛуи де Бройль выдвинул гипотезу о том, что корпускулярно-волновой дуализм, т.е. двойственность свойств, характерен не только для света, но и для любых материальных объектов. Согласно этой гипотезе всякой дви- жущейся частице с энергией Е и импульсом р, соответствует длина волны λ. Ранее было получено соотношение, связывающее длину волны и им- пульс частицы
λ = |
h |
. |
(1) |
|
|||
|
p |
|
Соотношение называется формулой де Бройля. Следовательно, при распространении частиц в неоднородных средах они должны проявлять свойства, аналогичные волнам. Т.е. частицы должны вести себя так, как волны с длиной λ, определяемой формулой (1). Указанные волны называют
волнами де Бройля.
Гипотеза де Бройля была подтверждена разными экспериментаторами. В опытах Дэвиссона и Джермера пучок электронов при отражении от кри- сталлической пластинки давал дифракционную картину.
При ускорении электрона в электрическом поле разностью потенциа- лов менее 104 В можно записать
mυ2 = qU , 2
откуда скорость, приобретаемая электроном равна
υ = 2qU .
m
Таким образом, длина волны де Бройля для электрона вычисляется по формуле:
λ = |
h |
= |
|
h |
|
. |
(2) |
mυ |
|
|
|
||||
|
|
|
2qmU |
|
При указанных напряжениях (менее 104 В) длины волн де Бройля ус- коренных электронов лежат в интервале от 100 до 1 нм, и соизмеримы с размерами атомов и молекул вещества. Волновые свойства электронов должны обнаруживаться в явлениях дифракции и интерференции на веще- стве. В качестве дифракционной решетки для электронов в опытах исполь- зовалась кристаллическая решетка различных веществ.
Томсон и Тартаковский получили дифракционную картину при про- хождении электронного пучка через металлическую фольгу. В опытах Штерна дифракционные явления обнаруживались также у атомных и мо- лекулярных пучков. Наличие у частиц волновых свойств вынуждает трак-
31
товать физический смысл волн де Бройля как вероятностный, т.е. при оп- ределенных условиях существует ограничение применения к частицам по- нятий координаты и импульса в их классическом смысле: эти параметры могут быть определены с некоторой вероятностью.
Однако для более крупных частиц и тел длины волн де Бройля ока- зываются намного меньше размеров самих тел. Это практически исключает проявление волновых свойств у таких тел.
Соотношение неопределенностей
Математическим выражением дуализма свойств частиц является со-
отношение неопределенностей Гейзенберга |
|
Dx × Dpx ³ , |
(3) |
где – x и px неопределенности координаты и проекции импульса частицы;
= h . Данное соотношение показывают, что координата x и проекция им- 2π
пульса px частицы не могут быть определены одновременно сколь угодно точно, а только в соответствии с формулой (3). Соотношение неопределен- ностей накладывает в квантовой механике существенные ограничения на возможности описания движения частицы по некоторой траектории.
Соотношения, подобные (3), справедливы и для ряда других пар фи- зических величин, например для других координат, и соответствующих проекции импульса.
Квантовая теория позволяет также получить соотношение неопреде- ленностей для энергии и времени:
DE × Dt ³ . |
(4) |
Здесь t представляет собой время, в течение которого микрочастица обладает энергией E ± E. Например, атом на самом низком энергетиче- ском уровне может пребывать сколь угодно долго ( t = ∞), поэтому энергия этого состояния является вполне определенной, т.е. согласно (4) E = 0. Но, например, в возбужденном состоянии атом пребывает весьма недолго, в течение времени t, тогда его энергия в этом возбужденном состоянии
может быть определена с точностью E = и будет равна E ± E. Таким t
образом, энергия излученного фотона может быть определена лишь с точ- ностью E, которая определяется временем t жизни атома в возбужден- ном состоянии. На опыте неопределенность энергии проявляется в том,
32
что частота излучения фотона имеет неопределенность Δν = |
E , а, следо- |
|
h |
вательно, спектральные линии размыты или имеют конечную ширину.
Волновая функция и ее статистический смысл
В квантовой физике возникает проблема отыскания такого уравнения, которое учитывало бы одновременно движение частиц (как уравнения дви- жения Ньютона) и волновые свойства частиц, как вероятностные величины того или иного состояния движения (координат, энергии).
Наличие у частиц волновых свойств требует ввести для описания состоя- ния частиц волновую функцию ψ, подобную уравнению волны. В общем случае волновая функциядолжна зависеть от координати времени ψ = ψ (x, y, z, t).
Так, например, волновая функция свободно движущейся частицы представляет собой плоскую волну де Бройля (по аналогии с уравнением плоской монохроматической волны):
|
E |
p |
|
|
|
ψ = ψ0 cos(ωt − kx) = ψ0 cos |
|
t − |
|
x . |
(5) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
В комплексной форме уравнение плоской волны имеет вид:
|
E |
|
p |
|
|
ψ(х,t) = ψ0е−i(ωt −kх) |
−i |
|
t − |
|
х |
|
|
||||
, ψ(х,t) = ψ0е |
|
|
, |
где Е, р – энергия и импульс частицы; ω, k – частота и волновое число, со- ответствующие длине волны де Бройля λ частицы; ψ0 – амплитуда волны де Бройля; i = −1 .
Непосредственный физический смысл связывается не с самой ψ- функцией, а с ее квадратом модуля |ψ|2 = ψψ*, где ψ* – комплексно сопря- женная волновая функция. Величина
dP = |
|
ψ |
|
2 dV |
(6) |
|
|
дает вероятность обнаружения частицы в элементе пространства объемом dV вблизи точки с координатами (х, у, z), а квадрат модуля ψ-функции
ψ 2 = dP
dV
имеет смысл плотности вероятности или вероятность обнаружить части- цу в данной точке пространства. Таким образом, величина |ψ|2 определяет интенсивность волны де Бройля в данной точке.
Пребывание частицы в пространстве существования ее волновой функции является достоверным событием и его вероятность должна быть равна единице. Данное утверждение в квантовой физике называется усло-
33
вием нормировки волновой функции. Математически это условие определя- ется интегралом по всему объему, где может находиться частица
∫ |
|
y |
|
2 dV =1. |
(7) |
|
|
V
Особо следует отметить, что в квантовой механике представление о физических величинах совершенно иное, чем в классической физике. По- этому, любой физической величине ставится в соответствие оператор дан-
ной величины ˆ а задача о нахождении значений физической величины
L ,
сводится к решению операторного уравнения вида
ˆ y = y
L L ,
где ψ собственная волновая функция оператора ˆ собственное зна
– L , L – -
чение оператора, т.е. значение величины, наблюдаемое на опыте.
Итак, любая квантово механическая задача сводится к отысканию
собственных волновых функций ψ и собственных значений L операторов физических величин.
Волновая функция является основной характеристикой состояния микрообъектов. С помощью волновой функции в квантовой механике опре- деляются средние значения физических величин. Так, среднее значение физи-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ческой величины L , которой соответствует оператор |
|||||||||||
L , вычисляется сле- |
|||||||||||
дующим образом: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
y |
|
2 |
dV , |
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
L = ∫ L |
|
|
|
V
где интегрирование ведется по всему объему, а ψ-функция удовлетворяет условию нормировки (7).
Уравнение Шредингера в общем виде и для стационарных состояний
Волновая функция частицы является решением общего уравнения
Шредингера
|
¶y |
|
2 |
|
|
i |
¶t |
= - |
|
Dy +U y , |
(9) |
|
|||||
|
|
2m |
|
представляющего собой основное уравнение нерелятивистской квантовой механики. Величина, обозначенная
D = Ñ2 = |
¶2 |
+ |
¶2 |
+ |
¶2 |
, |
|
¶x2 |
¶y2 |
¶z2 |
|||||
|
|
|
|
представляет собой оператор Лапласа. Данное уравнение (9) является опыт- ным, т.е. установлено экспериментальным путем. Правильность его подтвер-
34
ждается тем, что его решения соответствуют практическим результатам. Уравнение (9) записывают также в операторном виде
|
|
∂ψ |
ˆ |
|
|
|
|
i |
¶t |
= H y , |
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
2 |
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
H = - |
|
|
D +U |
= Ek |
+ U , |
|
|
2m |
|
|
|
представляет собой оператор полной энергии (оператор Гамильтона), рав-
|
ˆ |
|
2 |
|
ный сумме операторов кинетической |
Ek |
= - |
|
D и потенциальной энергии |
|
|
|
2m |
ˆ = ( ), которая в квантовой механике определяется классическим образом.
U U r
Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состоя- ния, когда частица движется в стационарном поле, потенциал которого в каждой точке зависит лишь от координаты и не зависит от времени. Для таких состояний уравнение Шредингера имеет вид
- |
2 |
Ñ2y +U y = Ey , |
(10) |
|
2m |
||||
|
|
|
||
или в операторном виде |
|
|
||
|
|
ˆ |
(11) |
|
|
|
H y = Ey . |
Большинство задач квантовой механики состоит в отыскании собст- венных волновых функций и собственных значений Е оператора полной энергии Ĥ. Легко проверить, что волновая функция, удовлетворяющая данному уравнению (11), может быть представлена как произведение двух частей – координатной и временной:
− iEt |
|
y(x, y, z,t) = Ae y(x, y, z) . |
(12) |
Плотность вероятности данной функции не зависит от времени |ψ|2 = |ψ(x, y, z)|2. Сама ψ (12) описывает стационарные состояния. Уравнение (11) получается при подстановке данной функции (12) в общее уравнение Шредингера (9).
В случае одномерного движения стационарное уравнение Шредингера содержит производную по координате х и его записывают в следующем виде:
d 2y |
+ |
2m |
(E -U )y = 0 . |
(13) |
dx2 |
|
|||
|
2 |
|
35
Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
Одним из наиболее простых примеров, демонстрирующих применение стационарного уравнения Шредингера (13), является задача отыскания собст- венных волновых функций и собственных значений энергии для частицы, нахо- дящейся в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
Итак, микрочастица находится в поле, которое характеризуется сле- дующим значением потенциальной энергии: в интервале от х = 0 до х = L энергия U = 0; на границах области U → ∞ (рис. 2.1). При этих условиях можно утверждать, что частица не выходит за пределы области (0, L). Для наглядности можно представить частицу, запертую в яме с бесконечно вы- сокими стенками: внутри ямы частица движется свободно, но за пределы ее выйти не может.
Уравнение Шредингера для одномерного движения принимает вид (13)
d 2ψ + 2m (E − U )ψ = 0 . dx2 2
Так как в данной задаче потенциальная энергия должна удовлетворять условиям
|
0, |
при |
0 ≤ х ≤ L |
U = |
|
при |
, |
∞, |
х < 0, x > L |
уравнение Шредингера для области 0 ≤ x ≤ L принимает вид
d 2ψ + 2m Eψ = 0 . dx2 2
Вводя обозначение
k |
2 = |
2m |
E , |
(14) |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
получим уравнение
d 2ψ + k 2ψ = 0 . dx2
Решением такого уравнения является сумма гармонических функций:
ψ = Asin (kx) + B cos(kx) .
Из условия на границе ψ(0) = 0 получим, что коэффициент В = 0, а при ψ(L) = 0 получим, что Asin(kx) = 0, это возможно при значениях аргу-
Отсюда вытекает, что k = πn .
L
Итак, собственные волновые функции частицы в потенциальной яме имеют вид
36
y = A ×sin πnx .
L
Для нахождения постоянной А используют условие нормировки вол- новой функции (7):
L |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
2 |
|
2 |
pnx |
|
|||
∫ |
|
y |
|
dx =1, |
|
|
или |
|
|
∫ |
A |
sin |
=1. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
l |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
интегрируя, получаем A = |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Собственные нормированные волновые функции частицы в потенци- |
|||||||||||||||||||||
альной яме имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
×sin pnx . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
2 |
|
|
(15) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
L |
|
|
|
|
Рис. 2.1 |
Рис. 2.2 |
Рис. 2.3 |
Графики волновых функций изображены на рис. 2.2. Они представляют собой стоячие волны де Бройля.
Собственные волновые функции используются для нахождения плотно- сти вероятности обнаружения частицы в различных точках, для чего определя- ется квадрат модуля волновой функции |ψ|2. Графики плотности вероятно- сти при различных n представлены на рис. 2.3.
В общем случае для определения вероятности нахождения микро- частицы в интервале (х1, х2) необходимо вычислить интеграл:
x2 |
|
|
|
x2 |
2 |
|
πnx |
|
|
P = ∫ |
|
ψ |
|
2 dx = ∫ |
sin2 |
dx . |
(16) |
||
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
x |
L |
L |
|
||
|
|
|
|
||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
На рис. 2.4 заштрихованной области соответствует вероятность обна- ружить частицу в интервале от х1 до х2 для основного состояния (n = 1).
37
Из (14) определяем энергию микрочастицы
E = |
k |
2 2 |
E = |
π2 |
2 |
n2 . |
|
|
|
|
, |
|
|
(17) |
|||
|
|
2mL2 |
||||||
|
2m |
|
|
|
Видно, что энергия частицы в потенциальной яме принимает не любые значения, а лишь определенные – дискретные. В этом случае говорят, что энергия квантуется. Целое число n является главным квантовым числом,
определяющим энергию частицы в потенциальной яме. Импульс микрочастицы внутри ямы принимает значения
p = k = |
π |
n . |
(18) |
|
|||
|
L |
|
Видно, что разность энергий между двумя соседними энергетическими уровнями
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
||
E = En+1 − En |
= |
π |
|
|
((n + 1)2 − n2 ) = (2n + 1) |
π |
|
|
(19) |
|
|
2 |
|
|
2 |
||||
|
|
2mL |
|
2mL |
|
растет по мере увеличения n. Однако при больших значениях главного квантового числа происходитотносительное сближение энергетических уровней
E = |
2n + 1 |
|
≈ |
2 |
. |
(20) |
n2 |
|
|||||
En |
|
n |
|
Таким образом, при больших значениях n выполняется условие E<<En, т.е. спектр энергии можно считать почти непрерывным или квази- непрерывным и квантование энергии дает результаты, близкие к результатам классического рассмотрения. Аналогичные рассуждения можно провести, рас- сматривая потенциальную яму с большой шириной. При большой ширине ямы расстояние между уровнями может быть мало по сравнению с энергией частицы. В этом случае энергетический спектр также является квазинепрерыв-
ным. В этом состоит принцип соответствия: при больших квантовых числах
выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать клас-
сическим результатам. В общем смысле принцип соответствия требует, чтобы новая теория включала в себя как частный случай классическую теорию.
Квантовый гармонический осциллятор
Следующий пример применения стационарного уравнения Шредин- гера – это описание частицы, находящейся в потенциальной яме параболи- ческой формы. Как и в классической механике, данную систему называют гармоническим осциллятором. Потенциальная энергия U характеризуется зависимостью от координаты х
38
U = |
mw2 x2 |
|
|
|
0 |
, |
(21) |
||
2 |
||||
|
|
|
||
где m – масса частицы, ωо – собственная циклическая частота колебаний |
||||
осциллятора. |
|
|
|
|
Однако в квантовой механике поведение осциллятора, например, его |
энергетический спектр и вероятность обнаружения частицы в различных точках, вытекают из решения уравнения Шредингера. С учетом потенци- альной энергии вида (21) уравнение Шредингера для стационарных со- стояний имеет вид
|
d |
2y |
|
2m |
mw2 x2 |
|
|||||
|
|
|
|
+ |
|
|
E - |
0 |
y = 0 . |
||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
dx |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.5 |
Вводя безразмерные величины
|
|
|
|
|
|
|
z = |
mw |
x , |
l = |
2E |
, |
|
|
w |
|||||
|
|
|
|
уравнение Шредингера переписывают в виде
d 2y |
+ (l - z2 )y = 0 . |
(22) |
|
dz2 |
|||
|
|
Решением данного уравнения являются функции вида (волновые функции стационарных состояний гармонического осциллятора):
|
|
|
|
|
|
|
− |
z2 |
|
|
|
|
|
y |
|
(z) = A × H |
|
|
, n = 0, 1, 2, 3, … |
(23) |
|||||
|
n |
n |
(z) × e 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
где An |
– постоянная нормировки, определяемая для каждого n отдельно; |
|||||||||||
Hn(z) – |
полиномы Эрмита, являющиеся членами степенного ряда: |
|
||||||||||
|
|
|
H |
0 |
= 1, H = 2z , H |
2 |
= 4z2 - 2 … |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Энергетический спектр Е гармонического осциллятора является дис- кретным и принимает значения:
39
E |
= |
n + |
1 |
|
ω , |
n = 0, 1, 2, 3 …. |
(24) |
|
|
||||||
n |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 2.5 представлен энергетический спектр Е, вид волновых функций ψ и плотность вероятности |ψ|2 для первых трех уровней гармони- ческого осциллятора. В отличие от классического осциллятора, энергия которого изменяется непрерывно, энергия квантового осциллятора прини- мает дискретные значения. Кроме того, из формулы (24) следует, что мини-
мальная энергия осциллятора равна Е0 = ω0 , т.е не равна нулю, что было
2
очевидным для классического осциллятора. Данный факт подтверждается многочисленными экспериментами. Так при T → 0 атомы вещества совер- шают колебания и обладают энергией, называемой нулевой.
Разность между соседними уровнями энергии является постоянной величиной E = ħω0, т.е. уровни энергии равноотстоят друг от друга (рис.
2.5). При больших уровнях энергии отношение E ≈ 2 , т.е. происходит
En n
относительное сближение уровней энергии и спектр можно считать почти непрерывным – квазинепрерывным – как и для классического осциллятора. Распределение вероятности обнаружить частицу в яме приближается к классическому распределению.
Туннельный эффект
Мы считали, что на границах потенциальной ямы волновая функция становится равной нулю. В действительности дело обстоит сложнее. Волна де Бройля на границе испытывает отражение, но и частично проходит в область вне потенциальной ямы. Другими словами, существует опреде- ленная вероятность обнаружить частицу за пределами ямы. Этот результат существенно отличается от выводов классической физики.
Рассмотрим частицу, обладающую энергией Е и движущуюся на по- тенциальный барьер высотой U0 (рис. 2.6). Уравнение Шредингера при движении частицы в области от 0 до L внутри барьера имеет вид
d 2ψ2 − 2m2 (U0 − E )ψ = 0 . dx
Обозначив α2 = 2m2 (U0 − E ) , получаем
d |
2ψ |
− α2ψ = 0 . |
(25) |
|
dx2 |
||||
|
|
|||
|
|
40 |
|