max2308

13

Выразить число молекул, ударяющихся о квадратный сантиметр стенки сосуда в одну секунду, через среднюю скорость движения газовых молекул, если функция распределения молекул по скоростям изотропна (то есть зависит только от абсолютного значения скорости, но не от направления). Рассмотреть частный случай максвелловского распределения.

Решение:

Есть несколько способов решения данной задачи. Например, общий подход к решению изложен во втором томе "Общего курса физики" Д.В.Сивухина. Применим более простой метод. Мысленно выделим на стенке сосуда единичную площадку и рассмотрим столб газа, расположенный перпендикулярно стенке и имеющий выделенную площадку своим основанием. Направим ось x вдоль оси получившегося цилиндра. Рассмотрим молекулы, имеющие скорость в интервале [vx; vx + dvx]: Число таких молекул в единице объема нашего цилиндра dn(vx) есть:

dnvx = n'vx dvx

(13.1)

Предположим, что у всех этих молекул y и z компоненты скорости равны нулю, тогда все они, находящиеся в рассматриваемом столбе на расстоянии от стенки меньшим vx достигнут ее. Таким образом, число ударов о единичную площадку для таких молекул будет равно

dz = vxdnvx = vxn'vx dvx:

(13.2)

Тот факт, что y и z компоненты скорости не равны нулю, и, следовательно, молекулы могут покидать наш воображаемый столб, ничего не меняет в ситуации, так как место выбывших в силу изотропности функции распределения займут идентичные частицы. Интегрирование по всем vx; направленным в сторонуZстенки1 дастZполное1 число ударов.

z =

vxdnvx =

vxn'vx dvx;

(13.3)

00

где - n концентрация частиц. В случае Максвелловского распределения функция 'vx имеет вид (3) и, применив при взятии интеграла (13.3) формулу (24), получим ответ:

z = nr	kT	= n < v > =4	(13.4)
	2¼m

22

14

Вольфрамовая нить, испаряясь в высокий вакуум при температуре T = 2000К, уменьшается в массе со скоростью g = 1; 14 ¢ 10¡12 кг/(с¢м2). Вычислить давление насыщающего пара вольфрама при этой температуре. Атомная масса вольфрама A = 0; 184 кг/моль.

Решение:

Рассмотрим сначала равновесную двухфазную систему, состоящую из вольфрамовой пластины и насыщенного пара вольфрама над ней при температуре T . Если считать, что все молекулы пара, ударяясь о пластину прилипают к ней, то число таких ударов в единицу времени на единицу поверхности должно быть равно числу атомов z , испаряющихся с поверхности вольфрама (в одну секунду с единицы площади). По условию задачи z равно:

z =	g	;	(14.1)
	mW

где mW - масса атома вольфрама. С другой стороны z дается формулой (13.4) из задачи 13, и тогда с учетом равенства p = nkT получаем,

n < v >

=

g

;

p < v >

=

g

;

(14.2)

4

mW

4kT

mW

В итоге имеем

r

p = g

2¼RT

(14.3)

A

Подставив сюда численные значения, получим ответ : p = 0; 86 нПа.

15

В тонкостенном сосуде объемом V , стенки которого поддерживаются при постоянной температуре, находится идеальный газ. Сосуд помещен в вакуум. Как будет меняться с течением времени концентрация молекул в сосуде, если в его стенке проделать очень малое отверстие площади S? Считать, что истечение газа происходит настолько медленно, что оно практически не нарушает равновесность состояния во всем сосуде, за исключением малой области вблизи отверстия. Температуру газа в сосуде считать постоянной и равной температуре стенки.

23

Решение:

Убыль молекул dN в объеме обусловлена вылетом молекул за время dt через отверстие S, который можно учесть по формуле (18), тогда

dnV =	n < v > Sdt		:
		4
Интегрируя это уравнение, получаем
n = n0 exp(¡		S < v > t		);
		4V

где n0 - начальная концентрация в момент t = 0.

(15.1)

(15.2)

16

Найти полную кинетическую энергию E молекул одноатомного газа, ударяющихся о квадратный сантиметр стенки в единицу времени. Задачу решить сначала в общем виде для изотропной функции распределения, а затем применить результат к частному случаю максвелловского распределения.

Решение:

Рассмотрим сначала частный случай, когда абсолютные значения скоростей одинаковы, а их распределение по скоростям изотропно. Так как число ударов молекул о единичную площадку в единицу времени равно z = nv=4 (см. задачу 13 или формулу (18)), то очевидно,

	E =	nv mv2			=	mnv3		:	(16.1)
		4		2			8

Если абсолютные значения скоростей различны ( например, распределены по Максвеллу), то молекулы следует разбить на группы с практически одинаковыми значениями скоростей. В этом случае

	m	k
E =		X0	vi34ni;	(16.2)
	8

24

где k - число групп, на которые были разбиты молекулы , vi -скорость, которая приписывается i-той группе, 4ni - число молекул в единице объема, попавшие в i-тую группу. В пределе сумму (16.2) можно заменить интегралом

	m			1		m			1		mn		1		nm
E =				Z0	v3dn =				Z0	v3nFvdv =			Z0	v3Fvdv =		< v3 > :
	8					8					8				8
																(16.3)

Здесь Fv - максвеловская функция распределения (формула (9)). Таким образом задача свелась к нахождению среднего значения куба скорости, т.е. к взятию интеграла (16.3) с помощью формулы (28). В результате получаем

E = nr	k3T 3
	2¼m	(16.4)

17

В тонкостенном сосуде, содержащем идеальный газ при температуре T; имеется очень маленькое отверстие, через которое молекулы вылетают в вакуум. Определить среднее значение < " > кинетической энергии вылетевшей молекулы в предположении, что за время опыта изменения числа молекул и температуры газа пренебрежимо малы.

Решение:

Очевидно, что среднее значение < " > кинетической энергии вылетающих молекул равно отношению полной кинетической энергии E молекул одноатомного газа, попадающих на это малое отверстие ds в единицу времени, к среднему числу молекул, пролетевших через это отверстие в единицу времени, т.е.

qq

E

n

2k3T 3

n

2k3T 3

< " >=

=

¼m

=

¼m

= 2kT;

(17.1)

z

n<v>

nq

kT

4

2¼m

Проанализируем полученный результат. Следует обратить внимание на то, что молекула, испытывающая соударение со стенкой в среднем передает ей энергию 2kT; что на kT=2 больше, чем средняя кинетическая энергия молекулы в идеальном газе. То есть можно сказать, что столкновения со стенкой чаще испытывают самые быстрые молекулы. Если

25

в стенке сделать маленькое отверстие, то вылетать из него будут чаще быстрые молекулы, обладающие большей энергией. В результате остающийся газ будет постепенно охлаждаться.

18

Тонкостенный сосуд объема V; наполненный идеальным газом, поддерживается при постоянной температуре T: В стенке сосуда имеется малое отверстие площади S; через которое молеекулы вылетают в вакуум. Какое количество тепла Q = Q(t) надо подводить к сосуду в единицу времени для поддержания в нем постоянной температуры?

Решение:

Как следует из решения задачи 11 за единицу времени через отверстие S вылетает в вакуум n < v > S=4 молекул, при этом каждая из них, как было отмечено в задаче 16 в среднем уносит из объема энергию 2kT; в то время как средняя энергия частиц в объеме 3kT=2: Чтобы компенсировать потерю kT=2; необходимо побводить ежесекундно к объему количество тепла Q равное

	1		1		S < v > t		(18.1)
Q(t) =		n < v > SkT =		n0 exp(¡		) < v > SkT:
	8		8		4V

19

Потенциальная энергия молекул газа в некотором центральном поле зависит от расстояния r до центра поля как U(r) = ar2; где a - положительная постоянная. Температура газа T, концентрация молекул в центре поля n0. Найти:

1.число молекул, находящихся в интервале расстояний (r; r + dr);

2.наиболее вероятное расстояние молекул от центра поля;

3.относительное число всех молекул в слое (r; r + dr);

4.число молекул с потенциальной энергией (U; U + dU);

26

5. наиболее вероятное значение потенциальной энергии.

Решение:

1.Искомое число молекул определится как dN = ndV; где dV - элементарный объем, соответствующий интервалу расстояний (r; r + dr): По условию данное поле обладает сферической симметрией, поэтому dV = 4¼r2dr: Тогда, учитывая формулу 20, получим:

ar2	¶
dN = n0 exp µ¡ kT		4¼r2dr:	(19.1)

2.Наиболее вероятное расстояние определится значением абсциссы,

соответствующей максимуму функции dN=n0dr , описываемой формулой

dN	ar2
	= exp µ¡		¶	4¼r2:	(19.2)
n0dr		kT

Для нахождения ее максимального значения надо взять производ-

ную этой функции по r и приравнять ее нулю. Искомое значение p

rver = kT=a

3.задача сводится к определению величины dN=N , где N - полное число частиц во всем пространстве. Определим его:

1	1	ar2
N = Z0	dN = Z0	n0 exp µ¡		¶	4¼r2dr:
			kT

Интеграл вычисляется по формуле 25. В результате имеем,

N = n0

µ

a

¶

3=2

¼kT

Окончательно получаем:

dN

= ³

a

´

3=2

exp µ¡

ar2

¶

4¼r2dr:

N

¼kT

kT

(19.3)

(19.4)

(19.5)

27

4.По условию U = ar2: Отсюда r2 = U=a; r = pU=a; dr = dU=(2paU):

Подставляя полученные значения в выражение 19.1 окончательно

	получаем:
		U
	dN = (2¼n0a3=2) exp µ¡		¶pUdU:			(19.6)
		kT

5.Для нахождения наиболее вероятного значения потенциальной энергии необходимо рассмотреть отношение dN=dU как функцию U:

	dN		U
		= (2¼n0a3=2) exp µ¡		¶pU:			(19.7)
	dU		kT

Эта функция имеет смысл плотности вероятности распределения частиц по энергиям и имеет вид кривой с максимумом. Этот максимум и отвечает наиболее вероятному значению потенциальной энергии. Чтобы получить значение Uver нужно взять производную от функции по U и приравнять ее нулю. В результате получаем:

Uver =	kT	:	(19.8)
2

20

Максвелловская функция распределения частиц по vx - компоненте скорости '(vx) имеет вид функции Гаусса, график которой приведен на рис.1. Максимум кривой имеет место при vx = 0; а сама кривая имеет колоколообразную форму. Найти ширину этой ¢vx кривой на половине высоты.

Решение:

Обозначим значение х-компоненты скорости, при которой значение '(vx) уменьшается в два раза, как vx0 . Тогда по формуле (3):

'vx0 = (m=2¼kT )1=2 exp(¡mvx0 2=2kT );	(20.1)
так как	(20.2)
'0 = (m=2¼kT )1=2;

то поделив (20.1) на (20.2) имеем:

28

1	= exp(¡mvx0	2	=2kT ):	(20.3)
2

Прологарифмируем это равенство, и учитывая, что ¢vx = 2vx0 , окончательно получим:

¢vx = ln 2r
	8m :
		kT

21

Определить такое значение х-компоненты скорости vx00, для которого в диапазоне от vx00 до ¡vx00 находятся х-компоненты скорости половины всех молекул объема.

Решение:

Из условия следует, что

N

vx00

vx00

Z¡vx00

Z¡vx00 N(m=2¼kT )1=2 exp(¡mvx2=2kT )dvx:

=

N'vx dvx =

2

Отсюда:

1

vx00

= Z0

(m=2¼kT )1=2 exp(¡mvx2=2kT )dvx:

4

Перейдем под знаком интеграла к переменной t =

v00.

m

Тогда уравнение (21.2) сведется к равенству:

pkT x

= Z0

tp

¼

kT=m

exp(¡t2=2)dt

8

(21.1)

(21.2)

(21.3)

Обратившись к таблице значений интеграла вероятностей Лапласа во "Введении"найдем:

	kT
vx00	¼ 0; 9r m	(21.4)

29

22

Допустим,что в разрядной трубке молекулы идеального газа излучают монохроматический свет на частоте !0. Излучение вдоль оси разрядной трубки регистрируется с помощью спектрографа высокой разрешающей силы. В силу эффекта Доплера излучение молекул, летящих в сторону приемника будет восприниматься со сдвигом в коротковолновую область спектра, а излучение молекул, летящих от приемника будет восприниматься со сдвигом в длинноволновую область спектра (красное смещение). В результате наблюдаемая спектральная линия будет уширена. Найти спектральный контур этой линии и ширину этого контура на половине высоты.

Решение:

Решение этой задачи аналогично решению задачи 5. В силу эффекта Доплера:

! = !0(1 + vx=c);

(22.1)

где ! - регистрируемая частота излучения, а vx - проекция вектора скорости на направление наблюдения.

Соответственно

vx = c	! ¡ !0			(22.2)
!0
Продифференцируем (22.1).
d! = dvx!0=c:				(22.3)
По аналогии с (8.2) можно записать:
dN = N'vx dvx = NP!d!;				(22.4)
где P! - искомый спектральный контур линии.
P! = 'vx		dvx	:	(22.5)
		d!

Переходя в правой части этого равенства к частотам по формулу (22.2), имеем:

30

á

r

!

2

mc2

! ¡ !0

P

= (m=2¼kT )1=2 exp

:

(22.6)

!

2kT !0

Ширина контура линии ¢!dop так же, как и в задаче 14 найдется из уравнения:

1

= exp µ¡

mc2 ¢!dop2

¶:

(22.7)

2

2kT

4!02

Отсюда:

¢!dop

= r

8kT ln2

;

(22.8)

или

!0

mc2

¢!dop

= r

8RT ln2

:

(22.9)

!0

Mc2

Подставляя численные значения констант равенству (22.8) можно представить в виде:

¢!dop	¼ 7 ¢ 10¡7r		T		;	(22.10)
!0			M0

здесь M0 - молярная масса, выраженная в граммах на моль.

23

Считая столкновения молекул со стенками абсолютно упругими, определить давление оказываемое идеальным газом на стенку сосуда.

Решение:

Также, как и в задаче (13), выделим на стенке сосуда единичную площадку и рассмотрим столб газа, расположенный перпендикулярно стенке и имеющий выделенную площадку своим основанием. Направим ось x вдоль оси получившегося цилиндра. Рассмотрим молекулы, имеющие скорость в интервале [vx; vx+dvx]: Число таких молекул в единице объема нашего цилиндра dnvx есть:

dnvx = n'vx dvx

(23.1)

31