математика конспект

n n	n n
Определение Квадратичные формы f ( x1 ,..., xn ) = ∑∑ai	j xi x j , g( y1 ,..., yn ) = ∑∑bi j yi y j
i=1 j =1	i =1 j =1
называются эквивалентными, если для некоторой невырожденной матрицы C
A = CT BC , то есть первая преобразуется во вторую после замены переменных Y = CX .
	n n
ЗАМЕЧАНИЕ Каждая квадратичная форма f ( x1 ,...xn ) = ∑∑aij xi x j эквивалентна кано
	i=1 j =1
n
нической квадратичной форме вида g ( y1 ,..., yn ) = ∑dk yk2	, причем соответствующую
k =1
матрицу C можно выбрать ортогональной.
ТЕОРЕМА Уравнение поверхности второго порядка с помощью преобразования

поворота пространства вокруг оси, проходящей через начало координат, последующе го сдвига его на некоторый вектор, и, возможно, вращения вокруг координат ной оси и отражения в координатной плоскости, может быть приведено к уравнению одного из 12 перечисленных выше типов геометрических объектов в V3 .

_____

Определение Суммой двух линейных операторов L1 , L2 : E → F называется отображение, определяемое по правилу a E [L1 + L2 ]a := L1a + L2 a . ЗАМЕЧАНИЕ Сумма двух линейных операторов является линейным оператором.

Определение Произведением числа λ на линейный оператор L : E → F называется отображение, определяемое по правилу: a E [λL]a :=λ(La).

ЗАМЕЧАНИЕ Произведение числа на линейный оператор является линейным оператором.

Обозначение L(E, F ) - множество всех линейных операторов из векторного пространства E в векторное пространство F .

ЗАМЕЧАНИЕ Множество L(E, F ) является векторным пространством относительно введенных выше операций сложения и умножения на число. При этом нулевой

оператор определяется по правилу: a E		O(a) := 0 .
Определение Отображение	I : E → E ,	определяемое	по правилу:	a E I a := a ,
называется тождественным преобразованием.
ЗАМЕЧАЕНИЕ I является линейным преобразованием.
Определение Пусть L1 L(E, F ), L2 L(F , G). Произведением (композицией)					линейных
операторов L1 , L2 называется	отображение L2 L1 : E → G ,		определяемое	по	правилу:
a E [L2 L1 ](a):= L2 (L1 (a)).

ЗАМЕЧАНИЕ Произведение двух линейных операторов является линейным

оператором. Определение Пусть e1 , ..., en - базис в E , а f1 , ..., fm

- базис в F . Пусть

L L(E, F ) и j ≤n

Lei =α1 j f1 +... +αm j fm . Тогда матрица коэффициентов

a11

...

a1n

A

L

L

e

f

(

называется матрицей оператора

j } .

):= ...................

в базисах { i }, {

...

a

a

m1

mn

ТЕОРЕМА

1)

Матрица A(αL1 +βL2 ) линейной комбинации операторов совпадает с

линейной комбинацией αA(L1 ) +βA(L2 ) матриц этих операторов.

2) Матрица	произведения	A(L2 L1 )	двух линейных операторов	совпадает с
произведением матриц A(L2 ) A(L1 ) этих операторов.
			_____
Определение	Множество	E1 E	называется подпространством	векторного
пространства E , если x, y E1		α, β R αx +βy E1 .

ЗАМЕЧАНИЕ Подпространство удовлетворяет аксиомам 1)-8) и потому само является векторным пространством.

ЗАМЕЧАНИЕ 1) Линейная оболочка span A является наименьшим векторным подпространством, содержащим A .

2) Базисом в span {e1 , ..., ek } является максимальная совокупность линейно независимых элементов среди e1 , ..., ek .

Определение Ядром линейного оператора L : E → F называется множество

KerL := {x E : Lx = 0} Образом линейного оператора L : E → F называется множество

Im L :={y F : x Lx = y}.

ЗАМЕЧАНИЕ Ядро и образ оператора L являются подпространствами соответственно в E, F .

Определение Уравнение вида Lx = y (Lx = 0) , где x - искомый, а y - известный элемент, называется неоднородным (однородным) линейным операторным уравнением.

Определение Элемент x0 E называется решением такого уравнения, если при его подстановке вместо x уравнение обращается в равенство.

Определение Решить уравнение это значит, найти все его решения.

Следующее понятие используется при исследовании разрешимости операторных уравнений.

Определение Рангом линейного оператора

L

называется размерность образа Im L

этого оператора.

ТЕОРЕМА

Пусть L L(E, F ), dim E = n,

dim F = m .

1)

Разрешимость

операторного

уравнения

Lx = y

при

выделенных базисах

e1 , ..., en E,

f1 ,..., fm F равносильна разрешимости СЛАУ A(L) X =Y , где

x1

y1

f +... + y

f

,

x = x e +... + x e , X := ... , y = y

m

m

Y := ...

.

1 1

n n

1 1

x

y

n

m

2) Ранг линейного оператора совпадает с рангом матрицы этого оператора.

3)

dim (Ker L) + dim (Im L) = n .

4) Если e1 , ..., ek

-

базис в ядре

KerL ,

то произвольное

(общее) решение однородного операторного уравнения Lx = 0 имеет вид:

α1 e1 +... +αk ek , где α1 , ..., αk R .

5) Если x0 - какое-либо частное решение неоднородного операторного уравнения

Lx = y , то произвольное (общее) решение этого уравнения имеет вид

x0 +α1 x1 +... +αk xk ,

α1 , ..., αk

R .

_____

Определение Линейные операторы Lr , Ll L(F , E) называется соответственно правым и левым обратным к линейному оператору L : E → F , если

L Lr = I F L(F , F ) (Ll L = I E L(E, E) .

Определение Линейный оператор L−1 : E → E называется обратимым, если существуют и правый и левый обратные к нему.

ЗАМЕЧАНИЕ Для обратимого оператора как и в случае матриц доказывается, что

Lr = Ll . Поэтому можно говорить об обратном к L операторе							L := Lr = Ll .
Определение	Линейный	оператор	L : E → F		называется		взаимно		однозначным
(мономорфизмом), если он преобразует разные элементы в разные: a1 ≠ a2									La1	≠ La2 .
ЗАМЕЧАНИЕ L L(E, F ) является мономорфизмом тогда и только тогда, когда
однородное уравнение La = 0 имеет единственное (то есть нулевое) решение.
Определение	Линейное отображение L : E → F					называется		отображением		"на"
(эпиморфизмом), если b F a E			La =b , то		есть операторное уравнение					Lx = y
имеет решение в E для каждой правой части				y F .
ЗАМЕЧАНИЕ	Линейное	отображение		L : E → F		является		изоморфизмом (в

соответствии с определением) тогда и только тогда, когда оно является мономорфизмом и эпиморфизмом.

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Определение Объединением множеств A, B называется A B := { x : ( x A) ( x B )} .

Определение Пересечением множеств A, B называется A ∩ B := { x : ( x A) ( x B )} .

Определение Множества A, B называются непересекающимися, если A ∩ B = .

Определение Разбиением множества A называется совокупность			T ={A1 , ..., An }
попарно непересекающихся его подмножеств со свойством A A ... A			= A .
1	2	n
Определение Разностью множеств A, B называется A \ B := { x : ( x A) ( x B)} .
Определение Пусть дано отображение f : X → Y множества X	в множество Y . В

обозначении y = f ( x) x называется независимой переменной величиной с областью

определения X ;	y = f ( x ) - зависимой переменной величиной с множеством значений
Y f := { y Y : x X	y = f ( x)} ; Y называется областью значений отображения.

Определение Графиком отображения f : X → Y называется подмножество декартова произведения Г f := {(x, f ( x)) X Y : x X } .

Определение Отображение f : X →Y называется инъективным (взаимно однозначным), если она разным элементам из X сопоставляет разные элементы из Y .

Определение Отображение f : X →Y называется сюръективным (отображением "на"), если Yf =Y .

Определение Отображение f : X → Y называется биективным (биекцией), если она инъективно и сюръективно.

ЗАМЕЧАНИЕ Биективное отображение и только такое отображение имеет обратное f −1 . При этом область определения последнего есть Y .

_____

Определение Множества A, B называются равномощными, если существует биекция

A на B .

Определение Мощностью конечного множества называется число его элементов. Обозначение card A

Определение Множество называется счетным, если оно равномощно множеству . Определение Множество называется множеством мощности континуум, если оно равномощно множеству R.

Определение Множество элементов называется упорядоченным, если для любых его двух элементов всегда можно сказать, что один из них предшествует другому. ЗАМЕЧАНИЕ Если на вещественной оси выбрать начало координат и масштаб, то между множествами (−∞, +∞) и R можно установить взаимно однозначное соответствие (то есть они равномощны), при котором сохраняется отношение порядка. Поэтому в дальнейшем мы иногда не будем различать эти два упорядоченных множества (точек и чисел).

Определение Множество точек X (−∞, ∞)	называется ограниченным сверху
(снизу) если M R x X x ≤ M ( x ≥ M ) ; множество ограничено, если оно
ограниченно и сверху и снизу: M > 0 x X	| x |≤ M .
Определение Точной верхней (нижней) гранью множества X (− ∞, ∞) называется
наименьшее (наибольшее) число sup X (inf X )	со свойствами

( x X x ≤ sup X ) (( x X x ≤ M ) (sup X ≤ M ))

( x X x ≥ inf X ) (( x X x ≥ M ) (inf X ≥ M )) .

_____

Определение Композицией отображений f : X → Y и g : Y → Z называется отображение g f : X → Z , определяемое по правилу x X [g f ] (x) := g ( f ( x)) .

Определение Преобразование id : X → X , x X id ( x) = x , называется тождественным отображением.

Определение Отображение g : Y → X называется правым (левым) обратным к отображению f : X → Y , если [ f g ] = idY : Y → Y ([g f ] = id X : X → X ) . Отображение f −1 : Y → X называется обратным к отображению f : X → Y , если оно является и правым и левым обратным к f .

ЗАМЕЧАНИЕ 1) Отображение f : X → Y является инъективным тогда и только тогда, когда оно имеет левое обратное отображение.

2) Отображение f : X → Y является сюръективным тогда и только тогда, когда оно имеет правое обратное отображение.

3) Отображение f : X → Y является биекцией тогда и только тогда, когда оно имеет обратное отображение.

Определение Пусть f : X → Y и X1 X . Сужением отображения f на подмножество

X1 называется отображение f1 : X1 → Y	определяемое по правилу
x X1 f1 ( x) := f ( x) .	Обозначение. f		X1 := f1 .
_____
Определение Выражение вида {an } := a1 , a2 , ..., an , ...		где числа a1 , a2 ,... R, называется
числовой последовательностью.
Определение Последовательность	{an }	называется ограниченной,		сверху
(ограниченной снизу), если она имеет верхнюю грань: C R n N an ≤ C				(нижнюю

грань: C R n N an ≥ C ). Последовательность {an } называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу. В противном случае она называется неограниченной. Определение Последовательность {an } называется монотонно возрастающей (неубывающей), если n N an < an+1 ( n N an ≤ an+1 ) . Аналогично определяется монотонно убывающая (невозрастающая) последовательность.

Определение Число	a R называется пределом последовательности {an } при n → ∞ ,
если ε > 0 n > N (ε )		an − a		< ε .
Определение Последовательность {an } стремится к (плюс, минус) бесконечности
при n → ∞ , если M > 0 n > N (M )						an		> M (an > M , an < −M ) .
Обозначение lim an = ∞ ( lim an = −∞, lim an = +∞ ).
n→∞		n→∞				n→∞

Определение Последовательность, для которой существует конечный предел, называется сходящейся. В противном случае она называется расходящейся.

Обозначение lim an := a .

n→∞

ТЕОРЕМА 1) (критерий Коши сходимости последовательности) Последователь ность {an } сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальная:

ε > 0 n > N (ε ) p N an+ p − an < ε .

2) Если предел последовательности существует, то он единственен.

3)	Если	существует предел		lim an = a , то для любой		подпоследовательности
				n→∞
{an	} = an	, an	, ..., an , ... данной последовательности lim an = a .			Обратное утверждение,
k	1	2	k	k →∞	k

вообще говоря, неверно.

4)Сходящаяся последовательность ограничена.

5)Если последовательность не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу), то она является сходящейся.

Пусть lim an

= a, lim bn = b , причем

a, b (−∞, ∞) . Тогда справедливы следующие

n→∞

n→∞

утверждения.

6)

lim an = a

lim (an − a) = 0 .

7) Если n. > N

an ≤ bn , то lim an ≤ lim bn .

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

8)

Пусть n

a

≠ 0 , Тогда

lim a

= 0

lim

1

= ∞ .

n

n

n→∞

n→∞ a

n

9)

lim a = a ≠ 0

lim

1

=

1

. 10)

lim α a

+ β b

= α lim a

+ β lim b .

n

n→∞

n

n→∞ a

a

n→∞

n

n→∞

n

n→∞

n

n

11) Если lim an

= 0 и последовательность {bn } ограничена, то lim an bn

= 0 .

n→∞

n→∞

12) lim a b = lim a

lim b .

13) Если b ≠ 0 , то lim

an

=

a

.

n→∞

n n

n→∞

n

n→∞ n

n→∞ b

b

n

Определение Верхним (нижним) пределом последовательности {an } называется такое

число a R (b R) , что ε > 0

{xn

} (xn ) n, k > N (ε ) an < b + ε , an

> b − ε ,

k

k

( ε > 0 {xn } ( xn ) n, k > N (ε ) an > a − ε , an < a + ε )

k

k

Обозначение lim sup an = lim an := b ,

lim inf an = lim an := a .

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

ЗАМЕЧАНИЕ 1)

lim xn существует тогда и только тогда, когда

lim

xn

≤ lim xn . 2)

n→∞

n→∞

n→∞

lim xn

= lim xn . 3)

lim

xn

lim yn ≤ lim xn yn ≤ lim

xn

lim yn ≤ lim xn yn

≤ lim xn

lim yn .4) Если

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

существует и ≠ 0, ∞ , то

= lim xn lim yn .

lim xn

lim xn yn ≤ lim xn

lim yn ,

lim xn yn

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

____

∞

Определение Числовым рядом называется выражение вида a1 + a2 + ... + an + ... = ∑an , где

n=1

a1 , a2 , ... R.

1

1

∞

1

Определение Обобщенный гармонический ряд 1 +

+ ... +

+ ... = ∑

, p R.

p

p

p

2

n

n=1 n

∞

Определение N -ой частичной суммой ряда ∑an называется сумма

n=1

SN := a1 + ... + aN ,

N = 1, 2,... .

Определение Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный

∞

предел S := lim SN . Этот предел S называется суммой ряда. Обозначение S = ∑an .

N →∞

n=1

Определение Числовой ряд называется расходящимся, если lim SN равен ∞ или не

N →∞

существует.

∞

ТЕОРЕМА 1) (необходимый признак сходимости) Если ряд ∑an сходится, то

n=1

lim an = 0 .

n→∞

an+1

∞

2) (признак

Даламбера) Пусть

n N an ≥ 0,

lim

= q .

Если q < 1

то ряд

∑an

an

n→∞

n=1

сходится;

если

q > 1 ,

то

ряд

расходится;

если

q = 1 ,

то

нужны дополнительные исследования.

_____

Определение Пусть X , Y R. Отображение f : X → Y называется функцией одной

переменной.

ЗАМЕЧАНИЕ Функция может быть задана тремя способами: таблично, аналитически (формулой) и графически.

Определение Функция		f ( x) называется монотонно возрастающей (неубывающей) на
X R , если x1 , x2 X из x1			< x2 следует f ( x1 ) < f ( x2 ) ( f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ).
Определение Функция		f ( x) называется монотонно убывающей (не возрастающей) на
X , если	x1 , x2 X из	x1 < x2	следует f ( x1 ) < f ( x2 ) ( f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) )ЗАМЕЧАНИЕ Если
функция	f ( x) монотонна (то		есть монотонно убывает или монотонно возрастает) на

X , то на множестве значений Yf существует обратная функции f −1 : Y f → X , которая

также является монотонной. Обратное ,вообще говоря, неверно.

Определение Следующие 5 классов функций называются основными элементарными: 1) Степенные y = xα , X = (0, +∞), α R.

2)	Показательные y = a x , X = (−∞, + ∞), a > 0, a ≠ 1 .
3)	Логарифмические y = loga x, X = (0, + ∞), a > 0, a ≠ 1 .
4)	Тригонометрические y = sin x, y = cos x, X = (−∞, + ∞) .
5)	Обратные тригонометрические y = arcsin x, y = arccos x, X = [−1,1] .

Определение Функция называется элементарной, если она получена из основных элементарных с помощью конечного числа, операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и композиции.

Определение Точка x0		называется предельной точкой множества X , если в каждой ε -
окрестности x0	существуют точки из X , отличные от x0 .
Определение Пусть функция y = f ( x) определена на X и x0										- предельная точка множе
ства X . Говорят что f ( x) стремится к числу b (имеет пределом число b ), когда
переменная x стремится к числу x0 , если
		ε > 0 δ > 0 x D( x0 ,δ ) ∩ X f ( x) D(b, ε ) .
Обозначение	lim X f ( x) = b					или lim f ( x) = b , если			f ( x)	определена на некоторой
	x→x0					x→x0
проколотой окрестности точки x0 .
ЗАМЕЧАНИЕ Если f ( x) определена на множестве N и x0										= +∞ , то данное определение
предела совпадет с определением предела последовательности
{ f (n)} : ε > 0 δ > 0 n >			1			f (n) − b		< ε .
			δ
Определение Пусть функция y = f ( x) определена на X и x0										- предельная точка
множества X . Говорят что функция f ( x) имеет предел b справа (слева) в точке
x0 , если ε > 0 δ > 0		x D( x0 ,δ ) ∩ X , x > x0 ( x < x0 )							f ( x) D(b, ε ) .

Обозначение	lim X	f ( x) = b ( lim X f ( x) = b )	или	lim	f ( x) = b (	lim	f ( x) = b ).
	x→x0 +0	x→x0 −0		x→x0 +0		x→x0 −0
Определение	Функция f ( x) ограничена сверху				(снизу)	на	множестве X , если
C R x X	f ( x) ≤ C	( f ( x) ≥ C ). Функция	f ( x)	ограничена на X ,			если она ограничена

на нем и сверху и снизу. Функция f ( x) ограничена при x → x0 , если она ограничена на некоторой окрестности x0 (то есть δ > 0 M > 0 x D( x0 ,δ ) f ( x) ≤ M ). ЗАМЕЧАНИЕ Ограниченная на множестве функция будет ограниченной при x → x0 . Обратное, вообще говоря, неверно.

ТЕОРЕМА 1) (лемма Гейне) lim f ( x ) = b ( ( {xn } X ) ( lim xn		= x0 ) ( lim f ( xn ) = b) ) .
x→x0	n→∞	n→∞
2) Если существует lim f ( x) , то он единственный. 3) Если f ( x)		монотонна и ограниче
x→x0
на на X , то существует конечный предел lim f ( x) . 4)	lim f ( x) существует тогда и
x→x0	x→x0

только тогда, когда существуют пределы функции справа и слева в этой точке и они

равны.

Пусть существуют конечные пределы lim

f1 ( x), lim f2 ( x) . Тогда 5) α , β R

x→x0

x→x0

lim α f1 ( x) + β f2 ( x) = α lim f1

( x) + β lim

f2 ( x) . 6)

lim f1 ( x) f2 ( x) = lim f1 ( x) lim f2 ( x) .

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

f1 ( x)

lim f1 ( x)

7) lim

=

x→x0

, если lim f2 ( x) ≠ 0 . 8) Если f1 ( x)

≤ f2 ( x) , то lim

f1 ( x) ≤ lim f2 ( x)

f

( x)

lim f

x→x0

2

2

( x)

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

_____

Определение Функция f ( x) называется бесконечно малой (БМ) при x → x0 , если

lim

f ( x) = 0 .

Обозначение f ( x) = o(1) .

x→x0

ЗАМЕЧАНИЕ 1)

lim f ( x) = b ( f ( x) − b) - БМ.

x→x0

2) Если f1 (( x), f2 ( x) БМ, то α , β R

α f1 ( x) + β f2 ( x) есть БМ.

3) Если f1 ( x) - БМ, а f2 ( x)

ограниченная функция при x → x0 , то f1 ( x) f2 ( x) есть БМ.

4) Если f ( x) - БМ, а lim f

( x) = b ≠ 0 , то

f1 (x)

- БМ при x → x .

2

1

x→0

f2 ( x)

0

Определение Бесконечно малая f1 ( x) имеют порядок убывания не выше (выше),

чем бесконечно малая f

( x) , если функция

f1 (x)

ограничена при x → x

2

f2 ( x)

0

( lim

f1 (x)

= 0 ).

Обозначения f1 ( x) = O( f2 ( x))

( f1 ( x) = o( f2 ( x)) ).

f

( x)

x→x0

2

Определение Бесконечно малые f1 ( x), f2 ( x)

называется эквивалентными при x → x0 ,

если

lim

f1

(x)

= 1 .

Обозначение f1 ( x) ~

f2 ( x) .

f

( x)

x→x0

2

ЗАМЕЧАНИЕ Под знаком предела бесконечно малые множители можно заменять на эквивалентные, а бесконечно малые слагаемые, вообще говоря, нельзя.

Определение Функция f ( x) называется бесконечно большой (ББ) при x → x0 , если

lim f ( x ) = ∞ .

x→x0

ЗАМЕЧАНИЕ Функция f ( x) есть ББ при x → x0 тогда и только тогда, когда функция

1	есть БМ при x → x .
f ( x)	0

_____

Определение Функцией эн-факториал называется функция, определенная на множестве целых неотрицательных чисел по правилу 0! := 1 , n ! := 1 2 ... n . Пусть m, n N {0} , m ≤ n . Числом сочетаний из m по n называется величина

Cnm =

n

n!

.

=

m

m!(n − m)!

ТЕОРЕМА n N a, b R (a + b)n

= an + Cn1 an−1 b + ... + Cnn−1a bn−1 + bn .

1

n

СЛЕДСТВИЕ Последовательность 1 +

имеет конечный предел.

n

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Можно доказать, что число

1 n

2, 718281828... := lim 1 +

n→∞

n

иррациональное. Его обозначают буквой

e .

1

x

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Существует lim 1

+

= e , который называется вторым

x→∞

x

замечательным пределом.

Определение Натуральным логарифмом числа a называется число ln a := loge a .

1

ln(1 + x)

СЛЕДСТВИЕ 1

lim (1 + y )

= e .

СЛЕДСТВИЕ 2

lim

= 1 .

y

y→0

x→0

x

СЛЕДСТВИЕ 3

lim

a x − 1

= ln a .

x

x→0

_____

Определение Пусть функция y = f ( x)

определена на X ,

x0 X и является предельной

точкой X . Говорят,

что f ( x)

непрерывна в точке x = x0 , если существует предел

lim f ( x) и он равен f ( x0 ) .

x→x0

ЗАМЕЧАНИЕ Функция f ( x) непрерывна в точке x0

тогда и только тогда, когда

lim f = 0, где

f := f ( x) − f ( x0 ) - приращение функции f ( x) в точке x0 .

x→x0

Определение Функция f ( x) называется непрерывной на множестве X , если она

непрерывна в каждой точке этого множества.

ЗАМЕЧАНИЕ Элементарная функция непрерывна на каждом интервале, на котором она определена.

Определение Пусть x0 X и является предельной	точкой.	x0 называется точкой
устранимого разрыва, если существует конечный lim	f ( x) и он	≠ f ( x0 ) .
x→x0

Определение x0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы справа и слева, но они различны.

_____

Определение Точка множества X , в которой f ( x) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения, называется точкой максимума (минимума) функции. При этом значение функции в этой точке называется максимумом (минимумом) функции.

Точки максимума и минимума называются		точками экстремума, а максимум или
минимум – экстремумом функции.
Обозначение max f ( x) := f ( x1 ),	arg max f ( x) := x1		min f ( x) := f (x2 ),	arg min f ( x) := x2 .
x X	x X		x X	x X

ТЕОРЕМА (свойства непрерывных функций) 1) Линейная комбинация непрерывных функций есть функция непрерывная. 2) Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная. 3) Частное непрерывных функций есть функция непрерывная

в точках, где знаменатель не равен 0.

4) Композиция непрерывных функций есть

функция непрерывная. 5) Непрерывная на отрезке [a, b]

функция достигает на нём

своих наибольшего и наименьшего значений. 6) Если f ( x)

непрерывна на [a, b] и

f (a) < 0 < f (b) , то c (a, b) f (c) = 0

СЛЕДСТВИЕ Если f ( x) непрерывна на [a, b] , то

C [ min

f ( x), max f ( x)] ξ [a, b]

C = f (ξ ) .

x [a,b]

x [ a,b]

ЗАМЕЧАНИЕ

Пусть f ( x)

монотонно возрастает (убывает) на [a, b] . f ( x)

непрерывна

на [a, b] тогда и только тогда, когда Yf

= [ f (a), f (b)]

( Yf = [ f (b), f (a)] ).

Определение

f ( x) называется равномерно непрерывной на X , если

ε > 0 δ > 0 x1 , x2 X ,

x1 − x2

< δ ,

f ( x1 ) − f ( x2 )

< ε .

ЗАМЕЧАНИЕ

1) Равномерно непрерывная на X функция будет непрерывной на

X .

Обратное, вообще говоря, не верно. 2) Если

f ( x)

непрерывна на

[0,1] , то

она

равномерно непрерывна на нем.

Определение Методы решения нелинейного уравнения

f ( x) = 0 , где функция

f ( x)

непрерывна,

называются

методами

нулевого

порядка

(методами

одномерной

оптимизации).

АЛГОРИТМ метода деления отрезка пополам.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Определение Пусть функция у = f ( x) определена на X , x0 X и является предельной

′			df		f ( x) − f (x0 )					f
точкой. Если существует конечный предел f	( x0 ) =			(x0 ) := lim		x − x0		=	lim
			dx	x→0					x→0 x
то он называется производной функцией f ( x)	в точке x0 .
ЗАМЕЧАНИЕ Если функция у = f ( x) имеет		производную				в точке			x0 , то она

непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно. Таблица производных:

f

f ′

f

f ′

f

f ′

f

f ′

c

0

loga x, a > 0,

1

t g x

1

arccos x

−

1

a ≠ 1

x ln a

cos2 x

1 − x2

xα

α xα −1

sin x

cos x

ctgx

−

1

arctgx

1

sin 2 x

1 + x2

a x a > 0,

a x ln a

cos x

− sin x

arcsin x

1

arcctgx

−

1

a ≠ 1

1 + x2

1 − x2

_____

	Определение Если существует конечный предел lim		f (x) − f ( x0 )	=: k ,	то говорят,	что
			x − x
		x→x0
			0
	график функции	f ( x) имеет касательную в	точке ( x0 , f ( x0 )) . Уравнение
	Y = k ( X − x0 ) + f ( x0 )	называется уравнением касательной, а число k - угловым