Лекция № 2

задачу можно решить, лишь если нам заранее известна относительная частота рождений однояйцовых и двуяйцовых близнецов одного пола.

Эти относительные частоты можно рассчитать, исходя из того, что пол близнецов различен в 32% всех близнецовых пар. Ясно, что эти пары двуяйцовые, и так как число двуяйцовых пар, в которых пол одинаков, равно числу двуяйцовых пар, в которых пол различен, то еще 32% близнецовых пар

– это двуяйцовые близнецы одного пола; следовательно, двуяйцовые близнецы составляют 64% общего числа близнецовых пар. Остальные 36% -

это однояйцовые двойни.

Из этого следует, что из всех близнецовых пар одного пола 0,36/0,68 –

однояйцовые, а 0,32/0,68 – двуяйцовые.

Следовательно, среди всех пар мальчиков-близнецов от браков О

(мать) АВ (отец)

0,32/0,68 х 1/4 - двуяйцовые и оба имеют группу крови В;

0,36/0,68 х 1/4 - однояйцовые и оба имеют группу крови В.

Итак, вероятность того, что данная пара мальчиков-близнецов – однояйцовые близнецы, если оба имеют группу крови В, равна

Р(одн. | 2В) = 0,36/0,68 х 1/2: (0,36/0,68 х 1/2 + 0,32/0,68 х 1/4) = 9/13.

Есть и еще одно решение этой задачи. Заметим, что если априорные вероятности того, что близнецы одного пола однояйцовые и двуяйцовые,

обозначить соответственно как Р(одн.) и Р(дв.), то решение примет вид:

	Р(одн. | 2B)	P(2B | одн.) P(одн.)
			(17).
		Р(2В | одн.) Р(одн.) Р(2В | дв.) Р(дв.)

Это утверждение представляет собой частный случай теоремы Байеса.

Эту теорему можно обобщить на случай трех и более альтернативных утверждений.

Теорему Байеса можно применять в близнецовом методе даже в тех случаях, когда генотипы родителей неизвестны, но при условии, что мы знаем частоту генотипов в популяции, и что скрещивание происходит случайно.

Формулы полной вероятности и Байеса связаны между собой и дают прямое и обратное решения одной и той же проблемы. Первая прогнозирует возможность появления события А по известным до опыта вероятностям осуществления гипотез. Последняя оценивает вероятность осуществления каждой гипотезы, если событие А произошло.

Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов,

безразлично какой природы, заданного количества множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n

различных элементов и отличающихся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок

Pn = n! (18).

Пример: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3,

если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?

Решение: искомое число трехзначных чисел:

Р3 = 1·2·3=6.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов,

либо их порядком. Число всех возможных размещений

Am n(n 1)(n 2)...(n m 1)

(19).

n

Пример: Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Решение: Искомое число сигналов

A62 6(6 1) 30 .

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы 1 элементом. Число сочетаний:

	Сm n!/ (m!(n m)!)	(20).
	n
Пример: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика,
содержащего 10 деталей?
Решение: Искомое число способов:
С2	10!/ (2!(10 2)!) 45 .
10

Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди n

элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями:

Pn (n1, n2 ,...) n!/ (n1 !n2 !...),

(21)

где n1 n2 ... n .

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы: Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n

способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами.

Правило произведения: Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.