Неопределенные интегралы

−

2t

dt, получим

(t2−1)2

t2

1

1

1

I =

−2 ∫

−

dt = −2 ∫ (1 −

) dt = −2 (t +

) + C =

t2

t2

t

1

x

= −2 (√

+ 1 + √

) + C.

x

x + 1

9г. Подстановки Эйлера. В интегралах вида

√

2

применяются следующие подстановки:

∫ R(x,

ax

+ bx + c)dx

1)

√

√

, если

,

ax

2

√

+ bx + c = ± ax + t

a > 0

2)

√

, если

,

ax

2

c > 0

+ bx + c = xt ± c

3)

a(x − x1)(x − x2)

= t(x − x1), где x1, x2 – действительные корни

квадратного трехчлена

2

.

ax + bx + c

√

Знак выбираем произвольно.

Пример 30.

1 − √

dx.

I =

1 + x + x2

∫

x√1 + x + x2

Выберем вторую подстановку Эйлера: √

= xt + 1. Взведем

1 + x + x2

в квадрат обе части последнего выражения 1 + x + x2

= x2t2 + 2xt + 1,

получим

1 − t + t2

x =

2t − 1

,

dx = 2

.

Далее

1 − t2

(1 − t2)2

√

1 − t + t2

t =

1 + x + x2

1

.

1 + x + x2 =

,

−

√

1 − t2

x

Будем иметь

I =

−2t

dt =

∫

d(1 − t2)

= ln

1

−

t2

|

+ C =

1 − t2

∫

− (

1 − t2

|

x

)

= ln 1

√1 + x + x2 − 1

2 + C.

21

Замечание. Подстановки Эйлера дают громоздкие выкладки, поэтому, если можно, применяют другие методы (см. темы 6 и 8).

Тема 10. Интегрирование тригонометрических выражений

∫

Случай 1. Интегралы вида sinm x · cosn x dx, где m и n целые числа можно вычислить следующими двумя способами:

1.Если хотя бы одно из чисел m или n нечетно, то нужно от нечетной степени "отщепить" одну и подвести под знак дифференциала. Далее сделать очевидную подстановку.

Пример 31.	cos3 x · sin7 x dx = ∫
∫					cos2 x · sin7 x d sin x =
= ∫ (1 − sin2 x) sin7 x d sin x = ∫					sin7 x d sin x − ∫		sin9 d sin x =
	=	sin8 x	−	sin10 x		+ C.
		8			10

2. Если m или n четные числа, то применяются формулы понижения

степени:												1 + cos 2x													1 − cos 2x
					cos2 x =									,					sin2 x =														.
											2																	2
Пример 32.
∫ cos4 x dx = ∫ (											1 + cos 2x		)	2					1				∫	(1+2 cos 2x+ cos2 2x)dx =
															dx =
											2											4
1			∫		1			∫							1			∫		1 + cos 4x										x				1
=					dx +					cos 2xd(2x) +																	dx =					+			sin 2x+
	4					2									4									2						4				4
			1		∫ dx +		1			∫					x				1							x		1
+											cos 4x dx =							+			sin 2x +							+			sin 4x + C.
			8				8								4				4							8			32

Замечание. Имеют место также рекуррентные формулы понижения сте-

пени (см. № 2011, № 2012 в [1]).

22

= R(sin x, cos x),

Случай 2. Интегралы вида

R(sin x, cos x) dx, где R(u, v) рациональная

функция, вычисляются с

помощью следующих подстановок.

∫

1. Если выполняется равенство R(− sin x, − cos x)

=

2R(sin x, cos x), то

подстановка

tg x = t, в этом случае sin2 x =

t

, cos2 x =

1

,

2

2

1+t

1+t

sin x cos x =

t

, dx =

dt

. Этих формул достаточно, чтобы осу-

2

2

1+t

1+t

ществить замену переменных в интеграле.

2.Если R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), то используется подстановка cos x = t.

3.Если R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), то используется подстановка sin x = t.

4. Универсальная подстановка tg x					= t. В этом случае sin x =	2t		,
						1+t	2
	1−t22		2
cos x =		, dx =	2td	.
			2
	1+t		1+t

Универсальную подстановку можно применять для любой рациональной функции R(sin x, cos x), но если подходят замены 1,2,3, то лучше пользоваться ими, выкладки могут быть короче.

Возможны и другие методы интегрирования.

	Пример 33.				cos x − 2 sin x
			I =			dx.
				4 cos3 x + sin2 x cos x
	Поскольку		∫
	R( sin x,	−	cos x) =		− cos x − 2(− sin x)		=
					4(− cos x)3 + (− sin x)2(− cos x)
	−

=

cos x − 2 sin x

4 cos3 x + sin2 x cos x

то, будем использовать подстановку tg x = t (случай 1). Поделив числитель и знаменатель в I и произведя замену tg x = t, получим

I =

1 − 2 tg x dx =

1 −2

2t

dt =

1 − 2t dt =

(

4

t

)

∫

4 cos

∫

+

(1 + t2)

∫

4 + t2

1+t2

1+t2

23

= ∫

dt

− ∫

2t dt

1

t

=

arctg

− ln(t2 + 1) + C =

4 + t2

1 + t2

2

2

1

tg x

=

arctg

− ln(tg2 x + 1) + C.

2

2

Пример 34.

I = ∫

dx

.

cos x(1 + sin x)

Поскольку R(sin x, − cos x) =

1

= −R(sin x, cos x), то будем ис-

− cos x(1+sin x)

пользовать подстановку sin x = t (случай 2), получим

I = ∫

cos xdx

= ∫

d sin x

= ∫

dt

.

cos2 x(1 + sin x)

(1 − sin2 x)(1 + sin x)

(1 − t2)(1 + t)

Получен интеграл от рациональной дроби. Будем иметь

1

1

A

B

C

=

=

+

+

=

2

(1 − t)(1 + t)

2

1 − t

(1 + t)

2

(1 − t )(1 + t)

1 + t

= A(1 + t)2 + B(1 − t) + C(1 − t)(1 + t). (1 − t)(1 + t)2

Числители дробей слева и справа равны при любых t. Подставим три раз-

ных t:
при t = −1		1 = 2B,
при t = 1		1 = 4A,
при t = 0 1 = A + B + C.
Из полученной системы имеем A = 1 , B = 1																							, C =					1 , т.о. получим
																4				2								4
			1		∫	dt		1					∫					dt					1				∫		dt
	I =						+																+							=
			4			1 − t			2								(1 + t)2									4			1 + t
			1					1								1				1
	= −				ln |1 − t| −													+			ln |1 + t| + C =
			4							2					1 + t					4
	1							1								1							1
= −		ln |1 − sin x| −																		+					ln |1 + sin x| + C.
	4							2 1 + sin x																4

24

§3. Задания для самостоятельной работы

Задачи сгруппированы по темам. Номер задач указаны по задачнику [1]. Тема 1. 1628-1650 четные номера.

Тема 2. 1656-1666 четные номера. Тема 3. 1675-1697 четные номера.

Тема 4. 1766, 1767, 1768, 1769, 1771, 1774. Тема 5. 1780, 1787, 1799.

Тема 6. 1792, 1795, 1800, 1803, 1804, 1807, 1812, 1814, 1829, 1830. Тема 7. 1837, 1838, 1840, 1847, 1851, 1852, 1853(а,б).

Тема 8. 1867, 1869, 1871, 1878, 1883. Тема 9а. 1926, 1927, 1928, 1929. Тема 9б. 1931, 1933.

Тема 9в. 1981, 1983, 1984, 1985. Тема 9г. 1966-1969.

Тема 10а. 1991, 1993, 1995, 1999.

Тема 10б. 2025, 2027, 2028, 2029, 2032, 2038.

Список литературы

1.Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу / Б. П. Демидович. - М.: Физматлит, 2002. - 558 с.

2.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. Т.2. - СПБ: Лань, 1997.

3.Кудрявцев Л. Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды.: Учебное пособие для вузов / Под редакцией Л. Д. Кудрявцева. - М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит. 1986. - 528 с.

25

Учебное издание

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Учебно-методическое пособие для вузов

Составители: Украинский Павел Сергеевич, Шишкина Элина Леонидовна, Виноградова Галина Анатольевна

Издано в авторской редакции

Подп. в печ. 27.11.2013. Формат 60×84/16.

Усл. печ. л. 1,5. Тираж 50 экз. Заказ 1214.

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета.

394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс): [phone] http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: [e-mail]

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра

Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. [phone]