Башуров Методика решения математических задач 2011

гонометрических функций {sin nx, cos nx}, n = 0,1,…, а коэффициенты ряда выступают в роли координат в этом базисе.

Ряд Фурье для функции f(x) на промежутке длиной 2l имеет вид

		a	0	∞		nπx		nπx
	f (x) ≈			+ ∑ an cos			+bn sin			,
		2				l		l
				n=1

а коэффициенты вычисляются по формулам:

1 l

a

1 l

f (x)cos

nπx

dx ,

a =

f (x)dx ,

n

=

0

l −∫l

l −∫l

l

b

=

1 l

f (x)sin

nπx

dx .

l −∫l

n

l

(9.4)

(9.5)

Теорема Дирихле указывает, к чему именно сходится этот ряд. Теорема 9.7 (теорема Дирихле). Пусть f (x) – кусочно-

непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция, заданная на промежутке [–l, +l]. Тогда соответствующий ряд Фурье на промежутке [–l, +l] сходится к функции f (x) во всех точках непрерывно-

сти, к значению f (xk + 0) + f (xk − 0) в точках разрыва xk и к полу- 2

сумме f (l) + f (−l) на границах промежутка [–l, +l]. 2

Если на промежутке [–l, +l] функция нечетна, то в разложении Фурье будут присутствовать слагаемые только с синусами, а если четная, то в разложении Фурье будут присутствовать только ко-

синусы. В обоих случаях речь идет о ряде Фурье на промежутке

[–l, +l].

Обратите внимание на то, что термин «ряд Фурье» без указания промежутка несодержателен.

9.2. Примеры решения задач

∞ 1

Пример 9.1. Определить, сходится ли числовой ряд ∑n=1 n2 +1 .

Поскольку ряд положительный, попытаемся применить к решению задачи признак Коши:

111

lim n			1			=1
			n2 +1
n→∞
или признак Даламбера:		n2 +1
lim							=1.
n→∞ (n +1)2				+1

Оба признака не дают ответа на поставленный вопрос. Попытаемся применить интегральный признак. «Простой» за-

меной n на x получаем функцию

f (x) =

1

,

монотонно убы-

x2 +1

x = n дающую

вающую

и при

соответствующий

член

ряда

f (n) =

1

.

n2 +1

∞

dx

∞

π

Рассматривая

несобственный интеграл

∫

= arctg x

=

,

x

2

+1

1

4

1

видим, что он сходится, а значит, сходится и исходный ряд.

∞

1

Пример 9.2. Определить, сходится ли ряд ∑

.

n

2

+sin n

n=1

Поскольку ни один из признаков (Даламбера, Коши, интеграль-

ный – последний из-за «плохой» функции

1

) не помогает

x2 +sin x

решению задачи, попытаемся сначала сформировать «подозрение» о поведении ряда.

Будем считать, что ряд сходится. Попробуем сконструировать мажоранту (миноранта бесполезна при нашем предположении о сходимости ряда), причем такую, относительно которой сходимость мажорантного ряда доказать достаточно просто. В нашем

			∞	1
случае мажорантный ряд выберем в виде ∑						. Последний
				(n −1)	2
		1
∞	dx
ряд по интегральному признаку ∫			сходится, а стало быть, и
	(x −1)	2
1

исходный ряд сходится.

112

	∞	sin n
	Пример 9.3. Выяснить сходимость ряда ∑		.
	1	n!

Ряд не знакопостоянен и не знакопеременен – синус меняет свой знак произвольно. Значит, ни один из перечисленных в п. 9.1 признаков не удастся применить к исследованию вопроса о сходи-

∞			sin n
мости ряда. Остается одно – перейти к ряду ∑						, составлен-
			n!
1

ному из абсолютных величин, и исследовать его сходимость. По-

∞ 1

следнее легко сделать, используя мажорантный ряд ∑1 n! . Сходи-

мость последнего установить просто, применяя признак Даламбера. Из сходимости ряда, составленного из абсолютных величин членов исходного ряда, следует абсолютная (а значит, и простая) сходи-

мость исходного ряда.

Пример 9.4. Найти область сходимости степенного ряда

∞

∑2k (1− x)2k .

1

Введем для удобства обозначение z = (1− x)2 . Ряд принимает

∞

стандартный вид ∑2k zk . Для определения радиуса сходимости

1

1

применим формулу (9.3). Получим радиус сходимости R = 2 .

Так как

z ≥ 0 ,

то для

z

1

ряд

∞

k

z

k

сходится,

а ряд

0,

∑2

2

1

∞

k

2k

1

1

∑2

(1

− x)

сходится для всех x 1

−

,1

+

.

2

1

2

Остается

проверить

на

сходимость

две

крайние

точки:

1

1

1

∞

x =1−

и x =1+

. Положим x =1−

в ∑2k (1− x)2k

и по-

2

2

2

1

∞

лучим числовой ряд ∑1, расходимость которого очевидна. При

1

113

x =1+ 12 вывод прежний – ряд расходится. Следовательно, об-

ласть сходимости исходного ряда представляет собой интервал

		1		1
	1−		,1+		.
		2		2

Пример 9.5. Пусть дана на замкнутом промежутке [–π, π] функция f (x) = x. Требуется разложить эту функцию в ряд Фурье, сходящийся всюду на промежутке [–π, π] к исходной функции.

Поскольку этапы 1 и 2 решения формально уже реализованы (см. гл.1, все необходимые теоремы и формулы перечислены в ней), то переходим сразу к этапу 3.

Прямое применение формул (9.4), (9.5), т.е. разложение в ряд Фурье на заданном в условии задачи промежутке, к успеху не приведет – на концах промежутка ряд будет сходиться к полусумме значений функции f(x) = x, а эта полусумма не равна значению функции в этих точках.

Обратимся к условию задачи и обратим внимание на ее формулировку: в ней не указано, на каком промежутке строить ряд. Поэтому у нас появляется возможность выбрать другой промежуток, больший, чем тот, на котором задана функция, например [–2π, 2π]. Но на «новых» точках функция не определена! Доопределим функцию абсолютно произвольным образом, но так, чтобы она оставалась непрерывной на новом промежутке [–2π, 2π].

Теперь применим формулы (9.4) и (9.5). По теореме Дирихле построенный ряд обязан сходиться всюду (!) на промежутке [–π, π] к заданной функции.

Этапы 4 и 5 решения очевидны, укажем только, что если условия экзамена или семинара требуют проверки умения брать интегралы, вы должны продолжить заданную функцию не «совсем» произвольно, а так, чтобы суметь взять необходимые интегралы, конечно, не забыв при этом, что продолженная вами функция должна быть непрерывной.

114

9.3. Задачи для самостоятельного решения

Установить, сходятся ли ряды:

∞

1

3

9.1.

∑n2

en

−

1 .

n=1

9.2.

∞

nsin n

.

∑

n=1 n4 +1

9.3.

∞

n!

.

∑

(2n)n

n=1

∞

7

3n

9.4.

∑

.

n=3(2n −5)!

9.5.

∞

3n2 −1

.

∑

2n

2

n=1

n

9.6.

∞

3 +17n2

.

∑

n2 +5n

n=1

9.7.

∞

3n n!

.

∑

nn

n=1

	∞		1									1
9.8.	∑ en ln 1 +																		.
	n=10											n2
9.9.	∞					1												.
	∑
											3
	n=110cos n + n
														2
9.10.	∞	sin 5n							.
	∑
				n
	n=1
9.11.	∞	1+ 2sin n2
	∑															.
						1					3
	n=1nsin								+ n
												2
						n
	∞		5 3n + 2								n
9.12.	∑n										.
										3
	n=1		4n +
	∞			3n n							n + 2									n2
9.13.	∑																			.
	n=1 n +5								n +3

В следующих задачах найти области сходимости рядов:

	∞		ln		2		n
9.14.	∑								xn .
	n=1			n
	∞		2	n
9.15.	∑						xn .
			n!
9.16.	n=1
	∑(2n2n)! xn .
	∞
	n=1		n
	∞			n!
9.17.	∑									xn .
				2
	n=1		(2n)

9.18. ∑∞ (n!)2 xn . n=1 (2n)!

∞x2n

9.19.∑n=1 2n (n −1) .

∞sin nx

9.20.∑ n2 .

n=1

9.21.∑∞ 1+ 1 n2 xn . n=1 n

115

∞

2n +sin 1

n

9.22.

∑

n

(x

−1)

.

3n −cos

π

−

1

n=1

2

n

2

∞

(n − 2)

3

9.23.

∑

(x +3)2n .

2n +3

n=1

∞

3n +1

9.24.

∑

(x − 2)n .

3

n=1

(5n −8)

9.25.

−1

+

x2

−

x4

+

x6

−….

4 3 3 42 4 4 43 5 5

Построить ряд Фурье сходящийся всюду на [a,b] к функции

f(x):

2

1

x

,

x 0,

,

2

9.26. a = 0, b =1 ,

f (x) =

1

x

1

,1 .

,

4

2

1

1, x

0,

,

2

9.27. a = 0, b = 1,

f (x) =

1

2, x

,1 .

2

9.28. a = 0, b = 2,

2

,

x [0,1],

f (x) = x

cos 2πx,

x (1,2].

−x, x [−1,0],

9.29. a = 1, b = 2,

f (x) =

1

x +1,

x (0,2].

−

4

1

x +

x [0,2),

−

1,

2

9.30. a = 0, b = 2π, f (x) =

1

x

2(π−1) ( 2 −1), x [2,2π].

116

						1,	x	0,			1		,
											2
9.31.	a = 0, b = 1,		f (x) =										Можно ли это сде-
									1
						2,	x				,1 .
									2
лать на промежутке			1
		−		, 2	?
			2

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999.

2.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. СПб.:

Лань, 2006.

3.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2.

М.: Наука, 1972.

117

Глава 10. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10.1.Определения, основные теоремы и формулы

1.Если в функции многих переменных f (x1, x2, x3 … xn) приписать первому аргументу смысл аргумента x какой-то функции y (x),

в роли которой выступает второй аргумент функции f (x1, x2, x3 … xn), а все прочие аргументы объявить производными этой новой функции y (x) по аргументу x и приравнять функцию

f (x, y, y' … y(n)) к нулю, предварительно переобозначив	первона-
чальные аргументы x1, … xn, то получим выражение
f (x, y, y' … y(n)) = 0,	(10.1)

которое называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Если нет сомнений, что речь идет об обыкновенном дифференциальном уравнении, то в этой главе для краткости будем употреб-

лять термин «уравнение».

Определение 10.1. Порядком уравнения (10.1) называется наибольший номер производной y(n)(x), входящей в это уравнение.

Определение 10.2.	Уравнение (10.1), имеющее вид
y(n)(x) = ϕ(x, y, y' … y(n-1)),	называется разрешенным относительно
старшей производной.

Здесь мы будем рассматривать и предлагать к решению только

такие уравнения.

Определение 10.3. Уравнение (10.1) называется линейным, если оно может быть записано в виде

n
∑ak (x) y(k ) = f (x) .	(10.2)

k =0

Определение 10.4. Уравнение (10.1) называется однородным,

если при y = y' = y(n) ≡ 0 функция f (x, y, y' … y(n)) тождественно равна нулю при любом x. Уравнение, записанное в виде 10.2, называ-

ется однородным, если f (x) ≡ 0

Определение 10.5. Частным решением уравнения (10.1) называется такая функция y (x), после подстановки которой вместе со

118

всеми своими нужными производными в уравнение (10.1) оно об-

ращает его в тождество.

Определение 10.6. Общим решением уравнения (10.1) называется множество частных решений этого уравнения.

Общее решение уравнения n-го порядка описывается одной функцией, зависящей от n произвольных постоянных. Проще говоря, общее решение зависит от n произвольных постоянных. Часто общее решение называют первым интегралом.

Сначала мы остановимся только на уравнениях первого порядка f (x, y, y') = 0.

Определение 10.7. Уравнение f (x, y, y') называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

dydx = ϕ(x)ψ( y) .

Общее решение этого уравнения можно получить следующим

способом		dy
				= ϕ(x)dx ,
	ψ( y)
	∫	dy			= ∫ϕ(x)dx .	(10.3)
		ψ( y)

Если удается выразить интегралы в элементарных функциях, то решение записывается в виде ψ( y) = Φ(x) +C , где C – единствен-

ная произвольная постоянная. Впрочем, если не удается, то говорят, что решение найдено в «квадратурах», поскольку интегрирование в (8.3) не представляет трудностей для получения сколь угодно точного приближенного решения.

Практически все методы и приемы нахождения общего решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка с помощью замен зависимой и независимой переменных сводятся именно к уравнению с разделяющимися переменными. Перечислим некоторые приемы нахождения решений.

А. Однородные уравнения. Эти уравнения имеют вид

y′ = f y , (10.4)

x

119

а также в виде M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 , где M (x, y), N (x, y) –

однородные функции одной и той же степени. Вводя новую пере-

менную u = xy вместо y и подставляя в (10.4), получим уравнение с

разделяющимися переменными

xu′+u = f (u) .

Б. Решение линейных неоднородных уравнений первого порядка разбивается на два этапа, каждый из которых представляет собой решение определенного однородного уравнения с разделяю-

щимися переменными.
Пусть требуется решить уравнение
dy + a(x) y = f (x) .			(10.5)
dx
Этап 1 решения заключается в том, что решается однородное
линейное уравнение первого порядка	dy	+ a(x) y = 0	. Его общее
решение записывается в виде	dx
y = C exp (−∫a(x)dx) ,			(10.6)

где С – произвольная постоянная.

Этап 2 состоит в том, что мы отказываемся от «постоянства» нашей произвольной постоянной в решении (10.6), т.е. считаем ее функцией y и подставляем это решение в исходное, неоднородное, уравнение (10.5) C′ = f (x) .

Полученное уравнение для C также является уравнением с разделяющими переменными, и его решение, которое можно записать

в виде C(x) = ∫ f (x)dx , содержит одну «настоящую» произвольную

постоянную, скрытую в знаке «неопределенного интеграла».

В инженерной практике, физике наиболее часто встречаются уравнения второго порядка. Мы рассматриваем уравнения более общего вида

	n−1
y(n)	+ ∑ak (x) y(k ) = f (x) ,	(10.7)
	0

120