Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

= −

ε'

+

ε'

1+

8y

.

(1.206)

2

2

ε'2

Если ввести обозначение δ

=

= −

1

+

1

1+

8y

, то форму-

ε

'

2

2

2

ε '

лы (1.204) и (1.205) также приобретут простой вид:

L*

=

4PcP

eε2'(s−sP ) sh ε ' (s

− s)(1+2δ)

(1.207)

P

s

y≠0

ε '(1+2δ)

2

s=sP

2Pc

P

eδε 'sP −1

1

∑ L*s

=

1−

+

2

+2δ)

δ

R e

δε 's

s=0

ε ' (1

P

y≠0

P

(1.208)

1−e−(1+δ )ε 'sP eδε 'sP

+

R

−1 .

1+

δ

0

Для компенсации потерь рабочего вещества в разделительных ступенях необходимо увеличить суммарный поток в каскаде. Выражение (1.207) позволяет оценить, во сколько раз следует увеличить поток на входе в s -ую ступень идеального каскада при наличии потерь:

ε' sp

~

s

L* (δ~)

sh

(1

+ sδ )(1

−

)

1

2

sp

s

=

~

(1.209)

*

ε' sp

s

Ls (0)

1

+ 2δ

sh

(1 −

)

2

sp

L* (δ )

является функцией параметра δ , который в

Величина

s

*

L (0)

s

y

yL

свою очередь зависит от отношения

=

, определяющего

ε'2

ε'2 L

отношение потерь к разделительной способности ступени. Анализ выражения (1.209) свидетельствует о том, что наиболь-

шие потери имеют место в головных ступенях каскада.

81

Зависимость относительного изменения суммарного потока от величины εy'2 представлена на рис. 1.13. Видно, что при величине

потерь y = 0,025 относительное возрастание суммарного потока

составляет примерно 15%.

Величина концентрации ценного изотопа в потоке отбора при фиксированном значении относительного увеличения суммарного потока оказывается весьма чувствительной к изменению величи-

ныεy'2 , что наглядно демонстрирует зависимость, приведенная на рис. 1.14.

Рис. 1.13. Зависимость относительного изменения суммарного потока в идеальном каскаде от величины

yε'2 . cP = 90%, y – доля потока Ls , теряемая в ступени [1]

Рис. 1.14. Зависимость концентрации в отборе идеального каскада

от величины yε'2 при фиксирован-

ном значении относительного увеличения суммарного потока, равном

20% [1]

82

1.9.Прямоугольно-секционированные (ПСК) и прямоугольные каскады (ПК) для разделения бинарных смесей [4, 5, 7]

1.9.1. ПСК и ПК в случае «слабого обогащения»

Очевидно, что осуществить непрерывное изменение потока по мере увеличения концентрации, как это должно происходить в идеальном каскаде, практически невозможно. Поэтому это изменение осуществляют ступенчато, вследствие чего каскад, аппроксимирующий идеальный, представляет собой определенное число секций, в каждой из которых поток постоянен, но отличается от потока в другой секции (рис. 1.15).

L

c

W,cw

F,cF

P,cp

Рис. 1.15. Распределение потока в идеальном каскаде и его аппроксимация прямоугольно-секционированным каскадом из 6-ти секций

Каждая секция представляет собой участок из определенного числа ступеней, через каждую из которых проходит один и тот же поток разделяемой смеси. Такой каскад называют прямоугольносекционированным каскадом (ПСК).

Как же осуществляют изменение потока между отдельными секциями ПСК?

В точках соединения двух прямоугольных секций их стыковка осуществляется следующим образом (рис. 1.16).

83

Рис. 1.16. Схема двух соседних секций в обогатительной части прямоугольносекционированного каскада

Обогащенный поток L'i−1 , выходящий из последней ступени i −1-й секции делится на две части: одна часть L'i поступает на питание первой ступени i -ой секции, а вторая частьL'i−1 - L'i смешивается с обедненным потокам L"i секции i и возвращается на

L

вход последней ступени i −1-й секции ( L'i = L"i = 2i ).

В классической монографии К.Коэна [1] доказана теорема: при отклонении потока реального каскада L от идеального (оптималь-

ного) L*	на величину eL* ,		L − L*			= eL* , отклонение интегрального
потока I	по каскаду от суммарного потока идеального каскада I*
пропорционально e2 I* и
		I − I*				≤ e2 I* .	(1.210)

Из этого следует, что даже при больших отклонениях потоков от потоков в идеальном каскаде, например, e = 0, 2 , результирующее

отклонение суммарного потока I от I* составит всего несколько процентов: e2 = 0,22 = 0,04 , т.е. 4%. Поэтому сумма потоков в

ПСК, аппроксимирующая соответствующую часть идеального каскада, незначительно отличается от суммарного потока в идеальном каскаде. Последнее обстоятельство позволяет строить ПСК, близкие по свойствам к идеальным.

84

Величина суммарного потока ПСК ∑ L j S j будет больше суммы

потоков соответствующего идеального каскада. Мерой проигрыша служит коэффициент полезного действия формы – отношение суммарного потока идеального каскада к суммарному потоку ПСК [7]:

η =	∑L*	=	8PФ(cP ,cF ,cW )	=	PФ(cP ,cF .cW )			, (1.211)
	∑Lj S j		ε 2 ∑Lj S j		∑	ε 2 Lj	S j
						8

где S j – число ступеней в j-й секции.

Из (1.211) видно, что КПД формы равен также отношению работы разделения, которую каскад совершает в единицу времени (нагрузки) к сумме разделительных способностей ступеней, т.е. характеризует использование разделительной способности каскада. Если считать, что все ступени компонуются из одинаковых элементов, то (1.211) можно переписать в виде

η =		PФ(cP ,cF ,cW )		,	(1.212)
		ZδU Э
где Z – суммарное число элементов в каскаде, δU Э					– раздели-
тельная способность элемента, и
Z =	PФ(cP ,cF ,cW )				(1.213)
		ηδUЭ

Из (1.213) непосредственно следует, что разделительная способность элемента при заданных внешних условиях (величинах внешних потоков и концентраций) и КПД формы определяет полное число элементов в каскаде, а значит, общие затраты на производство изотопного продукта. Тем самым разделительная способность является важнейшей характеристикой элемента.

Связь между внешними и внутренними параметрами произвольной i -й секции ПСК можно найти, используя уравнение (1.85) при

L = Li = const .

S	c
Si = ∫i	ds = ∫ik
0	ciн

c

dc

1

1

+ Xi

dc

dc

= ∫ik

=

ln

, (1.214)

2P

εΔΨi

c

εc(1

−c) −

(cP −c)

1

− Xi

ds

iн

Li

85

где Si – число ступеней в i -й секции, ciн – концентрация ценного

изотопа в начале секции, cik				– концентрация ценного изотопа в
конце секции;			(cik −cií )ΔΨi
Xi	=									;
		(1	+Ψi )(cií
				+cik ) −2cií cik −2ΨicP
		ΔΨ =[(1+ Ψ )2 − 4Ψ c						P	]1 2 ;
			i		i		i
			Ψ	i	=	2P	.
						εL
						i

В области малых концентраций ( c <<1, cP <<1) решение будет иметь более простой вид

	S	i	=	1	ln	(1+ Ψi )cik		− Ψi cP		.	(1.215)
				ε(1+ Ψ )		(1+ Ψ )c	iн	− Ψ c	P
				i		i		i

Формулы (1.214) и (1.215) справедливы и для секцией, расположенных в отвальной части каскада, если произвести в них следующие замены:

P → −W , cP → cW

(1.216)

Частным случаем ПСК является прямоугольный каскад (ПК). Прямоугольным называется каскад с постоянной производительно-

стью L на всех ступенях каскада. Если обозначать через SP и SW

числа ступней в отборной и отвальной частях ПК, то решение уравнений (1.214) и (1.215) может быть представлено в виде:

	S	i	=	1	ln	1	+ X		(1.217)
				εΔΨ			− X
					1
где для отборной части каскада( Si					= SP )
X =				(cP − cF )ΔΨ					,
	(1+ Ψ)(cP + cF ) − 2cP cF − 2ΨcP

ΔΨ =[(1+ Ψ)2 − 4ΨcP ], Ψ = 2εLP ,

86

а для отвальной части ( Si = SW )

X =

(cF − cW )ΔΨ

(1+ Ψ)(c + c

F

) − 2c c

F

− 2Ψc

W

2W

W

W

Ψ =

εL

В случае очень «короткого» ПК, когда

cP −cF

<<1 и

cF −cW

cF

<<1, можно считать, что c(1−c) ≈ const = cF (1−cF ) и

cF

решения уравнений (1.217) принимает вид:

SP =

cF (1 − cF )

,

(1.218)

c

F

(1 − c

F

) −

2P

(c

P

− c

F

)

εL

SW =

cF (1 − cF )

.

(1.219)

2W

c

F

(1 − c

F

) −

(c

F

− c )

εL

W

1.9.2.Противоточная ступень. Представление разделительной колонны как прямоугольного каскада из противоточных ступеней

Противоточной разделительной ступенью назовем разделительную ячейку, в которую встречно подают два потока питания L1 и

L2 , и из которой выводят два потока – обогащенный L1′ и обедненный L2′′, причем концентрации ценного компонента в выходящих потоках c′ и c′′ связаны соотношением

	c′	/		c′′	= q	,	(1.220)
	1−c′		1−c′′
					t

где qt – «первичный» (термодинамический) коэффициент разделения.

87

Например, в случае дистилляции покидающие ступень пары равновесны стекающей из этой ступени жидкости так что концентрации в этих потоках связаны соотношением (1.220). При этом величина qt показывает, во сколько раз относительная концентрация ценного изотопа в одной фазе превышает эту концентрацию в другой фазе, при условии, что фазы приведены в соприкосновение и находятся в состоянии термодинамического равновесия.

Любая разделительная колонна может быть схематически представлена рядом противоточных ступеней (рис. 1.17). Такую ступень обычно называют «теоретической», а длину участка колонны, на которой относительная концентрация ценного изотопа возрастает в qt раз принято называть «высотой эквивалентной теоретической ступени» или сокращенно ВЭТС.

Рис. 1.17. Разделительная колонна как последовательность противоточных разделительных ступеней. ВЭТС – высота эквивалентной теоретической ступени, на которой концентрация ценного компонента увеличивается в qt раз

Как правило, в разделительных колоннах поперечный (радиальный) поток вещества отсутствует, так что для всех ступеней выполняется соотношение

88

L1 = L1′ и L2 = L2′′.

(1.221)

Покажем, что при сделанных предположениях противоточная колонна представляет собой прямоугольный каскад, теория которого рассмотрена в разделе 1.9.1. Введем обозначения

	L = L1 + L2 ,				(1.222)
θ =		L1	, 1−θ =	L2	(1.223)
		L		L

и понятие средней концентрации cs на входе в s-ую ступень

Lcs = L1c1s + L2c2s ,

(1.224)

где c1s , c2s – концентрации ценного изотопа на входе в s-ую сту-

пень.

С учетом выражения (1.223) концентрацию cs можно переписать в виде

cs =θc1s +(1−θ)c2s .

(1.225)

Уравнения материального и компонентного баланса для произвольной s-й ступени (рис. 1.18) в обогатительной части колонны (каскада из противоточных ступеней), работающей в стационарном режиме, запишутся в виде

L1 − L2	= P ,	(1.226)
L1cs′ − L2cs′′ = L1c1s − L2c2s		= PcP ,(1.227)
где cs′ и cs′′	– концентрации ценного

Рис. 1.18. Схема соединения противоточных ступеней в колонне («внутреннее каскадирование»)

изотопа в выходящих из s-й ступени потоках;

P – поток отбора из колонны;

cP – концентрация ценного изотопа

впотоке отбора.

Сучетом (1.223) соотношение (1.226) можно переписать в виде

θ −(1−θ) =	P	.	(1.228)
	L

89

Откуда следует, что

θ =	1	1	+	P	.	(1.229)
	2			L

Аналогично, соотношение (1.227) может быть записано как

θc′ −(1−θ)c		=θc	−(1	−θ)c′′ =	P c		.	(1.230)
s	2s	1s		s	L	P

Используя понятие средней концентрации (1.225) и обозначение для приращения концентрации ценного компонента на s-й ступени

δs = cs′ −c1s , преобразуем выражение (1.230) к виду

θδ	s	+2θc	=	PcP	+c .	(1.231)
		1s		L	s

Используя определение коэффициента разделения qt (1.220), можно найти разность концентраций ценного изотопа в потоках, выходящих из ступени

c′ −c′′ =	qt cs′′		−c′′ =	(qt −1)cs′′(1−cs′′)		.	(1.232)
	1+(q −1)c′′
s s			s	1+(q −1)c′′
	t	s		t	s

Комбинируя выражения (1.232) с уравнением баланса (1.230) и

учитывая, что cs′ = c1s +δs , получаем
c	=		1−θ	δ		+	(1−θ)(qt −1)cs′′(1−cs′′)	−	PcP	. (1.233)
							(1−2θ)[1+(qt −1)cs′′]		(1−2θ)L
1s		1−2θ			s

Подставляя (1.233) в (1.231) с учетом (1.229), после несложных

алгебраических преобразований находим

P (qt −1)cs′′(1−cs′′)

2P(cP

−cs )

δs

= 1

−

−

.

(1.234)

1+(qt −1)cs′′

P

L

L 1

+

L

Для случая слабого обогащения на ступени должны выполнять-

ся следующие условия:

P

q

−1 =ε

<<1,

c′′(1

−c′′) ≈ c′(1

−c′) ≈ c

(1

−c

),

<<1.

t

t

s

s

s

s

s

s

L

Учитывая также, что число теоретических ступеней в колонне для получения высококонцентрированного изотопа велико, прираще-

90