Механика Прикладная механика лекции

ках поперечного сечения балки (рис. 7.1), относительно нейтральной оси

M x ydA.

A

Данное выражение представляет собой статическую сторону задачи о плоском изгибе.

Однако его нельзя использовать для определения нормальных напряжений, так как неизвестен закон распределения напряжений по сечению.

Геометрическая сторона задачи о плоском изгибе. Выделим двумя поперечными сечениями элемент балки длиной dz (рис. 7.2). Под нагрузкой нейтральная ось искривляется (радиус кривизны ), а сече-

ния поворачиваются относительно своих нейтральных линий на угол d .

m

	y
		d

z

dz

Рис.7.2

Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом остается неизменной

dz d .

Определим длину отрезка волокон, отстоящего от нейтрального слоя на расстоянии y

dz1 y d .

Относительное удлинение в этом случае будет

	dz1 dz		y dz		y
						.
	dz		dz

31

	Зависимость	y	отражает геометрическую сторону задачи о

плоском изгибе, из которой видно, что деформации продольных волокон изменяются по высоте сечения по линейному закону.

Физическая сторона задачи о плоском изгибе. Используя закон Гука при осевом растяжении, получаем

E E y .

Подставив в выражение, отражающее статическую сторону задачи о плоском изгибе, значение , получаем

M x ydA E					y	ydA	E	y 2 dA	E	I x ,
A			A				A
откуда	1		M x	.
			EI x

Подставив значение 1 в исходную формулу, получаем

E	M x	y	M x	y.
	EI x		I x

Данное выражение отражает физическую сторону задачи о плоском изгибе, которое дает возможность рассчитать нормальные напряжения по высоте сечения.

Хотя это выражение получено для случая чистого изгиба, но как показывают теоретические и экспериментальные исследования, оно может быть использовано и для плоского поперечного изгиба.

Нейтральная линия. Положение нейтральной линии определим из условия равенства нулю нормальной силы в сечениях балки при чистом изгибе

N dA		M x	ydA.
A	A	I x

32

Так как M x 0 и I x 0 , то необходимо, чтобы нулю был равен интеграл ydA . Данный интеграл представляет собой статический мо-

A

мент сечения относительно нейтральной оси. Так как статический момент сечения равен нулю только относительно центральной оси, следовательно, нейтральная линия при плоском изгибе совпадает с главной центральной осью инерции сечения.

Касательные напряжения. Касательные напряжения, которые возникают в сечениях балки при плоском поперечном изгибе, определяются по зависимости:

QSxo ,

bIx

где Q поперечная сила в рассматриваемом сечении балки;

S xo статический момент площади отсеченной части сечения отно-

сительно нейтральной оси балки;

b ширина сечения в рассматриваемом слое;

I x момент инерции сечения относительно нейтральной оси. Касательные напряжения равны нулю в крайних волокнах сечения

и максимальны в волокнах нейтрального слоя.

Расчет балок на прочность при изгибе. Прочность балки будет обеспечена, если будут выполняться условия:

max ;

max .

Максимальные нормальные напряжения при изгибе возникают в сечениях, где действует максимальный изгибающий момент, в точках сечения наиболее удаленных от нейтральной оси

			M x max	y			M x max	.
	max				max
			I x				Wx

Максимальные касательные напряжения возникают в сечениях балки, где действует максимальная поперечная сила

			Qmax S xo	.
	max
			bI x

33

Касательные напряжения max обычно малы по сравнению с max

и в расчетах, как правило, не учитываются. Проверка по касательным напряжениям производится только для коротких балок.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

При расчете балок на прочность необходимо знать характер изменения изгибающего момента и поперечной силы вдоль оси балки и знать положение опасного сечения. С этой целью строят эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Поперечная сила Qy в сечении численно равна алгебраической

сумме всех внешних сил справа или слева от сечения.

Изгибающий момент M x в сечении численно равен алгебраиче-

ской сумме моментов внешних сил справа или слева от сечения.

Если внешняя сила стремится повернуть отсеченную часть по часовой стрелке относительно рассматриваемого сечения, то поперечная сила положительна (рис. 7.3).

Изгибающий момент будет положительным, если при действии момента внешних сил балка искривляется выпуклостью вниз (рис. 7.4).

F		Q 0						Q 0
										F
					F
							F
							Рис. 7.3
			M 0
m						m	m

m

M 0

Рис. 7.4

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов рассмотрим на конкретном примере.

Пусть на балку (рис. 7.5) действует внешний изгибающий момент m 6кН м и внешняя сила F 12кН , l 1м . Определим реакции в опорах А и В . Составим уравнения равновесия моментов всех внеш-

них сил относительно опор А и В

М А 0; F l m RB 3l 0; M B 0; RA 3l F 2l m 0,

34

откуда

R

F l m

12 1 6

2кН; R

F 2l m

12 2 1 6

10кН.

B

A

3l

3 1

3l

3 1

Проведем сечения на каждом характерном участке и определим значения поперечной силы Qy и изгибающего момента M x .

RA	1	F	2	m	3
A					B
					B
	l		l		l
	z1		z2		z

Qy

M x

Рис. 7.5

В сечении 1

Qy1 RA ; M x1 RA z1 , где 0 z1 l.

При z1 0м; Qy1 10кН; M x1 10 0 0кН м ; при z1 l 1м; Qy1 10кН; M x1 10 1 10кН м.

35

В сечении 2

Qy2	RA F;		M x2 RA l z2 Fz2 , где 0 z2 l.
При z2		0м,	Qy2 10 12 2кН;		M x2 10 1 10кН м ;
при	z2	l 1м;		Qy2 2кН; M x2	10 1 1 12 1 8кН м.
	В сечении 3
Qy3	RB ; M x3 RB z3 ; 0 z3 l.
При z3		0; Qy3		RB 2кН; M x3 2 0 0кН м;
при z3		l 1м;		Qy3 2кН; M x3 2 1 2кН м.

По полученным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 7.5).

8. Сложное сопротивление

Понятие о сложном сопротивлении. К сложному сопротивлению относятся такие виды нагружения бруса, при которых в поперечных сечениях возникают одновременно не менее двух внутренних силовых факторов. Исключением является поперечный изгиб, который не принято рассматривать как случай сложного сопротивления, хотя в сечениях возникает изгибающий момент и поперечная сила. Это связано с тем, что в большинстве случаях расчеты на прочность и жесткость проводятся без учета влияние поперечной силы.

Случаи сложного сопротивления можно словно разделить на две группы.

К первой группе относятся такие случаи сложного сопротивления, когда в опасных точках бруса напряженное состояние является одноосным. В эту группу относят косой изгиб (рис. 8.1,а), изгиб с растяжением (рис. 8.2,б), внецентренное растяжение-сжатие (рис. 8.3,в) и др.

При косом изгибе условие прочности имеет вид:

M x

y

M y

x

.

max

max

max

p

I x

I y

Условие прочности при изгибе с растяжением, пренебрегая действием поперечных сил, имеет вид:

36

N

F

F б

а	F

в

Рис. 8.1

			M x	y			N			..
	max				max				p
			I x				A

Ко второй группе относятся такие случаи сложного сопротивления, когда напряженное состояние является плоским. Например, изгиб с кручением (рис. 8.2).

Для случая нагружения, относящейся к первой группе, в отличие от второй группы, нет необходимости в применении гипотез прочности.

Изгиб с кручением. На практике часто встречаются стержни круглого и некруглого сечения, подверженные одновременному действию крутящих и изгибающих моментов.

Такому нагружению подвержены валы машин и механизмов и многих других конструкций.

Для расчета бруса необходимо в первую очередь установить опасные сечения. Для этого необходимо построить эпюры изгибающих и крутящих моментов (рис. 8.2).

37

Tе

А

В				M x				Te
	F
				Wx				W

M x

T

Рис. 8.2

Начнем с того, что, пользуясь принципом независимости действия сил, определим отдельно напряжения, возникающие в брусе при кручении, и отдельно при изгибе.

От кручения в поперечных сечениях бруса возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках контура сечения

Te .

W

При изгибе в поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения, достигающие наибольшего значения в крайних волокнах бруса

M x

Wx

икасательные напряжения, достигающие наибольшего значения у нейтральной оси, и определяемые по формуле Журавского

38

Qy S xo .

I x b

Эти напряжения значительно меньше напряжений от крутящего момента, поэтому ими пренебрегают.

Опасное сечение бруса будет у заделки, где действуют максимальные напряжения от изгиба и кручения. Опасными точками будут точки A и B .

Рассмотрим напряженное состояние в наиболее опасной точке A (рис. 8.3). Так как напряженное состояние двухосное, то для проверки прочности применяет одну из гипотез.

Рис. 8.3

Применим третью теорию прочности

экв 2 4 2 p .

Учитывая, что

M x

и

Te

, получаем

Wx

2Wx

M x2 Te2

.

экв

Wx

p

Отсюда для подбора сечения находим требуемый момент сопротивления

	M 2	T 2
W	x		e	.
	p
x

При проверочных расчетах, когда диаметр вала известен, коэффициент запаса прочности s вычисляется по формуле

39

s т .

экв

9. Устойчивость сжатых стержней.

Устойчивые и неустойчивые формы равновесия.

Соблюдение условий прочности и жесткости еще не гарантирует способности конструкций выполнять, предназначенные им функции в эксплуатационных режимах. Наряду с выполнением условий прочности и жесткости, необходимо обеспечить и у с т о й ч и в о с т ь к о н с т р у к -

ц и й .

При неизменной схеме нагружения, под устойчивостью понимается свойство способности системы сохранять свое первоначальное равновесное состояние. Значения внешних сил, при которых происходит потеря устойчивости, называются к р и т и ч е с к и м и .

Рассмотрим длинный тонкий стержень (рис. 9.1,а) нагруженный осевой сжимающей силой F . В этом случае возможны две формы равновесия стержня: прямолинейная и криволинейная. При малых значениях силы F стержень сжимается, оставаясь прямолинейным. Если его вывести из положения равновесия, то под действием упругих сил стержень, поколебавшись около положения равновесия, примет начальную форму. В этом случае устойчивой является прямолинейная форма (рис. 30,а).

F Fкр

F Fкр

а

б

Рис. 9.1

Если увеличить сжимающую силу F , то при некотором ее значении отклоненный от вертикального положения стержень не возвратится к первоначальному положению по устранению причины, отклонившей его. В этом случае устойчивой является криволинейная форма равновесия (рис. 9.1,б).

40