то можно показать, что u Wp1 (G) (другими словами, функция u
имеет суммируемые в квадрате на G первые производные) и u является решением задачи (22.4). Решение задачи (22.4) называют
обобщенным из класса W21 (G) решением задачи (22.5).
Теорема 22.1. Задача (22.4) имеет и притом единственное решение.
Доказательство. В силу неравенства Фридрихса
|
|
C u W1 |
(G) :|| u ||2 |
(G) |
≤ C || u ||2 |
, |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
L |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
W2 (G) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
κ|| u ||2 1 |
≥ |
κ || u ||2 1 |
+ |
κ |
|| u ||2L |
(G) ≥ κ0 || u ||2 1 |
, |
|
|
W2 (G) |
2 |
W2 (G) |
|
2C |
|
2 |
|
W2 |
(G) |
|
|
|
|
|
|
κ |
|
κ |
. Но тогда из (22.3) получаем, что для любых |
min |
2 |
, |
|
|
|
|
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u,v W1 (G) будет выполнено |
|
2 |
|
|
|
а) B(u,u) ≥ κ|| u ||W2 1 |
(G) ; |
|
|
2 |
|
|
|
б) | B(u,v) |≤ C0 || u ||W1(G) |
|| v ||W1 |
(G) . |
|
2 |
2 |
|
По теореме Лакса–Мильграма существует однозначно опреде-
ленный изоморфизм A пространства |
W1 (G) на W −1 |
(G) , такой, что |
|
|
|
2 |
2 |
|
для любых u,v W1 |
(G) будет выполнено |
B(u, v) = |
Au, v , следова- |
|
2 |
|
|
|
|
тельно, для любой |
f W −1 (G) существует единственная функция |
|
|
2 |
|
|
|
u W1 |
(G) , а именно u = A−1 f , такая, что |
B(u, v) = |
f , v для всех |
2 |
|
|
|
|
|
v W 1 |
(G) . Таким образом, u = A−1 f |
и есть решение задачи (22.4). |
2 |
|
|
|
|
|
Замечание 22.2. Обобщенная неоднородная задача Дирихле для
оператора |
(22.1) ставится следующим образом: для заданных |
f W −1 |
(G) |
и g W1 |
(G) |
требуется найти u W1 |
(G) , такую, что |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
θ(t)
|
|
; |
B(u,v) = f ,v , v W21 |
|
|
|
(u - g) W1 . |
|
|
2 |
|
Заменой w = u − g эта задача сводится к рассмотренной ранее однородной задаче.
Замечание 22.3. Если f C(G) и граница ∂G области G является достаточно гладким (n −1) -мерным многообразием, то можно
показать, что обобщенное решение задачи (22.5) будет классическим решением этой задачи.
§23. Задача Коши для уравнения теплопроводности
ВD '(R(nx+,t1) ) ищем решение уравнения теплопроводности
∂∂ut = a2 u + f .
Согласно примеру 21.11 функция E(x,t) = (2a πt )n e−|x|2 /(4a2t)
является фундаментальным решением уравнения теплопроводности.
Определение 23.1. Пусть функция u обращается в нуль при t < 0 . Тогда обобщенная функция V = E * f называется тепловым потенциалом с плотностью f .
Теорема 23.1. Пусть f (x,t) C(t ≥ 0) обращается в нуль при
t ≤ 0 и ограничена в любой полосе |
0 ≤ t ≤T. Тогда тепловой по- |
тенциал V = E * f выражается формулой |
|
|
|
|
t |
f (ξ, τ) |
|
|
− |
|x−ξ|2 |
|
V (x,t) = ∫ ∫ |
|
|
|
e 4a |
2 |
(t−τ) dξdτ, |
|
π(t −τ) ) |
n |
|
0 Rn (2a |
|
|
|
|
|
|
является непрерывной в Rtn≥+01 функцией, удовлетворяющей оценке:
|V (x,t) |≤ t sup | f (ξ, τ) |,t > 0,
0≤τ≤t
ξ nR
начальному условию x Rn lim V (x,t) = 0 и уравнению тепло-
t→0+0
проводности ∂∂Vt = a2 V + f в D' .
Доказательство. Имеем
+∞
(E * f )(x,t) = ∫ ∫ f (ξ, τ)E(x −ξ,t −τ)dξdτ =V (x,t).
0 Rn
Используя теоремы о непрерывности по параметру, получаем, что V (x,t) непрерывна при t > 0 . Далее
|
|
|
t |
|
|
|
f (ξ, τ) |
|
|
− |x−ξ|2 |
|
|
|V (x,t) |≤ t sup | f (ξ,τ) | ∫dτ ∫ |
|
|
e |
|
4a2 |
(t−τ) |
dξ = |
|
(2a |
π(t −τ) ) |
n |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
0≤τ≤t |
0 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t |
sup |
| f (ξ, τ) |,t > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0≤τ≤t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда lim V (x,t) = 0 . |
Наконец, из леммы |
21.4 |
следует, что |
|
t→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (x,t) удовлетворяет в D' уравнению теплопроводности. |
|
Определение 23.2. |
Пусть u0 (x) – ограниченная в |
Rn функция. |
|
|
Тогда обобщенная функция V0 (x,t) = E(x,t) *u0 (x)δ(t) называется поверхностным тепловым потенциалом.
Теорема 23.2. Пусть u0 (x) C(Rn ) и ограничена в Rn . Тогда поверхностный тепловой потенциал V0 (x,t) представляется интегралом Пуассона
|
|
θ(t) |
|
|
− |
|x−ξ|2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
V0 |
(x,t) = |
|
|
∫ |
u0 (ξ)e |
4a |
t |
dξ, |
(2a πt ) |
n |
|
|
|
Rn |
|
|
|
|
принадлежит классу C∞ (t > 0), удовлетворяет неравенству
|V0 (x,t) |≤ sup | u0 (x) |
x Rn
для всех( x, t), t > 0 , непрерывен при t ≥ 0, удовлетворяет началь-
ному условию V0 (x,0) = u0 (x) и однородному уравнению тепло- |
проводности ∂V0 = a2 V . |
∂t |
0 |
|
Доказательство. Для любой ϕ D(Rn+1 ) выполняется |
E *u0 (x)δ(t),ϕ =E(x,t)u0 (ξ)δ(τ),η(ξ, τ)ϕ(x + ξ,t + τ) =
=E(x,t)u0 (ξ),ϕ(x + ξ,t) =E *u(x),ϕ,
где последняя свертка берется по x. Отсюда следует, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ(t) |
|
|
|
|
|
− |
|x−ξ|2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V0 (x,t) = (E *u0 )(x,t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
u0 (ξ)e |
4a |
t dξ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2a πt ) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
При любом t > 0 |
имеем V (x,t) C∞ и, |
очевидно, удовлетворяет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оценке |
|V0 (x,t) |≤ sup | u0 (ξ) | . |
|
Дифференцируя, |
получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂V0 |
= a2 |
V . Наконец, фиксируя x Rn , получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ(t) |
|
|
∫ (u0 (ξ) −u0 (x))e− |
|x−ξ|2 |
|
|
|
|
V0 |
(x,t) −u0 |
(x0 ) |
|
= |
|
|
|
|
4a2t |
dξ |
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2a πt ) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ ∫ |
|
|
|
u0 (ξ) −u0 (x0 ) |
|
E(x −ξ,t)dξ = ∫ |
|
u0 (x − y) −u0 (x0 ) |
|
E( y,t)dy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
u0 (x − y) −u0 (x0 ) |
|
E( y,t)dy + ∫ |
|
u0 (x − y) −u0 (x0 ) |
|
E( y,t)dy ≤ |
|
|
|
|
|
|
| y|≤δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| y|>δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2M |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
| y| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ ε + |
|
|
|
|
|
∫ e 4a |
t dy, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2a πt ) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| y|>δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где M = sup | u0 (x) |, а оценка следует из непрерывности u(x) в
x Rn
точкеx0 . В самом деле, в силу непрерывности u(x) в точке x0 получаем, что
ε > 0 δ(ε) > 0 x, y Rn ,| x − x |< δ,| y |< δ:| u (x + y) −u (x ) |< ε. |
Далее, пользуемся тем, что |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ E( y,t)dy ≤1, ∫ e− |
| y|2 |
2M |
|
|
|
|
|
e−z2 dz |
2M |
|
4a2t |
dt |
|
= |
|
∫ |
|
→ 0 , |
(2a πt ) |
n |
n/2 |
| y|>δ |
| y|>δ |
|
|
|z|> |
|
δ |
|
(π) |
|
|
|
2a t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при t → 0 + 0 , следовательно, существует |
lim V (x,t) = u0 |
(x0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
→0+0 |
|
|
x→x0
Замечание. Если при f C(t ≥ 0), f ≡ 0 |
|
при t < 0, |
ограничена в |
каждой полосе 0 ≤ t ≤T , а |
u0 C(Rn ) |
и ограничена, то обобщен- |
ное решение задачи Коши |
∂u |
= a2 u + f (x,t),u(x,0) = u0 (x) задает- |
ся формулой Пуассона |
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
f (ξ, τ) |
|
|
|
− |x−ξ|2 |
|
|
u(x,t) =V (x,t) +V0 (x,t) = ∫ ∫ |
|
|
|
e |
|
4a2 (t−τ) |
dξdτ+ |
|
π(t − τ) ) |
n |
|
|
|
|
|
0 Rn (2a |
|
|
|
|
|
|
|
θ(t) |
|
|
|
− |
|x−ξ|2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
∫ u0 (ξ)e |
4a |
|
t dξ. |
|
|
|
|
(2a πt ) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно показать, что если к тому же |
f C2 (Rn ), то |
|
|
|
u C2 (x > 0) ∩C(t ≥ 0), |
|
|
|
|
|
|
т.е. является классическим решением задачи Коши для уравнения теплопроводности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Бремерман Г.Б. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М.: Мир, 1968.
2.Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. М.: Физматлит, 2002.
3.Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.:
Наука, 1971.
4.Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию.
М.: Наука, 1975.
5.Лебег А. Об измерении величин. М.: Учпедгиз, 1960.
6.Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1981.
7.Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений.
М.: Наука, 1965.
8.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.
9.Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. М.: Наука, 1971.
10.Шилов Г.Е., Гуревич Б.А. Интеграл, мера и производная. М.:
Наука, 1967.
11.Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.
12.Шубин М.А. Лекции по уравнениям математической физи-
ки. М.: МЦНМО, 2003.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Учебно-методическое пособие
Редактор М.В. Макарова
Подписано в печать 10.12.2009. Формат 60х84 1/16.
Уч.-изд.л. 10,5. Печ. л. 10,5. Тираж 300 экз.
Изд. № 1/1/67. Заказ № 14
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское ш., 31
ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42