Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008

21

~TOBY POLU^ITX IZOBRAVENIE PLOSKOSTI C NA \GLOBU- SE" (RAZGLQDYWATX KOTORYJ, ODNAKO, NADO NE \SNARUVI", A \IZNUTRI"), \TU PLOSKOSTX WOOBRAVA@T PODPROSTRANSTWOM (KOORDINAT x y) W PROSTRANSTWE R3 KOORDINAT x y t, W KO- TOROM RASSMATRIWA@T SFERU S : x2 + y2 + t2 = t, DIAMETRA 1, \LEVA]U@" NA \TOJ PLOSKOSTI I KASA@]U@SQ EE W NA^ALE KOORDINAT (RIS. 7).

rIS. 7

kAVDOJ TO^KE z = z(x y 0) \TOJ PLOSKOSTI, A SLEDOWA- TELXNO, I IZOBRAVAEMOMU E@ KOMPLEKSNOMU ^ISLU z =x+iy SOOTNOSQT TU TO^KU z SFERY S, W KOTOROJ EE PERESEKAET OTREZoK, SOEDINQ@]IJ TO^KU z (x y 0) S \SEWERNYM POL@SOM" p(0 0 1) \TOJ SFERY.

uSTANAWLIWAEMOE \TIM SOOTWETSTWIE z ! z MEVDU TO^KAMI z 2 C I z 2 S STALI NAZYWATX STEREOGRAFI^ESKOJ

| OB_EMNYJ, ' | PISXMO LAT. projectio | PRO-

22

PROEKCIEJ1, A SFERU S (RASSMATRIWAEMU@ S \TIM SOOTWET-

STWIEM) |

SFEROJ rIMANA

(INOGDA

SFEROJ nEJMANA

)2.

2

6

()

1 6

qWLQQSX WZAIMNO ODNOZNA^NYM

z1 = z2

n

0

z = z

I

();

WZAIMNO NEPRERYWNYM

lim zn = z0

lim z

= z UPRAVNE-

2

S

;

!

2

C

NIE 5, B , SOOTWETSTWIE

z

z NE OHWATYWAET WS@ SFERU

rIMANA: TO^KE p

NE SOOTWETSTWUET NI ODNA TO^KA z

.

uSTRANITX POSLEDNIJ NEDOSTATOK POZWOLQET MYSLENNOE PRISOEDINENIE K PLOSKOSTI C TAK NAZYWAEMOGO NESOBSTWEN-

NOGO (NE PRINADLEVA]EGO EJ) \LEMENTA, KOTORYJ I S^ITA-

ETSQ SOOTWETSTWU@]IM \SEWERNOMU POL@SU" p SFERY S PRI

STEREOGRAFI^ESKOJ PROEKCII z ! z .

|TOT PRISOEDINQEMYJ K PLOSKOSTI C \LEMENT POLU^IL NAZWANIE BESKONE^NO UDALENNOJ TO^KI, ILI BESKONE^NOSTI,

I OBOZNA^ENIE 13. pLOSKOSTX C , DOPOLNENNU@ \LEMENTOM

1, NAZYWA@T RAS[IRENNOJ KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTX@ I OBO-

ZNA^A@T C PLOSKOSTX VE C | DLQ OTLI^IQ EE OT C | NAZYWA@T KONE^NOJ.

1 tERMIN WWEL BELXGIJSKIJ MATEMATIK aGIJON, Aguillon, 1566{1627 (GRE^. " "o&

TQGIWANIE). uSTANAWLIWAQ STEREOGRAFI^ESKU@ PROEKCI@, ZA OSNOWU INOGDA BERUT SFERU S : x2+ y2+ t2 =1, PERESEKAEMU@ PLOSKOSTX@ C PO \\KWATORU" (PRI \TOM \SEWERNYJ POL@S" MOVNO ZAMENITX \@VNYM"). sTEREOGRAFI^ESKU@ PROEKCI@ PRIMENQLI: DREWNEGRE^ESKIJ ASTRONOM

pTOLEMEJ ( o "~o&, K o&, OK. 90 { OK. 160) DLQ PLOSKOGO IZOB-

RAVENIQ NEBESNOJ SFERY ([13], c. 26{27), gAUSS [33], Bd. IX, S. 121) I |JLER ([20]) W IH KARTOGRAFI^ESKOJ DEQTELXNOSTI (OTNQW[EJ U |JLERA

ZRENIE). o EE SWQZI S PROEKCIEJ mERKATORA ^UTX NIVE, W III, S. 49.

2 iMENNO S RABOT NEMECKOGO MATEMATIKA rIMANA (Riemann, Berngard, 1826{1866) [15] (c. 202{203) I EGO U^ENIKA I POSLEDOWATELQ nEJMANA (TO^NEE, nOJMANA Neumann, Carl, 1832{1866) [39] (S. 131{161)

NA^ALOSX AKTIWNOE PRIMENENIE ALXTERNATIWNYH (POMIMO PLOSKOSTI) GEOMETRI^ESKIH OB_EKTOW PRI IZOBRAVENII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ

3 eGO WWEL wALLIS (SNOSKA2 NA S. 13) W SWOEJ IZDANNOJ W 1656 G. \aRIFMETIKE BESKONE^NOSTEJ" (\Arithmetica In nitorum").

| SLEDUET

NE^NOSTEJ).

23

dEJSTWIQ SLOVENIQ, WY^ITANIQ, UMNOVENIQ I DELENIQ,

A TAKVE SWOJSTWA KOMPLEKSNYH ^ISEL NA \LEMENT 1 RASPRO- STRANQ@TSQ LI[X ^ASTI^NO: S^ITAETSQ, NAPRIMER, ^TO

j1j	= +1			(TOGDA KAK arg 1 NE OPREDELEN)												1 1	=	1
	1 z = z 1							= 1				z		= 0 DLQ L@BOGO z 2 C
											1
									z
z	1	=	1		z =	1		0		=	1			DLQ L@BOGO z	2		6
																C z = 0

		1 1			1	1	;	0			C
DEJSTWIQ			0			1	KAK I		0		NE OPREDELENY.
	oKRESTNOSTQMI			\LEMENTA			1	NA PLOSKOSTI S^ITA@T

WNE[NOSTI OKRUVNOSTEJ (WSEWOZMOVNYH RADIUSOW) S CENT-

ROM W NA^aLE KOORDINAT: NA SFERE rIMANA (PRI STEREOGRA-

FI^ESKOJ PROEKCII) IM SOOTWETSTWU@T OKRESTNOSTI EE \SE- WERNOGO POL@SA" | SFERI^ESKIE SEGMENTY MEVDU \SEWER- NYM POL@SOM" SFERY S I EE \PARALLELQMI" (KAK NA RIS. 7).

w SOOTWETSTWII S \TIM OPREDELENIEM

A) \LEMENT 1 QWLQETSQ GRANI^NOJ TO^KOJ PLOSKOSTI C (DRUGIH GRANI^NYH TO^EK U NEE NET) I WNUTRENNEJ TO^KOJ PLOSKOSTI C (KAK I SFERA S, ONA NE IMEET GRANI^NYH TO^EK, T. E. QWLQETSQ ZAMKNUTOJ)

B) fzng ! 1 () fz g ! p () jznj ! +1.

n

sFERA rIMANA POZWOLQET UQSNITX WZAIMOSWQZX \LEMENTA 1 2 C I \LEMENTOW + 1 I ;1 RAS[IRENNOJ SISTEMY DEJSTWITELXNYH ^ISEL (A ZAODNO I FILOSOFSKIH PONQTIJ AKTUALXNOJ I POTENCIALXNOJ BESKO- 1 ESTX SIMWOL AKTUALXNOJ BESKONE^NOSTI (c EE ZRIMYM OBRAZOM NA SFERE) \LEMENTY VE 1 SOOTWETSTWU@T DWUM SPOSOBAM

STREMLENIQ K BESKONE^NOSTI1 A IMENNO: WDOLX DEJSTWITELXNOJ OSI

PLOSKOSTI C W PRQMOM I OBRATNOM EE NAPRAWLENII (^EMU NA SFERE S SOOTWETSTWU@T DWA DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNYH EE \MERIDIANA", ^TO HORO[O WIDNO NA RIS. 6) W \TOM VE SMYSLE | KAK DWA DRUGIH (IZ NEOBOZRIMOGO ^ISLA SPOSOBOW) STREMLENIQ K BESKONE^NOSTI PONIMATX I UPOTREBLENIE SIMWOLOW i1.

1 t. E. QWLQ@TSQ WYRAVENIQMI POTENCIALXNOJ BESKONE^NOSTI.

24

uPRAVNENIQ. 1. rE[ITX URAWNENIE z3 = z.

2. iZOBRAZITX NA PLOSKOSTI RE[ENIQ URAWNENIJ:

a)

jz;ij = jz+1j

B)

arg(z;i) = arg(z+1)

W)

jz;1j = Re(z+1).

3. pOLXZUQSX TEM, ^TO POWOROT OSEJ PLOSKOSTI C

NA UGOL RAWNO-

SILEN POWOROTU WEKTORA x + iy NA UGOL

; ,

T. E. EGO UMNOVENI@ NA

cos(; ) + i sin(; ), POLU^ITX FORMULY PEREHODA OT \STARYH" KOORDI-

NAT TO^KI (x y)

2

R2

K \NOWYM" (x y):

x = x cos ; y sin

y = x sin + y cos :

(

e

e

4. dLQ FIKSIROWANNOGO KOMPLEKSNOGOe e

z+

z

^ISLAe

z PUSTXe

z1 =

2j

j

I

zn+1 =

zn+2jznj

,

n = 1 2 : : :

nAJTI lim zn.

5. pROWERITX, ^TO PRI STEREOGRAFI^ESKOJ PROEKCII

2

Rez

Imz

z

a)

TO^Ke

z

2

C

OTWE^AET TO^KA z

1+jzj2

1+jzj2

j

j

2

S

1+jzj2

B)

RASSTOQNIQ

MEVDU TO^KAMI z1 z2

2 C

I IH \SFERI^ESKIMI OB-

RAZAMI" z z

S SWQZANY SOOTNO[ENIEM

z

z

=

jz1;z2j

2

j

p1+jz1j2p1+jz2j2

1 2

1 ;

2 j

WYWESTI OTS@DA \KWIWALENTNOSTX USLOWIJ fzng ! z0 (zn z0 2 C ) I

z

z .

f ng !

0

I PRQMYE PLOSKOSTI C PEREHODQT W OKRUVNOSTI

W)

OKRUVNOSTI

NA SFERE S, SOOTWETSTWENNO NE PROHODQ]IE ^EREZ EE \SEWERNYJ POL@S"

p I PROHODQ]IE ^EREZ NEGO (I W \TOM SLU^AE S^ITA@]IESQ RAZOMKNU-

TYMI W NEM).

6. nAJTI SOOTNO[ENIE MEVDU TO^KAMI z1 z2

2 C , PRI KOTOROM IH

SFERI^ESKIE OBRAZY

z z

2

S SIMMETRI^NY OTNOSITELXNO CENTRA

1

2

SFERY S. (oTWET: z1 z2 =;1.)

7. pOLU^ITX MATRI^NOE PREDSTAWLENIE KOMPLEKSNYH ^ISEL: SOPO-

STAWLQQ KOMPLEKSNOMU ^ISLU z =x+iy KOSOSIMMETRI^ESKU@ MATRICU

x

y

Z = ;y

x 1, PROWERITX, ^TO SLOVENI@, WY^ITANI@, UMNOVENI@ I

DELENI@ KOMPLEKSNYH ^ISEL OTWE^A@T \TI VE OPERACII S MATRICAMI

;

(ESLI

DELENIE

NA MATRICU PONIMATX KAK UMNOVENIE NA OBRATNU@ K

NEJ).

x

y

1 wARIANT: Z =;y

;x .

25

II. kAK OPERIRU@T SO STEPENNYMI RQDAMI

rQD

+1

n=1 n

(ILI 1 + 2

+ + n + ), SOSTAWLENNYJ

P

f

ng

1

2

: : : 1, ESTX

IZ \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI

=

POSLEDOWATELXNOSTX fsng SUMM

def

def

def

+ n : : : ,

s1= 1

s2= 1 + 2 : : : sn= 1 +

NAZYWAEMYH

^ASTI^NYMI SUMMAMI

\TOGO RQDA.

rQD

+1

n NAZYWA@T

SHODQ]IMSQ

, ESLI SHODITSQ2 POSLE-

n=1

f

g

f

g

+1

DOWATELXNOSTXP

sn

=

1 +

+ n

EGO ^ASTI^NYH SUMM.

w ^ASTNOSTI, DLQ ^ISLOWOGO RQDA

P

n

SHODIMOSTX

OZNA-

^AET SU]ESTWOWANIE ^ISLA,

n=1

QWLQ@]EGOSQ PREDELOM POSLEDO-

WATELXNOSTI ^ASTI^NYH SUMM

: s=lim sn =lim( 1 + + n).

|TO ^ISLO PRINIMA@T ZA

SUMMU

RQDA, S ISPOLXZOWANIEM DLQ

+1

n. w

NEE TOGO VE OBOZNA^ENIQ, ^TO DLQ SAMOGO RQDA: s =

n=1

SLU^AE RASHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI ^ASTI^NYH SUMM

RQD NAZYWA@T

RASHODQ]IMSQ

(NE IME@]IM SUMMY).P

dOBAWLENIE ILI OTBRASYWANIE NESKOLXKIH NA^ALXNYH \LEMENTOW

+1

+1

+1

+1

+1

RQDA

P

n | PEREHOD K RQDAM

P

n ,

P

n

I T. P. | NE WLIQET NA

n=1

n=0

n=2

SHODIMOSTX RQDA, IZMENQQ LI[X EGO SUMMU:

n = 0 + 1 +

n .

n=0

n=2

iZ KRITERIQ kO[I SHODIMOSTI ^ISLOWOJP

POSLEDOWATELXP -

NOSTI (I, c. 16) WYTEKAET KRITERIJ kO[I SHODIMOSTI ^ISLO-

WOGO RQDA: RQD +P1 n SHODITSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA

n=1

1 l@BOJ PRIRODY, NO DOPUSKA@]IH SLOVENIE DRUG S DRUGOM. w ZA- WISIMOSTI OT PRIRODY \LEMENTOW n RAZLI^A@T ^ISLOWYE, FUNKCIO-

NALXNYE, MATRI^NYE I PRO^IE RQDY.

2 w ZARANEE OGOWORENNOM SMYSLE.

26

8">09n08n8k;n>n0 ) j n+1 + + n+kj<" .1

dANNYJ KRITERIJ E]E DO kO[I ([26], Chap. VI) USTANOWIL ^E[S- KIJ MATEMATIK, TEOLOG I FILOSOF bOLXCANO2: ON SODERVITSQ W EGO RA-

BOTE 1817 G. S DLINNYM, NO WESXMA INFORMATIWNYM NAZWANIEM \~ISTO ANALITI^ESKOE DOKAZATELXSTWO TEOREMY, ^TO MEVDU DWUMQ ZNA^ENIQMI, DA@]IMI REZULXTATY S PROTIWOPOLOVNYMI ZNAKAMI, LEVIT PO MENX- [EJ MERE ODIN DEJSTWITELXNYJ KORENX URAWNENIQ" (\Rein analytischer

Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegenge-

setzes Resultat gewahren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleihung liege"

EE RUSSKIJ PEREWOD DAN W KNIGE |. kOLXMANA [9]). w \TOJ VE RABOTE bOLXCANO DEMONSTRIRUET PONIMANIE RQDA IMENNO KAK POSLEDOWATELXNOSTI EGO ^ASTI^NYH SUMM, WPERWYE (OPEREDIW kO[I) DAET WNQTNOE OPREDELENIE NEPRERYWNOSTI FUNKCII, USTANAWLIWAET SU]ESTWOWANIE TO^NOJ WERHNEJ GRANI U OGRANI^ENNOGO SWERHU MNOVESTWA I, NAKONEC, DOKAZYWAET WYNESENNU@ W ZAGOLOWOK RABOTY TEOREMU (O PROHOVDENII NEPRERYWNOJ FUNKCII ^EREZ NULX) \TI, A TAKVE NEKOTORYE DRUGIE EGO DOSTIVENIQ STALI POTOM PRIPISYWATX DRUGIM AWTORAM.

CTEPENNOJ RQD +P1cnzn (c KOMPLEKSNYMI KO\FFICIEN-

n=0

TAMI cn I KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ z) ESTX POSLEDOWATELXNOSTX MNOGO^LENOW

c0 c0+c1z c0+c1z+c2z2 : : : c0+c1 z+c2z2+ +cnzn : : : ,

SLUVA]IH ^ASTI^NYMI SUMMAMI DANNOGO RQDA.

P

sUMMA

+1

cnzn, OBOZNA^AEMAQ TEM VE SIM-

STEPENNOGO RQDA

WOLOM

n=0

+1

def

c0

+c1z+

+cnzn

,

nP=0

cnzn =

lim

n!+1;

ESTX FUNKCIQ PEREMENNOJ

z, OPREDELENNAQ NA

MNOVESTWE

SHODIMOSTI

\TOGO RQDA | TEH ZNA^ENIJ z 2C ,

DLQ KOTORYH

PREDEL W PRAWOJ ^ASTI SU]ESTWUET I QWLQETSQ KONE^NYM.

1

USLOWIE n ! 0 NEOBHODIMO DLQ SHODIMOSTI RQDA.

2 w ^ASTNOSTI,

Bolzano, Bernard, 1781{1848 (PO OTCU BYL ITALXQNEC, VIL W pRAGE).

27

tEOREMA kO[I{aDAMARA.1

+ 2

1

pUSTX ^ISLO r

[0 +

]

OPREDELENO PO KO\FFICIENTAM STEPENNOGO RQDA

1cnzn FOR-

n=0

1

2

P

n

j

j

j

r

n

MULOJ

=

n!+1pj

TOGDA PRI

z

+1

lim

cn

<r \TOT RQD SHODITSQ,

(

.

.

n=0 jcnz j), a

PRI^EM ABSOL@TNO

T

E

SHODITSQ TAKVE I RQD

P

PRI

j

z

j

>r | RASHODITSQ.

dOKAZATELXSTWO

. eSLI

jzj<r, TO WZQW ^ISLO , PROMEVU-

TO^NOE MEVDU

z

I r, MOVNO ZAKL@^ITX: DLQ WSEH DOSTA-

TO^NO BOLX[IH j nj

WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO n

jcnj < 1= , A

,

jcnjjzj

;

jzj=

.

P

;

jzj=

p n=0

SLEDOWATELXNO

n

6

n

tAK KAK RQD +1

n

SHODITSQ, TO (W SILU KRITERIQ kO[I) SHODQTSQ OBA RQDA

P

P

1

1

n

+1

+1

n=0 jcnjjzjn I n=0cnzn.

p

eSLI VE

j

z

j

>r, TO TAK KAK

<

=

lim

j

cn

j

, DLQ BES-

jzj

r

n!+1

KONE^NOGO ^ISLA NOMEROW

n BUDET WYPOLNQTXSQ

NERAWENSTWO

1

ILI jcnjjzjn > 1,

+1

jcnj,

j

z

j

< n

A POTOMU RQD n=0 cnzn RASHO-

P

DITSQp. Q.E.D.3

1 fRANCUZSKIJ MATEMATIK aDAMAR (Hadamard, Jacque, 1865{1963)

POQWILSQ NA SWET POZVE SODERVA]EGO \TU TEOREMU \kURSA ANALIZA"

kO[I [26] (Chap. IX, p. 286{287), NO EGO IMQ W USTOQW[EMSQ NAZWANII TEOREMY PRIQTNO RAZNOOBRAZIT SPISOK UTWERVDENIJ, POLU^ENNYH

kO[I.

2 rAWENSTWO = lim n ; ESTX WERHNIJ PREDEL POSLEDOWATELXNOS- n!+1

TI DEJSTWITELXNYH ^ISEL f ng OZNA^AET, ^TO W L@BOJ OKRESTNOSTI

TO^KI SODERVITSQ BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW n, TOGDA KAK SPRAWA OT \TOJ OKRESTNOSTI IH MOVET BYTX LI[X KONE^NOE ^ISLO.

3 Q.E.D. | SOKRA]ENIE LAT. quod erat demonstrandum (^TO TREBO-

WALOSX DOKAZATX) | UKAZATELX ZAWER[ENIQ DOKAZATELXSTWA.

28

wWIDU TEOREMY kO[I{aDAMARA NEOTRICATELXNOE (NO,

1

n!+1

j

j

;1 NAZYWA@T

WOZMOVNO, RAWNOE +

) ^ISLO r =

lim

n

cn

+

RADIySOM SHODIMOSTI

1

STEPENNOGO ;RQDA p cnzn, a MNOVES-

n=0

z 2

C

: jzj<r

P

1

.

TWO

| EGO

KRUGOM SHODIMOSTI

+1

w NEKOTORYH SLU^AQH RADIUS SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA

n

cnz

n=0

MOVNO WY^ISLQTX PO BOLEE PROSTOJ FORMULE2.

P

eSLI SU]ESTWUET

lim

jcn;1j= r

(06r 6+

1

)3, TO ^ISLO r SOWPADAET

n!+1

jcnj

+1

n

S RADIUSOM SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA

P

cnz .

n=0

dOKAZATELXSTWO

.

eSLI

jzj < r, TO WZQW ^ISLO , PROMEVUTO^NOE

MEVDU

jzj

I

MOVNO ZAKL@^ITX

DLQ WSEH

BOLX[IH NEKOTOROGO

n0,

r,

;

:

n,

WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO

jcn 1j

> , A SLEDOWATELXNO,

jcn0 j

jcn0+1j

cn;1

jcnj

n

n0

n0

>jcnj

n

jcn0+1j jcn0+2j j

jcnj

j >

;

, I PO\TOMU

jcn0 j

.

iZ POSLEDNEGO NERAWENSTWA SLEDUET, ^TO PRI

n>n0

jcnjjzjn = jcnj n jzj= n6 jcn0 j n0 jzj= n,

P

P ;

, TO SHODITSQ;

I RQD

A TAK KAK RQD

+1

z

=

nSHODITSQ;

+1

cn

jj

z

n,

n=n0+1 j

j

n=n0+1j

j

A WMESTE S NIM ISHODNYJ STEPENNOJ RQD.

eSLI VE

j

z

j

> r, TO IZ TOGO,

^TO

lim

jcn;1j= r, SLEDUET, ^TO DLQ

n!+1 jcnj

WSEH

BOLX[IH NEKOTOROGO

n0,

WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jcn;1j

< jzj,

n,

jcnj

A SLEDOWATELXNO,

jcn0 j

jcn0+1j

j

cn;1

j

<jzj

n

n0

jcn0 jjzj

n0

<jcnjjzj

n

jcn0+1j jcn0+2j

jcnj

;

,

I PO\TOMU

.

w SILU POSLEDNEGO NERAWENSTWA

cnz

n

9

0, T. E.

DLQ RQDA

+1

cnz

n

NE

n=0

WYPOLNENO NEOBHODIMOE USLOWIE EGO SHODIMOSTI. Q.E.D. P

1

\TOT \KRUG" PUST

, A PRI r =+1 ESTX WSQ PLOSKOSTX C .

2 pRI r =0

tAKVE PRIWODIMOJ kO[I W [26] (Chap. IX, p. 286{287).

3 |TOT PREDEL NE WSEGDA SU]ESTWUET, TOGDA KAK WERHNIJ PREDEL PO-

SLEDOWATELXNOSTI pjcnj

SU]ESTWUET WSEGDA.

n

29

oPREDELQ@]U@ ROLX W ANALIZE NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOS-

TI IGRA@T (KROME STEPENNYH) OBOB]ENNYE STEPENNYE RQDY

+1

cn(z;z0)n

def +1

+1

n=

= n=0cn(z;z0)n

+ n=1c;n(z;z0);n,

;1

, KAK SLEDUETP IZ \TOJ ZAPISIP , IZ DWUH RQDOW,

SOSTAWLENNYEP

PERWYJ IZ KOTORYH STEPENNOJ (PO STEPENQM z;z01) S KRUGOM

;

;

0

SHODIMOSTI

z

C :

z

z0

<r

r =

lim

n

cn

j

2

j

(RIS. 8, A),

j ;

n!+1pj

z

1

A WTOROJ SWODITSQ K STEPENNOMU PODSTANOWKOJ

z = ; ,

I DLQ NEGO ROLX \KRUGA SHODIMOSTI" WYPOLNQET MNOVESTWO

p

z

2

C :

j

z

;

z0

j

>

,

= lim

n

c

n

(RIS. 8, B).

n!+1

j ; j

kAK SLEDSTWIE, DLQ OBOB]ENNYH STEPENNYH RQDOW IMEET

MESTO SLEDU@]IJ ANALOG TEOREMY kO[I{aDAMARA1

+1

cn(z;z0)n SHODITSQ (AB-

oBOB]ENNYJ STEPENNOJ RQD n=

)

;1

z 2 : <jz;z0j<r ,

P1

SOL@TNO

W EGO KOLXCE SHODIMOSTI

C

; (RIS. 8, W)2, I RASHODITSQ

=

lim

n

c

n

, r =

lim

n

j

cn

j

n!+1

j

; j

n!+1

z c

jz;z0j

<

ILIp

jz;z0j>r.

DLQ WSEHp

gLAWNYM (POSLE TEOREMY kO[I{aDAMARA) UTWERVDENI-

EM O STEPENNYH RQDAH QWLQETSQ SLEDU@]EE.

tEOREMA O PROIZWODNOJ SUMMY STEPENNOGO RQDA. w

KRUGE SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA +P1cnzn EGO SUMMA IME-

n=0

ET PROIZWODNU@, RAWNU@ SUMME STEPENNOGO RQDA +P1cnnzn;1,

n=1

IME@]EGO TOT VE paDIUS SHODIMOSTI, ^TO I ISHODNYJ RQD.

1 u kO[I W [28], ser. I, t. VIII, p. 272 I ser. II, t. XIII, p. 439{440.

2 ~ASTNYMI SLU^AQMI \TOGO \KOLXCA" QWLQ@TSQ: A) KRUG S IZ_QTYM

CENTROM z0 B) WNE[NOSTX OKRUVNOSTI W) PLOSKOSTX S IZ_QTOJ TO^KOJ z0 PRI r1 >r2 \TO \KOLXCO" PUSTO.

30

rIS. 8

dOKAZATELXSTWO.

COWPADENIe RADIUSOW SHODIMOSTI1 STE-

P

P

PENNYH RQDOW

+1

cnzn I

+1

cnnzn;1 ESTX SLEDSTWIE TOGO, ^TO

n=1

n=1

WTOROJ IZ NIH SHODITSQ ILI RASHODITSQ WMESTE SO STEPENNYM

P

p

p

+1

n jcnj

I n jncnj

RQDOM

n=1cnnzn, A POSLEDOWATELXNOSTI

IME@T ODNI I TE VE PREDELXNYE TO^KI.

eSLI | PREDELXNAQ TO^KA PERWOJ IZ NIH, T. E. PREDEL NEKOTO-

n

o

nj

nj

1

1

ROJ EE PODPOSLEDOWATELXNOSTI

cnj nj , TO

(TAK KAK

lim nn = 1)

1

1

n!+1

T

E

QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ I

lim njcnj

= lim cnj

= ,

.

.

WTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI. nAOBOROT, ESLI

| PREDELXNAQ TO^KA

WTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI, T. E.

PREDEL NEKOTOROJ EE PODPOSLEDOWA-

1

1

1

1

= lim nk;nk nkcnk

= , T. E.

TELXNOSTI

n nkcnk

nko,

TO

lim

cnk

nk

nk

QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ PERWOJ POSLEDOWATELXNOSTI.

1 lI[X \TU ^ASTX TEOREMY S^EL NEOBHODIMYM DOKAZYWATX kO[I W

[28], ser. II, t. XIII, p. 441{442.