практикум_Мат.анализ
.pdfРешим полученную систему уравнений. Для этого выразим из второго уравнения
y |
2 |
|
x 0 и подставим в первое |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
5 |
0 |
|
|
, |
x |
|
|
|
|
5 0 , упростим |
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
x 2 |
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 4 5 x 2 0 x 4 5 x 2 4 0 .
|
|
Обозначим |
x 2 t |
и |
решим |
|
полученное |
квадратное уравнение |
t 2 5t 4 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дискриминант D 25 16 9 32 0 |
|
t |
|
|
5 3 |
|
1, |
t |
|
|
5 3 |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Из условия |
x 2 |
t |
1 |
1 найдем |
x |
|
1, |
|
x |
2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Из условия |
x 2 |
t |
2 |
4 найдем |
|
x |
3 |
2 , |
|
x |
4 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
В соответствии с формулой y |
|
2 |
определим y 2 |
, |
|
y |
|
2 , |
y |
|
1, |
y |
|
1. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Таким образом, критическими точками заданной функции будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
M1 1,2 , M 2 1, 2 , |
M 3 2,1 и M 4 2, 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Для проверки достаточного условия экстремума найдем частные производные второго |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
порядка: |
|
|
y const 3x |
2 |
3y |
2 |
15 x |
3 |
2x 0 0 6x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
z xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
6x 1 0 6x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
z yy |
x const 6xy 12 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x const 3x |
2 |
3y |
2 |
15 y |
|
0 3 2y 0 6y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M A , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
В каждой критической точке М вычислим значения этих производных z xx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M B , |
|
|
M C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
C |
|
|
AB C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
z yy |
|
z xy |
|
и найдем определитель |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
M1 1,2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
В точке |
|
A 6, B 6, C 12, 36 144 108 0 , |
следовательно, |
точка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M 1 |
|
не является точкой экстремума функции z x, y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
В точке |
M 2 1, 2 : |
A 6, B 6, C 12, 36 144 108 0 , |
следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точка M 2 |
не является точкой экстремума функции z x, y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
В точке |
M 3 2,1 : |
|
A 12, B 12, C 6, 144 36 108 0 , |
следовательно, |
точка |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M 3 |
|
является точкой экстремума функции |
z x, y . При этом |
A 12 0 , |
значит, |
в точке M 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функция имеет минимум, |
zmin M 3 23 3 2 12 |
15 2 12 1 28 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
В точке |
M 4 2, 1 : |
A 12, B 12, C 6, 144 36 108 0 , |
следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точка M 4 |
является точкой экстремума функции |
|
z x, y . |
|
При этом |
A 12 0 , значит, в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке M 4 |
функция имеет максимум, значение которого составляет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
zmax M 4 2 3 3 2 1 2 15 2 12 1 28 .
Пример 7. Имеются данные о затратах на обслуживание У(тыс. руб.) и сроке эксплуатации Х(лет) некоторого оборудования.
Х |
1 |
5 |
10 |
15 |
|
|
|
|
|
У |
1 |
3 |
7 |
10 |
|
|
|
|
|
Пользуясь методом наименьших квадратов аппроксимировать данные линейной зависимостью y ax b и определить с ее помощью приближенное значение затрат при
сроке эксплуатации x 8 лет. Вычислить сумму квадратов отклонений найденной прямой от исходных точек. (Расчет коэффициентов a и b выполнить с точностью 2 знака после запятой.)
Решение.
Для определения коэффициентов линейной зависимости составим систему нормальных уравнений:
|
|
2 |
b xi |
xi |
yi |
|
|||
a xi |
. |
||||||||
|
a |
i |
b n |
|
|
i |
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
x |
y |
|
|
|
Вычисление необходимых сумм проведем в таблице:
|
x |
i |
y |
i |
x 2 |
x |
i |
y |
i |
|
|
|
i |
|
|
||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
||
|
5 |
3 |
25 |
|
15 |
|
|||
|
10 |
7 |
100 |
|
70 |
|
|||
|
15 |
10 |
225 |
150 |
|
||||
сумма |
31 |
21 |
351 |
236 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 351 b 31 236 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Запишем систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
и решим ее по формулам Крамера. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 31 b 4 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
351 |
31 |
1404 961 443 0 , |
система имеет единственное решение. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
31 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
31 |
|
944 651 293 a |
1 |
|
293 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
236 |
|
|
0,66 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
21 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
443 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
236 |
|
7371 7316 55 b |
2 |
|
55 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
351 |
|
|
|
0,12 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
31 |
21 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
443 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Таким образом, требуемая линейная зависимость построена: |
y 0,66x 0,12 . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Определим с ее помощью приближенное значение затрат у при сроке эксплуатации |
|||||||||||||||||||||||
x 8 лет: |
y 0,66 8 0,12 6,40 (тыс. руб.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Для вычисления суммы квадратов отклонений найденной прямой от исходных точек |
|||||||||||||||||||||||
дополним расчетную таблицу столбцами у |
Тi |
, |
E |
i |
и |
E 2 . Теоретические значения у |
Тi |
найдем с |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||||
помощью |
полученной |
формулы |
y 0,66x 0,12 |
для каждого |
заданного значения xi . |
|||||||||||||||||||||||
Отклонения Ei рассчитаем по формуле Ei yTi |
yi . Затем определим квадраты отклонений |
|||||||||||||||||||||||||||
и их сумму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
x |
i |
y |
i |
у |
Тi |
E |
i |
E 2 |
|
|
|
|
|
i |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
0,78 |
-0,22 |
0,0484 |
||||
|
5 |
3 |
3,42 |
0,42 |
0,1764 |
||||
|
10 |
7 |
6,72 |
-0,28 |
0,0784 |
||||
|
15 |
10 |
10,02 |
0,02 |
0,0004 |
||||
сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3036 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ei2 |
Сумма |
квадратов отклонений найденной прямой |
от |
исходных точек |
найдена: |
0,3036 . |
|
|
|
||
Пример 8. |
По данным о величине пробега автомобиля |
Х |
(100 тыс.км.) и |
стоимости |
обслуживания У (усл. ден. ед.) построены зависимости yˆ 0,3x 0,76 и |
|
|
|
|
. |
yˆ |
2 |
x |
|||
1 |
|
|
|
|
Определить средние квадратические погрешности обеих зависимостей и выяснить какая из них лучше выравнивает исходные данные. Сделать чертеж.
|
|
|
|
Х |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
1,0 |
|
|
1,4 |
|
|
1,7 |
|
2,0 |
|
2,2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Для каждой зависимости |
рассчитаем |
по соответствующей |
формуле значения |
||||||||||||||||||||||
yˆ |
i |
f x , затем определим остатки E |
yˆ |
i |
y |
, квадраты остатков Ei2 |
и их сумму Ei2 . |
||||||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Результаты расчетов приведем в таблице. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Исх. данные |
|
yˆ1 0,3x 0,76 |
|
|
|
yˆ2 |
|
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
xi |
yi |
|
yˆ |
|
|
|
Ei |
|
Ei2 |
yˆ |
2i |
|
|
Ei |
|
|
|
Ei2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
1,06 |
|
|
|
0,06 |
|
0,0036 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
2 |
1,4 |
|
1,36 |
|
|
-0,04 |
|
0,0016 |
1,41 |
|
0,01 |
|
0,0001 |
|
||||||||||
|
|
|
3 |
1,7 |
|
1,66 |
|
|
-0,04 |
|
0,0016 |
1,73 |
|
0,03 |
|
0,0009 |
|
||||||||||
|
|
|
4 |
2 |
|
1,96 |
|
|
-0,04 |
|
0,0016 |
2 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
5 |
2,2 |
|
2,26 |
|
|
|
0,06 |
|
0,0036 |
2,24 |
|
0,04 |
|
0,0016 |
|
|||||||||
|
|
сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0120 |
|
|
|
|
|
|
0,0026 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь можно найти средние квадратические погрешности заданных зависимостей:
|
E |
1 |
Ei2 . |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для линейной зависимости yˆ |
0,3x 0,76 получим E1 |
|
1 |
0,0120 0,049 . |
||||
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53
Для альтернативной зависимости yˆ |
|
|
|
получим E2 |
1 |
0,0026 0,023. |
|
||||
2 |
x |
|
|||||||||
5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнение |
средних |
квадратических погрешностей |
E1 0,049 E2 |
0,023 |
|||||||
показывает, что зависимость |
yˆ2 |
|
лучше (в смысле метода наименьших квадратов) |
||||||||
x |
|||||||||||
выравнивает исходные данные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим чертеж, на котором покажем:
–исходные точки M i xi , yi ;
–график зависимости yˆ1 0,3x 0,76 - прямую, соединяющую точки xi , yˆ1i ;
–график зависимости yˆ2 x - параболу, соединяющую точки xi , yˆ2i .
обслуживания |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y, стоимость |
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
Х, пробег автомобиля |
|
|
|
исходные данные |
|
зависимость У1(х) |
|
|
|
зависимость У2(х) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения
Для указанных функций найти частные производные первого порядка:
|
z 5xy |
4 |
2x |
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4xy |
7 |
|
|
20xy |
3 |
14x |
2 |
|
6 |
|
||||||||||
1. |
|
|
y |
|
. |
Ответ: |
zx |
5y |
|
|
, |
z y |
|
|
y |
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 x 3 y |
|
|
|
|
3e 2 x 3 y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
z e |
2 x 3 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
z x |
|
|
2x 3y |
|
|
z y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2x 3y |
|
|
|
|
54
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
z |
|
|
|
|
|
. |
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
zx |
x 2 y 2 3 |
|
zx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 y 2 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
u |
|
xz |
|
|
|
|
|
|
|
|
yz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
|
|
. |
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ux |
x y 2 |
|
u y |
|
x y 2 |
uz |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|||||||||||||||||||||
|
u z e |
xy |
|
|
|
|
|
yz e |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
xz e |
xy |
|
|
|
xy |
|
|
||||||||||||||||||||
5. |
. |
|
|
Ответ: |
ux |
, |
|
|
|
u y |
, |
uz e |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить значения частных производных функции u |
y |
|
|
z |
|
|
x |
|
в точке |
M 1,1, 2 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
y |
z |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 1,25 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux M 1,5; uy |
|
M 1; uz |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить значения частных производных функции u |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
в точке M 0, 1,1 . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 y 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
M 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux M 0, uy |
|
uz M 1. |
|
|
|
|
Для указанных функций найти частные производные второго порядка, убедиться в том, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zxy |
z yx : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
z ln 3xy 4 . |
Ответ: |
|
|
9 y 2 |
, |
|
|
9x2 |
|
|
|
12 |
. |
||
|
|
|
|
|
||||||||||||
zxx |
3xy |
4 2 |
z yy |
3xy |
4 2 |
, zxy |
z yx |
3xy 4 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
z e |
2 x2 y2 |
. |
|
|
4e |
2 x2 y2 |
1 4x |
||||
|
|
|
Ответ: zxx |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
zxy |
z yx |
8xy e |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти критические точки функций: |
|
|
|
|
||||||||
10. |
z x2 y 4 x y , |
x 0, y 0 . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
z x |
y x2 |
y 6x 3 . |
|
|
|
|
|
Исследовать на экстремум функции:
2 , z
yy
y2 .
2e2 x2 y2 1 2y 2 ,
Ответ: M 2,1 .
Ответ: M 4, 4 .
12. |
z x 5 2 2y 2 |
1. |
Ответ: |
zmin 5, 0 1. |
|||
13. |
z xy 3x2 |
2y 2 . |
Ответ: |
z |
max |
0, 0 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
z 3xy x2 |
y 2 |
10x 5y . |
Ответ: критическая точка M 1, 4 |
не является точкой экстремума.
15. Имеются данные о среднедневной температуре t (0С) и объеме продаж мороженого У
(тыс. шт.).
t |
10 |
15 |
20 |
25 |
|
|
|
|
|
У |
3 |
5 |
15 |
22 |
|
|
|
|
|
Пользуясь методом наименьших квадратов аппроксимировать данные линейной зависимостью y at b и определить с ее помощью приближенно объем продаж при
55
температуре t 220 C . (Расчет коэффициентов a и b выполнить с точностью 2 знака
после запятой.) |
Ответ: y 1,34x 12,20 , |
y 22 17,28 тыс. шт. |
Дифференциальные уравнения
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входит неизвестная функция, независимая переменная и производная функции
F x, y, y 0 .
Решением дифференциального уравнения называется такая функция y y x , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.
Общим решением дифференциального уравнения 1–го порядка называется такое его решение y x, C , которое является функцией переменной x и произвольной постоянной C .
Основные типы дифференциальных уравнений 1-го порядка
Неполные дифференциальные уравнения 1-порядка:
y f x (не содержит y )
y f y (не содержит x )
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными: dydx f x g y ,
или M x N y dx P x Q y dy 0 .
Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка:
y g y x ,
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка:
y f x y g x ,
Если g x 0 уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
(3 y)xdx (x 1) ydy 0 .
Решение.
56
В исходном уравнении при каждом дифференциале стоит произведение функций только одного аргумента. Следовательно, оно является уравнением с разделяющимися переменными. Метод решения таких уравнений называется «делим на лишнюю». При этом
под «лишней» при dx является функция аргумента y , а при dy - функция аргумента x .
Цель: сформировать при дифференциале каждой переменной функцию только этой переменной, чтобы можно было вычислить интеграл.
Сначала перенесем одну часть уравнения в правую сторону: (3 y)xdx (x 1) ydy .
При dx «лишним» является сомножитель (3 y) . Полагая (3 y) 0 поделим на него
все уравнение, |
получим xdx |
(x 1) ydy |
. Теперь при |
dy «лишним» является сомножитель |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(3 y) |
|
|
|
|
|
|
|
(x 1) . Поделим |
на |
него |
все уравнение, полагая |
(x 1) 0 . |
В результате |
получим |
|||||||
выражение |
|
xdx |
|
ydy |
, которое можно проинтегрировать: |
xdx |
|
ydy |
|
. После |
|||
(x 1) |
(3 y) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(x 1) |
(3 y) |
вычисления интегралов будет найдено общее решение (общий интеграл) исходного уравнения: x ln x 1 y 3ln 3 y c .
|
|
|
Найти общее решение дифференциального уравнения y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 2. |
|
x (2y 3)2 |
0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Проверим, |
|
|
|
можно |
ли |
в |
|
уравнении |
разделить |
переменные. |
Воспользовавшись |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
равенством y |
dx |
, запишем уравнение в дифференциалах: |
|
dx |
|
x (2 y |
3) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Умножим обе части на dx : |
|
|
xdy (2y 3)2 dx . В этом уравнении можно разделить |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменные с помощью алгебраических преобразований. В левой части |
уравнения при dy |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
«лишним» является сомножитель |
|
|
|
x . |
Поделив на него все уравнение ( |
|
x 0 ), |
получим: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dy |
(2 y 3)2 dx |
. |
|
Теперь |
|
при |
|
dx |
в |
|
правой части |
уравнения |
|
«лишним» |
является |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сомножитель (2 y 3)2 , причем |
(2 y 3)2 |
0 . Поделим на него все уравнение. В результате |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
выражение |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
Проинтегрируем обе |
части |
равенства: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(2 y |
3)2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dy |
|
|
|
|
dx |
|
. |
Вычислив интегралы, найдем общее решение (общий интеграл) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2 y |
3) |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
исходного уравнения: |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4 y 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57
Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения |
2(1 ex ) yy ex при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданных начальных условиях y(0) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Частное решение находится из общего, |
поэтому сначала найдем |
общее решение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциального уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Проверим, |
можно ли в уравнении |
разделить |
переменные. |
Запишем |
уравнение в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференциалах, воспользовавшись равенством |
y |
dx . Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 ex ) y |
dy |
ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Умножим обе части равенства на |
dx : |
2(1 ex ) ydy ex dx . |
Теперь видно, что оно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
является уравнением с разделяющимися переменными: в левой части |
уравнения при dy |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
«лишним» является сомножитель |
(1 ex ) , а при |
|
dx в правой части уравнения «лишних» |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сомножителей |
нет. |
Поделив |
все уравнение |
|
на |
выражение |
(1 ex ) 0 |
получим: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 ydy |
|
|
ex dx |
|
. |
|
Теперь |
можно интегрировать: |
|
|
2 ydy |
ex dx |
|
|
|
. |
Вычислив |
интегралы, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(1 e |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 e |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
найдем общее решение исходного уравнения: |
y2 ln |
1 ex |
c . |
Произвольную постоянную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
удобнее записать в виде ln c . |
Тогда общее решение будет иметь вид: |
y2 ln |
1 ex |
ln c . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Преобразуем его по свойству логарифма ln a ln b ln ab : y2 |
ln c |
|
1 ex |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Теперь найдем частное решение. Начальные условия заданны в виде |
y(0) 1, т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x0 |
0 |
|
y0 1. |
Подставим заданные значения |
x0 |
и |
y0 в общее решение и найдем значение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
произвольной |
постоянной с : |
12 ln c |
|
1 e0 |
|
|
ln 2c 1 |
|
2c e |
c e 2 . Чтобы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
записать |
|
|
частное |
решение |
подставим |
найденное |
значение |
|
|
|
c |
в |
общее |
решение: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
e |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
ln |
|
|
1 e |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 4. |
Найти общее решение дифференциального уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xdy ydx ydy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
В первую очередь проверим, можно ли в уравнении разделить переменные. Для этого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сгруппируем выражения при дифференциалах переменных: |
(x y)dy ydx . В полученном |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнении |
при |
|
дифференциале |
dy нельзя с |
помощью алгебраических |
преобразований |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58 |
разделить переменные. Следовательно, оно не является уравнением с разделяющимися переменными.
Проверим, является ли оно однородным. Для этого удобнее записать его через
производную функции ( y dydx ), а не дифференциалы переменных, поделив все уравнение
|
|
(x y) |
dy |
y |
(x y) y y |
|
y |
y |
||
на |
dx : |
|
(1). Однородное уравнение имеет вид |
f |
|
. |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x |
Иногда для студентов представляется трудным преобразовать исходное уравнение к такому виду, поэтому проверить его на однородность можно следующим образом: подставим в
уравнение вместо x tx , а вместо |
y ty ( y остается без изменений) и преобразуем |
|
полученное выражение: (tx ty) y ty |
|
t(x y) y ty . Все выражение можно сократить |
на t и получится исходное уравнение, значит оно является однородным.
Решаются однородные уравнения с помощью подстановки y(x) xu(x) (2), где u(x) -
неизвестная функция, которую надо найти. Продифференцировав уравнение подстановки (2)
найдем выражение для производной y : |
y u xu (3). Подставив оба выражения (2) и (3) |
||
в преобразованное уравнение (1) получим: |
|
(4). Новое уравнение |
|
(x xu)(u xu ) xu |
решается относительно функции u(x) , причем оно всегда является уравнением с разделяющимися переменными. Преобразуем полученное уравнение так, чтобы разделить переменные:
- вынесем x за скобки: |
|
|
|
|
|
|
|
x(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(x xu)(u xu ) xu |
u)(u xu ) xu |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
- поделим на x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1 u)(u xu ) u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
- раскроем скобки: (1 u)u (1 u)xu u u u2 |
(1 u)xu u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
- приведем подобные: |
(1 u)xu u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
du |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
- запишем уравнение в дифференциалах (u |
dx ) : |
|
(1 u)x dx u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
- умножим обе части равенства на dx : (1 u)xdu u2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
- разделим переменные, поделив обе части равенства на сомножители x 0 и u2 |
0 : |
|||||||||||||||||||||||||||
(1 u)du |
u 2 |
|
(1 u) |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
du |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
u |
dx |
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|||||
Теперь упростим полученное |
выражение: |
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
u 2 |
|
|
du |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 2 |
|
u 2 |
x |
|
|
|
u |
|
x |
|
Общее решение (общий интеграл) уравнения (4) найдем, вычислив интегралы:
59
|
|
1 |
|
dx |
|
1 |
|
u 2 |
|
|
du |
|
|
|
ln u ln x c (5). |
|
|
|
|||||
|
|
u |
x |
|
u |
|
Чтобы найти общее решение исходного уравнения (1) надо из подстановки (2)
выразить функцию u xy и подставить в полученное общее решение (5) уравнения (4):
|
1 |
ln |
y |
ln x c . |
|
|
Преобразуем |
|
полученный |
|
результат, |
|
воспользовавшись |
свойством |
|||||||||||||||||||||||||
|
y x |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ln |
a |
|
ln a ln b : |
x ln y ln x ln x c |
|
x |
ln y c |
|
|
x |
|
ln y c 0 - общее решение |
|||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xy y2 |
2x2 y xyy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Исходное уравнение преобразуем к виду: |
xy y2 (xy 2x2 ) y (1). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Попробуем |
разделить |
переменные. Для |
|
этого |
|
|
сгруппируем |
выражения |
при |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
(xy |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dy |
y(x y)dx x( y 2x)dy . |
|||||||||
производной: |
xy y |
|
(xy 2x |
|
) y |
y |
|
) (xy 2x ) dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Убедились, что разделить переменные невозможно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Проверим, является ли оно однородным: |
|
заменим в уравнении (1) |
x на tx , а y |
на ty |
|||||||||||||||||||||||||||||||
( y |
остается |
|
без |
изменений) |
|
|
и |
|
|
|
преобразуем |
|
|
|
|
полученное |
выражение: |
||||||||||||||||||||||
txty (ty)2 |
(txty 2(tx)2 ) y t 2 (xy y2 ) t 2 (xy 2x2 ) y . |
|
Все выражение можно сократить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на t 2 и получится исходное уравнение, следовательно оно является однородным. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Применим подстановку |
y(x) xu(x) |
(2), где |
u(x) - |
|
неизвестная функция, которую |
||||||||||||||||||||||||||||||
надо найти. Продифференцируем выражение (2): |
|
y u xu (3). Подставив оба выражения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2) |
|
и (3) в уравнение (1) получим: |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
u |
2 |
|
2 |
u 2x |
2 |
|
|
(4). Решим |
новое |
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
u x |
|
(x |
|
)(u xu ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение относительно функции u(x) , выполнив последовательно действия: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
- |
|
вынесем |
x |
2 |
за скобки: x |
2 |
(u u |
2 |
) x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u 2)(u xu ) |
|
|
|
|
|
|
-поделим на x2 : (u u2 ) (u 2)(u xu )
-раскроем скобки: u u2 u2 2u (u 2)xu
-приведем подобные: (u 2)xu u
|
|
|
|
du |
|
du |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- |
запишем уравнение в дифференциалах (u |
dx ) : |
(u 2)x dx u |
||||||
|
|||||||||
- |
умножим все уравнение на dx : (u 2)xdu udx . |
|
|
|
60