Теоретическая механика_ Ч_1_()

Рис.4.6. Начальная постановка задачи

Вспомогательные вычисления.

Определим величины b и е, выразив их через а

b a tg600 3 a;

a

OB 2a; cos600

	e OB ctg600	3	2a.
		3

Координаты точки приложения силы F (точка А):

xA 0; yA 0; zA 2a 3 . 3

Проекции силы F на оси определены выше

61

X Fx F 3 ; 4

3 Y Fy F ; 4

1 Z Fz F .

2

Теперь легко вычислить моменты силы F относительно осей координат

mx(F ) yZ zY 0 2a 3 F 3 ; 3 4

	my(		) zX xZ 2a	3	F	3	0 F a	1	;
		F
				3		4
							2

mz(F ) xY yX 0 0 0.

4.2.2. Решение задач

Пример 4.4.

К прямоугольной плите АВDE, вес которой Q ,

приложена сила P . Сила P составляет с осями проекций углы

, , (рис.4.7).

Плита удерживается в горизонтальном положении шестью невесомыми стержнями, которые скреплены шарнирно с плитой и с неподвижными опорами. Исходные данные приведены в табл. 4.3.

Определить реакции стержней.

62

Табл.4.3. Исходные данные

					P	Q
град	град	град	град	град	Н	Н
600	450	600	300	600	600	800

На рис.4.7 изобразим силы, действующие на заданную конструкцию.

Рис.4.7. Силы, действующие на конструкцию.

Вспомогательные вычисления.

Вычислим тригонометрические функции углов

b a tg a tg600 a3,

e b tg a3tg300 a,

63

tg					e									e							1	,
				a2 b2							a2 3a2								2
cos				1									2					,
					1 tg2						5
sin					tg							1					.
					1 tg2						5

Для решения задачи рассмотрим равновесие плиты. На плиту

действуют две активные силы P и Q . Связями для плиты служат шесть стержней. Стержни являются невесомыми, с шарнирно закрепленными концами. Реакция прямолинейного стержня с шарнирно закрепленными концами направлена по оси стержня.

Выполняем новый чертеж (рис.4.8) и указываем на нем действующие на плиту силы.

Рис.4.8. Плита и действующие на нее силы

64

На плиту АВDЕ действует произвольная пространственная система сил. Для равновесия такой системы необходимо, чтобы выполнялись шесть условий равновесия

Fkx 0,	mx		Fk 0,
Fky 0,	my		Fk 0,
Fkz 0,	mz	Fk 0.

Прежде, чем составлять уравнения равновесия, надо составить и заполнить таблицу, в которой записаны проекции каждой силы на оси и момент каждой силы относительно осей.

Сначала заполняем те клетки, в которых должны быть

нули.

Табл.4.4.Расчетные данные

												Fkx		Fky					Fkz	mx	Fk	my	Fk	mz	Fk
				Fk
																				0		0		0
						P
												0	0											0
					Q
												0	0									0		0
			R1
							2						0									0
			R
												0	0											0
		R3
																						0
		R4
													0									0		0
		R5
												0	0							0		0		0
		R6
												Очевидно, что затруднения возникнут при определении
проекций силы
														R4 на оси и при вычислении моментов силы R4
относительно осей.
						Проекции силы													на оси равны
																R4

65

		R4x	R4 cos sin ,
		R4 y	R4	cos cos ,
		R4z R4		cos cos .
		В точке E с координатами			XE,YE, ZE приложена сила
	R4
		XE 0,		YE a,	ZE 0.

Вычисляем момент силы R4 относительно осей

mx R4 yZ zY R4 sin a Q R4 sin a;

my R4 zX xZ 0 0 0;

mz R4 xY yX 0 a( R4 cos sin ) R4 acos sin .

Проведем вспомогательные вычисления

sin	1			;					cos			2						;
5												5
					2												;
cos sin									sin600					3
					5							5
cos cos					2				cos600				1					.
					5							5

Теперь заполним таблицу

66

Табл.4.5. Расчетные данные

										Fkx	Fky	Fkz	mx	Fk			my	Fk			mz	Fk
				Fk
										Pcos	Pcos	Pcos	0				0				0
			P
										0	0	Q			1				1		0
	Q												Q			a	Q
														2					2
										0	0	R1	R1 a				0				0
		R1
										R cos	0	R sin	R sin a				0				R a
	R
2										2		2	2								2
																					cos
										0	0	R3	R3 a				R3 b				0
		R3
										R4 cos	R4 cos	R sin	R sin				0				R a
	R
4										sin	cos	4	4								4
																					cos s
										R5 cos	0	R5 sin	0				0				0
		R5
										0	0		0				0				0
	R6

Составляем уравнения равновесия:

1.Fkx Pcos600 R2 cos300 R4 cos sin R5 cos300 0,

2.Fky Pcos450 R4 cos cos 0,

67

3. Fkz Pcos600 Q R1 R2 sin300 R3 R4 sin R5 sin300 R6 0,

		4. mx							Fk Q																a			R1a R2 sin300									a R3 a R4asin 0,
																						2
		5. m y F k																					Q								b			R			3 b 0 ,
																													2
		6. mz										Fk R2 cos300 a R4acos sin 0.
		Решаем уравнения уравнения (1)-(6).
		Из уравнения (5) следует, что
			R b Q										b				,											R		Q			400( H ).
	3											2										3							2
		Из уравнения (2) вычислим R4
					1																						,
			R					P																2
																						2
	4				5
			R P													10						300										.
																													10
	4											2
		Из уравнения (6) вычислим R2
				a R a															,																2	600			849( H ).
R		3													3													R	R a
																																						2
	2																																		15
2					4							5										2							4

Из уравнения (1) вычислим R5

68

R	3						P	R			3		R							3		,
	2						2				2
5									2					4						5
R		P				R R						2			P				,
5	3						2		4 15							3

600

R5 200 3( H ).

3

Из уравнения (4) следует

	R	1		Q		1	R	R	R		1		400				1		( 600				) 400 ( 300			)		1		0.
																						2			10
	1	2		2			2	3		4	5				2							15
				Из уравнения (3)
	R		1		P Q R				1	R R R					1					1	R 300 800 0			1	( 600						)
																													2
	6	2						1	2	2	3			4	5				2		5	2

400 ( 30010) 1 1003 527(H). 5

Таким образом получено решение

R1	0,	R2		849H,				R3	400H,
R4	950H,				R5		347H,	R6	527H.
Знаки минус указывают, что действительные
направления сил				и			противоположны указанным на
		R2			R4
рисунке 4.8.

69

Вопросы для самопроверки

1.Что изучает статика?

2.Какими тремя факторами определяется сила, действующая на твердое тело? Что такое линия действия силы?

3.Какая сила называется равнодействующей силой?

4.Сформулируйте аксиомы статики.

5.Каковы две основные задачи статики?

6.Какое тело называется несвободным? Что обозначает термин «связь»?

7.В чем состоит принцип освобождения от связей?

8.Что понимается под термином «реакция связи»? Куда направлена реакция связи?

9.Основные типы реакций связи.

10.Что означает термин найти реакцию опоры?

11.Что называется моментом силы относительно данной точки? Как выбирается знак этого момента?

12.Что такое плечо силы?

13.Что называется парой сил? Как вычисляется момент пары

сил?

14.В каких случаях момент силы относительно точки равен

нулю?

15.Как формулируются условия равновесия произвольной плоской системы сил? Какие формы условий равновесия вы знаете?

16.Что называется главным вектором системы сил?

17.Что называется главным моментом системы сил относительной данной точки?

18.Как формулируется теорема о параллельном переносе

сил?

19.Чему равны проекции главного вектора на каждую из координатных осей?

70