Наврозов, В. В. Элементы высшей математики 1
.pdf6.5 Исследование функций и построение их графиков.
Общая схема исследования функции
А. Общая характеристика.
1.Область определения функции.
2.Четность (нечетность) функции, осевая симметрия.
3.Асимптоты графика функции:
а) вертикальные,
б) невертикальные.
4.Множество значений функции.
Б. Локальная характеристика.
5. Точки экстремума и интервалы монотонности функции.
6.Точки перегиба графика функции, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.
Результаты исследования удобно свести в таблицу. Используя полученные результаты, строим график функции.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
y= x23x−1 .
Решение.
А. Общая характеристика.
1. Область определения функции D(x) = (−∞; −1) (−1;1) (1; +∞) .
Точки разрыва x = −1, x =1 .
31
2. Проверим четность функции:
y(−x) = |
3(−x) |
|
= − |
|
3x |
|
= −y(x) , значит, функция нечетная, ее |
|||
(−x) |
2 |
−1 |
x |
2 |
−1 |
|||||
|
|
|
|
|
график симметричен относительно начала координат.
3.Асимптоты:
а) вертикальные.
Функция имеет |
две |
точки |
|
|
|
разрываx = −1, |
|
|
|
x =1 , причем |
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
3x |
|
|
= −∞, |
lim |
|
3x |
|
= +∞ |
, |
|
lim |
|
|
|
|
3x |
|
= −∞ , |
lim |
|
|
3x |
|
|
= +∞ . |
||||||||||
x |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
x→−1−0 |
−1 |
|
x→−1+0 x |
−1 |
|
|
|
|
x→1−0 x |
|
|
−1 |
|
|
|
|
x→1+0 x |
|
−1 |
|
|||||||||||||||||
следовательно, прямые |
x = −1, |
x =1 – вертикальные асимптоты. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) невертикальные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
k = lim |
y |
|
= lim |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
3 |
|
= 0 |
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x2 − |
1)x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→∞ x |
|
x→∞ |
|
x→∞ x2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b = lim[y − kx] |
= lim |
|
|
|
|
3x |
|
− 0 x = 0 |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
x→∞ |
x |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
следовательно, |
y = 0 – горизонтальная асимптота. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Б. Локальная характеристика. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. Монотонность функции и точки экстремума. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Найдем производную y′ |
= − |
3(x2 +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(x |
2 |
−1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Стационарные точки первого рода: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
а) |
регулярные: |
|
y′ = 0 (x2 +1) = 0 x2 |
= −1 |
, |
|
вещественных |
решений уравнение не имеет, значит, регулярных стационарных точек нет.
32
б) |
нерегулярные: |
y′ |
не |
существует, |
если |
(x2 −1)2 |
= 0 x1 = −1, x2 =1, но |
эти |
точки не |
входят в |
область |
определения функции. Данные точки разбивают числовую ось на
три интервала. Нетрудно убедиться, |
что |
в каждом интервале |
(−∞; −1), (−1; 1), (1; +∞) производная |
y′ |
отрицательна, значит, |
функция убывает на всей области определения. Точек экстремума нет.
5. Выпуклость, |
вогнутость |
графика |
функции и точки |
|||
перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x(x2 + 3) |
|
||
Найдем производную второго порядка y′′ = |
(x2 −1)3 |
. |
||||
Стационарные точки второго рода: |
|
|
|
|
||
а) |
регулярные: |
y′′ = 0 6x(x2 |
+ 3)= 0 x = 0 |
; |
|
|
б) |
нерегулярные: y′′ не |
существует |
(x2 −1)3= 0 |
x1 = −1, x2 =1 D(x).
Данные точки разбивают числовую ось на четыре интервала. На
интервалах |
(−∞; −1) и (0;1) |
y′′ > 0 и график |
функции является |
вогнутым. |
На интервалах |
(−1;0) и (1; +∞) y′′< 0 |
и график функции |
является выпуклым. |
|
|
Точка (0;0) является точкой перегиба графика функции.
Полученные данные объединяем в таблицу:
33
x |
( −∞; −1) |
-1 |
(-1;0) |
0 |
(0;1) |
1 |
(1; +∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
− |
не |
− |
|
− |
− |
не |
− |
|
|
сущ. |
|
|
|
|
сущ. |
|
y′′ |
− |
не |
+ |
0 |
− |
не |
+ |
|
|
|
сущ. |
|
|
|
|
сущ. |
|
y |
I |
не |
U |
|
0 |
I |
не |
U |
|
|
сущ. |
|
|
точка |
|
сущ. |
|
|
|
|
|
|
перегиба |
|
|
|
График функции: |
|
|
|
|
|
|
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
y = x2 ln x .
Решение.
А. Общая характеристика.
1.Область определения функции D(x): x > 0 .
2.Четность функции: y(− x) не существует, функция общего
вида.
3.Асимптоты:
34
а) вертикальные.
Вертикальная асимптота может быть только в точке x = 0 (граница области определения). Найдем правосторонний предел в этой точке:
lim x |
2 |
ln x = (0 |
∞)= |
lim |
ln x |
|
∞ |
|
||
|
|
|
|
= |
|
= |
||||
|
1 |
|
||||||||
x→0+0 |
|
|
|
x→0+0 |
|
∞ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
lim
x→0+0
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
x |
|
= |
−23x
lim − x2 = 0 ,
x→0+0 2
т.к. предел в точке x = 0 конечен, то вертикальных асимптот график функции не имеет.
б) невертикальные.
k = lim |
y |
|
= lim |
x2 |
ln x |
= +∞ , |
|
|
x |
|
x |
|
|
||||
x→+∞ |
x→+∞ |
|
|
|
|
|||
следовательно, невертикальных асимптот нет. |
|
|
||||||
Б. Локальная характеристика. |
|
|
|
|
|
|
||
4. Монотонность функции и точки экстремума. |
|
|
||||||
Найдем производную y′ = 2x ln x + x = x(2 ln x +1) . |
|
|
||||||
Стационарные точки первого рода: |
|
|
|
|
||||
а) регулярные: y′ = 0 x(2 ln x +1)= 0 x1 = 0 D(x), x2 |
= 1 |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
б) нерегулярных стационарных точек нет, т.к. y′ |
не |
|||||||
существует при x = 0 D(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследование функции на монотонность приведем в общей таблице.
5. Выпуклость, вогнутость графика функции и точки перегиба.
35
Найдем производную второго порядка y′′ = 2ln x +3.
Стационарные точки второго рода:
а) регулярные: |
y′′ = 0 2 ln x +3 = 0 ln x = − |
3 |
x = |
1 |
; |
|
2 |
e3 |
|||||
|
|
|
|
б) нерегулярных стационарных точек нет ( x = 0 D(x)).
Составим таблицу:
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
x |
|
0; |
|
3 |
|
|
|
|
|
3 ; |
|
|
|
|
|
;+ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
e |
|
e |
3 |
|
e |
|
|
e |
e |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
y′ |
− |
|
− |
− |
|
0 |
|
+ |
||
|
y′′ |
− |
|
0 |
|
+ |
+ |
|
+ |
||
|
|
∩ |
− |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
y |
|
|
2e |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
|
|||||
|
|
|
точка |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
min |
|
||||||
|
|
|
перегиба |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
График функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение 14. Исследовать функции и построить их графики:
|
|
1− |
2x3 |
|
x ; 3) y =1−e− |
x2 |
2x3 |
|
|
|
|
|
1) |
y = |
; 2) y = (x −3) |
2 |
;4) y = |
|
|
;5) y = 3 |
1− x3 . |
||||
x |
2 |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
36
|
|
Контрольные задания |
|
|
|
|||||
I. Найти производные функций. |
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
а) |
y = 2x3 + 53 x − 24 +1; |
|
б) y = |
ex |
; |
|
|
||
|
cos3x |
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
y = ln(x2 + 3x +1)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
а) |
y =5x2 − 4 + 27 x3 |
+ 5 |
; |
б) |
y = |
1 − x2 arccos x |
; |
||
x2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
в) |
y = (x2 + 2x +1)3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
а) |
y = 2x3 − 64 x3 + 7 |
− 4 |
; |
б) |
y = 2x sin 4x |
; |
|
||
x3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
в) y = ln(x2 + 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.а)
в)
5.а) в)
6.а)
в)
7.а)
в)
8.а)
в)
y = 2x2 − |
|
3 + |
63 − 2 |
; |
||
|
|
|
3 x |
x |
|
|
y = 3 cos 2x . |
|
|
||||
y =3x4 − |
55 + |
9 3 x2 |
+1; |
|||
|
|
|
x |
2 |
|
|
y = ln tgx . |
|
|
||||
y = 2x3 − |
|
6 − 23 + 7 ; |
||||
|
|
|
3 x2 |
x |
|
|
y =tg3 5x . |
|
|
||||
y = x2 + |
|
25 − 4 |
x + 6 ; |
|||
1 |
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
y = |
|
. |
|
|
||
sin 3x2 |
|
|
y = 2x4 − |
64 + 2 x3 |
+1; |
||||
|
|
|
x |
x |
|
|
y = ln |
|
|
|
. |
|
|
x |
2 |
+1 |
|
|||
|
|
|
|
б) y = 3x log3 x ;
б) y = (x2 +1) arctgx ;
б) y = x2 + 4x +5 ; cos x
б) y = tg2x ln 6x ;
б) y = ex + cos x ; sin x
37
9.а)
в)
10.а)
в)
11.а)
в)
12.а)
в)
13.а)
в)
14.а)
в)
15.а)
в)
16.а)
в)
17.а)
в)
y = 5x3 − |
23 +3 x +5 ; |
||
|
x |
|
|
y = e3x 2 +2 x +1 . |
|
||
y = 6x2 + |
42 − |
3 −1 |
; |
|
x |
3 x |
|
y = cos(3x2 + 5x + 2). |
|||
y = 7x2 − |
53 + |
4 + 5 |
; |
|
x |
6 x |
|
y = 4 2x2 + 4x + 5 . |
|
||
y = 3x2 − |
62 − 3 + 4 ; |
||
|
x |
x3 |
|
y = 2tg x . |
|
|
|
y = 2x3 − 8 − 23 + 7 ; |
|||
|
4 x3 |
x |
|
y = ln 3x +1 .
y = 4x2 − |
6 + |
|
42 + 6 |
; |
|
|
3 x4 |
x |
|
|
|
y = e 6 x −2 . |
|
|
|
|
|
y =3x2 + 25 x6 − |
63 + 4 |
; |
|||
|
|
|
x |
|
|
y =sin x2 +1 .
y = −4x3 + 3 5x + x34 −5 ; y = x2 cos2 x .
y = 5x4 + 6 + 24 x3 + 7 |
; |
x3 |
|
y = ln5 (x − 2).
б) |
y = |
arcsin x |
; |
|
|
2 |
|
||||
|
|
1 − x |
|
|
|
б) |
y = |
5x2 + 6x +1 |
; |
||
|
2 |
|
|||
|
|
(x − 2) |
|
= 2x3
б) y ex ;
б) y = (x2 + 4x)ln x ;
б) y = cosxx ;
б) |
y = |
sin x + cos x |
; |
|
x − 2 |
||||
|
|
|
б) y = 5x (x +1)5 ;
б) y = (x3 − x)ln x ;
б) y = cos x arcsin x ;
38
18.а) y = − 12 x4 − x33 + x54 + 6 ;
в) y = ctg x2 + 5 .
19.а) |
y = 2 3 x4 − |
52 + 6 ; |
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
в) |
y = 4 |
x2 + cos x . |
|
|
|||
20.а) |
y = − |
42 + 63 x − x5 + 2 ; |
|||||
|
|
x |
(x +1). |
|
|
||
в) |
y = arcsin2 |
|
|
||||
21.а) |
y = 44 |
x3 + |
63 − 7x2 |
− 6 |
; |
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
в) |
y =5 x 2 +4 x +1 . |
|
|
||||
22.а) |
y = 4x3 − |
3 |
|
+ 2x6 −11; |
|
||
x4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
в) y = ln(x2 + 2). |
|
|
23.а) y =5x2 + x43 − 52 4 x5 + 4 ;
в) y = 4cos 2 x .
24.а) |
y = |
1 x4 |
− |
4 |
|
+ |
23 |
+ 5 |
; |
|
|
8 |
|
x3 |
|
x |
|
|
|
в) |
y = 5 sin 3 (x −π). |
|
|||||||
25.а) |
y = |
1 x3 |
+ |
6 |
|
− |
75 |
− 6 |
; |
|
|
6 |
4 |
x3 |
|
x |
|
|
|
в) |
y = arctg2 |
1 |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
б) y = 4x arccos x ;
ex +5
б) y = x2 − 25 ;
б) y = lnxx−+1x2 ;
б) y = cos2 x ; x2 − 4
б) y = cos(x + 2)tgx ;
б) y = (3x3 + 4x)sin x ;
б) y = ex ctgx ;
б) y = arcsin x ; ln x
II. Провести полное исследование и построить графики функций.
1. а) |
y = |
2 |
x |
3 |
− |
x2 |
−15x +1; |
б) |
y = |
x2 |
−5 |
. |
3 |
|
2 |
|
|
||||||||
|
x2 |
− 4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
2.а) y = 4x3 + x2 − 2x −5 ;
3.а) y = 23 x3 + x2 − 4x + 13 ;
4. а) |
y = − |
|
x3 |
+ |
|
x2 |
|
+ 6x −1 ; |
|||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. а) |
y = |
x3 |
−3x |
2 |
+8x −1; |
||||||||||
3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. а) y = x3 + |
|
3 |
x2 |
|
−18x + 2 ; |
||||||||||
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. а) |
y = |
x3 |
+ |
5 |
x2 + 4x ; |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
8.а) y = 23 x3 + 92 x2 −5x −1;
9.а) y = x3 − 2x2 − 4x + 4 ;
10.а) |
y = 2x3 − |
|
5 |
|
|
x2 |
− |
4x + |
1 |
; |
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
11.а) |
y = |
2 |
|
x |
3 |
+ |
|
x2 |
|
−3x + 2 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12.а) |
y = x3 − x2 −8x +1 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
13.а) |
y = x3 + |
x2 |
|
− |
2x + |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
14. а) |
y = |
|
2 |
x3 |
+ |
|
|
|
3 |
x2 |
+ x +1; |
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
15.а) |
y = |
|
2 |
|
x3 |
|
+ 3x2 − |
12x + |
1 |
|
; |
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16.а) |
y = x3 + |
11 |
|
x2 |
− |
20x − |
|
1 |
|
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17. а) |
y = |
|
5 |
x3 |
|
+ |
17 |
x2 |
−12x −1; |
||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y = |
|
x2 −1 |
. |
|
|||||||
|
x |
2 |
+ |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
y = |
|
|
|
3x |
|
. |
|
||||
|
1 + x |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
y = |
|
x3 −8 |
. |
|
|
||||||
|
|
2x2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
y = |
|
2x −1 |
. |
|
|||||||
|
2 |
|
||||||||||
|
|
(x −1) |
|
|
|
|
|
|||||
б) |
y = |
|
|
x2 |
|
|
|
|
. |
|
||
|
x |
2 |
− |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
y = |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
. |
|
2(x + |
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
1) |
|
б) y = ln(x2 +1).
б) y = 1 +2x2 .
9x
б) y = x2 + 9 .
б) y = 4 4+xx2 .
б) y = x2 +1 2x .
б) y = 4x3 + 5 . x
б) y = (x +3)2 . x2 +9
б) y =ln x x−1 .
б) y = (x + 2)2 . x2 + 4
б) y = 4x2 + 8x .
40