Лекции по метрологии. Часть 1

			21
но разрешаемого сигна-	Вт	информации, равная	мощности со-
ла		путствующего шума
(min detected signal)
Для оценивания качества сигнала измерительной			информации

употребляется соотношение сигнал/шум (SNR – signal-to-noise ratio) – отношение однородных характеристик информативного сигнала и аддитивного шума. Примеры аддитивных искажений при использовании в качестве носителя информации фотопленки: фон – вуаль, шум – зерно, помеха – пятно непромытого фиксажа.

Примером мультипликативного фона может служить дрейф чувствительности фотоприемного элемента (например, за счет самопрогрева), мультипликативного шума – флуктуации места попадания луча на приемную площадку, а мультипликативной помехи – вспышка, вызывающая насыщение фотодиода.

1.2.4. Классификация измерений.

Измерения можно классифицировать несколькими способами. Базовая классификация проводится по общим приемам получения результатов: измерения бывают прямые, косвенные, совместные и совокупные. Прямые измерения – основные (значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно со средства измерений), косвенные (а также совместные и совокупные) – производные (значение измеряемой величины вычисляется путем решения уравнения измерений). Совместные и совокупные измерения для экспертной практики весьма экзотичны, и далее в наших лекциях затрагиваться не будут.

Иные классификации измерений проводятся [1]:

–по числу измерений в серии – однократные и многократные;

–по назначению – технические и метрологические;

–по отношению к изменению измеряемой величины – статические и динамические;

–по способу выражения результата – абсолютные и относительные (при абсолютных измерениях результат выражен в единицах измеряемой величины, при относительных измерениях результат безразмерен: примеры – измеритель потерь в волоконной оптике или шумомер в акустике – результат выражен в относительных единицах dBm или dB);

–по характеристике точности – равноточные и неравноточные. На последних остановимся особо. Чаще всего в повседневной практике с равноточными измерениями мы встречаемся в случае равного числа наблюдений (при прочих заведомо одинаковых условиях), и наоборот, те же измерения будут неравноточны при разном числе наблюдений. Для выполнения действий с измеренными значениями величин в случае неравноточных измерений вводятся весовые коэффициенты.

Вес результата измерений

22

"Положительное число, служащее оценкой доверия к тому или иному отдельному результату измерения, входящему в ряд неравноточных измерений.

ПРИМЕЧАНИЕ. В большинстве случаев принято считать, что веса ряда неравноточных измерений обратно пропорциональны квадратам их средних квадратических погрешностей, т.е. Pi =1/Si2. Нередко веса принимают пропорциональным числам повторений измерений в сериях, входящих в ряд измерений.

ПРИМЕЧАНИЕ. При обработке ряда неравноточных измерений удобно иметь веса в виде небольших чисел. С этой целью результату с большей погрешностью приписывают вес, равный единице (p=1), а остальные веса находят по отношению к нему".

Способ уравновешивания измеренных значений величин при разном числе наблюдений: среднее значение по i измерениям умножить на i, среднее значение по j измерениям умножить на j, сложить произведения, разделить сумму на i+j);

В метрологии принято различать следующие области и виды измерений.

Область измерений "Совокупность измерений физических величин, свойственных

какой-либо области науки и техники и выделяющаяся своей спецификой".

Вид измерений "Часть области измерений, имеющая свои особенности и отлича-

ющаяся однородностью измеряемых величин".

Иначе говоря, виды измерений различают применительно к измеряемой величине (по роду измеряемой величины), то есть точно. А вот деление по областям измерений, как это впрочем следует и из самого определения, не может быть столь же однозначным. Тем не менее, в отечественной метрологической практике принято дифференцировать области измерений следующим образом.

Измерения геометрических величин: длин; отклонений формы по-

верхностей; параметров сложных поверхностей; углов.

Измерения механических величин: массы, силы, крутящих моментов,

напряжений, деформаций; параметров движения; твердости. Ротаметрия: массового и объемного расхода жидкостей в трубопроводах; расхода газов; вместимости; параметров открытых потоков; уровня жидкости.

Манометрия: избыточного давления; абсолютного давления; переменного давления; вакуума.

Физико-химические измерения: вязкости; плотности; содержания (концентрации) компонентов в твердых, жидких и газообразных веществах; влажности газов; твердых веществ; электрохимические измерения.

Термометрия: температуры; теплофизических величин. Хронометрия: интервалов времени; частоты периодических процессов.

23

Измерения электрических и магнитных величин (на постоянном и переменном токе): количества электричества и силы тока; э.д.с. и напряжения; мощности и энергии; угла сдвига фаз; электрического сопротивления и проводимости; емкости, индуктивности и добротности; параметров магнитных полей; диэлектрических и магнитных характеристик материалов.

Радиоизмерения: интенсивности сигналов; параметров формы и спектров сигналов; параметров трактов с сосредоточенными и распределенными свойствами; параметров веществ и материалов радиотехническими методами; антенные.

Измерения акустических величин: акустические – в воздушной среде и в газах, в водной среде, в твердых телах; аудиометрия и измерения уровня шума.

Оптические и оптико-физические измерения: световых параметров материалов в видимой области спектра; энергетических параметров некогерентного оптического излучения; энергетических параметров непрерывного и импульсного лазерного и квазимонохроматического излучения; спектральных, частотных, поляризационных характеристик лазерного излучения; параметров оптических элементов; энергетических характеристик материалов; характеристик фотоматериалов.

Измерения ионизирующих излучений: дозиметрических, спектраль-

ных и радиометрических характеристик ионизирующих излучений; активности радионуклидов; ядерных констант [8].

1.2.5. Методы измерений.

Кроме видов измерений различают методы измерений, которые делятся на метод измерений по определению, метод непосредственного оценивания и метод сравнения с мерой.

NB! Здесь слово "оценивание" употребляется весьма некорректно, но, к сожалению, термин "метод непосредственного оценивания" в метрологической литературе устоялся прочно, хотя, может быть, правильнее было бы говорить о методе непосредственного отсчета.

Методом непосредственного оценивания определяют значение физической величины непосредственно по отсчетному устройству измерительного прибора прямого действия, т.е. прибора, который осуществляет одно или несколько преобразований сигнала измерительной информации в одном направлении (обратная связь отсутствует). К таким приборам относят, например, амперметры, манометры, ртутные термометры. Метод непосредственного оценивания наиболее распространен, так как обладает очевидным достоинством – простотой получения результатов измерений. Однако его точность, зависящая от точности измерительного прибора, условий измерений и других факторов,

24

не всегда удовлетворяет установленным при измерениях требованиям. Методом непосредственного оценивания проводятся только прямые измерения.

Метод сравнения с мерой, суть которого состоит в сравнении измеряемой величины с величиной, воспроизводимой мерой, является как правило более точным методом измерения физической величины. Метод отличается тем, что мера принимает непосредственное участие в процессе измерений. Заметим, что большая точность достигается усложнением процесса измерений. Метод сравнения с мерой имеет несколько разновидностей. К ним относятся:

–дифференциальный метод (на прибор сравнения воздействует разность измеряемой величины и величины, воспроизводимой мерой);

–метод дополнения (на прибор сравнения воздействует сумма измеряемой величины и величины, воспроизводимой мерой);

–метод противопоставления (измеряемая величина и величина, воспроизводимая мерой, одновременно воздействуют на прибор сравнения, при помощи которого устанавливается соотношение между ними).

Всвоей реализации методические разновидности сравнения с мерой могут использовать следующие инструментальные приемы:

–уравновешивание или компенсацию (результирующий эффект воздействия на прибор измеряемой и воспроизводимой мерой величин доводится до нуля);

–стробоскопию или отсчет совпадений (разность между измеряемой

ивоспроизводимой мерой величинами доводится до нуля, по совпадению отметок шкал или по резонансу периодических сигналов);

–замещение (на прибор вместо измеряемой величины воздействует иная по своему происхождению величина того же рода, воспроизводимая мерой).

Методом сравнения с мерой проводятся только прямые измерения. Метод измерений по определению есть метод измерения величи-

ны в соответствии с определением ее единицы. Самый известный случай использования этого метода – воспроизведение единиц физических величин, хранимых первичными эталонами, – отнюдь не исключает его широкого применения в повседневной практике при выполнении косвенных измерений.

Более того, свое основное применение метод измерений по определению и нашел именно в косвенных измерениях. Процедура косвенных измерений состоит из инструментальной части и вычислительной части. Первая представляет собой одну и более совокупностей средств

иметодик выполнения измерений, и в этом смысле от случая измерений прямых может отличаться лишь количеством этих совокупностей. Вторая часть есть уравнение измерений плюс методы (а иной раз и средства) его решения. Поясним это положение более подробно.

25

1.2.6. Уравнение измерений.

Параграф, посвященный уравнению измерений, начнем с классического определения.

Уравнение измерений "Уравнение, отражающее законы природы (физические законы), в

котором под буквенными символами понимаются физические величины.

ПРИМЕЧАНИЕ. Форма записи уравнения измерений не зависит от выбора единиц".

Уравнение измерений аналитически описывает процедуру измерений, выражая его результат через преобразование входных воздействий (когда решение задано в явном виде: результат измерений – функция, входные воздействия – аргументы). Преобразования здесь полагаются измерительными и обозначаются математическими символами (логические операторы в первом приближении можно опустить). Уравнение измерений может интерпретироваться:

–либо как модель процедуры, выполняемой физически реализованной измерительной цепью,

–либо как модель идеальной (желаемой, принятой, ...) измерительной процедуры,

–либо как модель истинного значения измеряемой величины. Рассмотрим пример уравнения измерений во второй из его ипостасей. Пусть измерительная цепь реализует следующий алгоритм: измерение угла i падения пучка лазерного излучения на плоскую полированную поверхность стекла; измерение угла r преломления пучка, после прохождения им границы раздела сред; вычисление показателя n преломления стекла по формуле n=sin i / sin r. Здесь мы имеем дело с косвенными измерениями, а приведенная формула представляет собой уравнение измерений в явном виде (в неявном виде оно является известной из курса общей физики формулой Снеллиуса n0 sin i =n sin r при значении показателя преломления воздуха n0=1).

Математические элементы учения об измерениях – линейное рассмотрение уравнения измерения, анализ точности и нелинейные аспекты – находятся на стыке теории погрешностей и учения об измерениях. Уравнение измерений используется при решении многих задач теоретической метрологии и в этом смысле имеет фундаментальное значение.

1.2.7. Систематические погрешности.

Однако, ни один из известных методов измерений не избавлен от погрешностей, а систематические искажают его наиболее существенно. Обнаружению и устранению их источников придается особое значение,

26

поэтому имеет смысл коротко их охарактеризовать. С этой точки зрения различают следующие четыре систематические погрешности.

Таблица

Виды систематических погрешностей

	1.	Инструментальная	Свойственная средствам измерений
	2.	Условная	Обусловленная действием сторонних
			величин
	3.	Субъективная	Вызванная неоднозначностью реакции
			оператора
	4.	Методическая	Зависящая от адекватности модельных
			представлений

Рассмотрим некоторые типичные примеры. Наиболее существенные инструментальные погрешности возникают из-за нестабильности и неточности градуировки СИ. Помимо того, к инструментальным относят также погрешности, возникающие вследствие неверной установки СИ, смещения начала отсчета, параллакса при считывании показаний со шкалы, вариации и гистерезиса, мертвого хода верньерного механизма и т.д.

Условные погрешности возникают из-за отличия влияющих факторов от условий, в которых производилась градуировка СИ: температуры, влажности и т.д.; из-за наличия фона измеряемой величины – в силу засветки, шума, вибрации, электрического и магнитного полей, ионизирующих излучений и проч. В наиболее ответственных случаях их учитывают введением поправок.

Индивидуальными особенностями оператора объясняется существование субъективной погрешности. Это, например, запаздывание или опережение при регистрации измеряемого сигнала, асимметрия при установке стрелки между двумя штрихами, ошибки цветовосприятия при визуальном фотометрировании, и т.д.

Две группы причин могут привести к появлению методической погрешности: ограниченная точность используемого математического аппарата (эмпирических формул, констант, etc.) и несоответствие математического аппарата объекту измерений (как определить диаметр некруглого зеркала, фокусное расстояние при астигматизме, длину волны белого света, etc.?).

Практические приемы, обеспечивающие исключение систематических погрешностей любой природы не вписываются в рамки теоретической части курса, и их логично отнести к прикладной метрологии (глава 2.2, посвященная технологии измерений).

27

1.3. Теория погрешностей.

Теория погрешностей является приложением выводов теории вероятностей к нахождению правил, с помощью которых мы можем составить общее суждение о точности измерения и точности результата. Это суждение должно быть объективным; именно для этого надо, чтобы оно производилось по определенным правилам и выражалось числами. Цель теории погрешностей и состоит в формировании этих правил. Каждое измерение заключает в себе некоторую степень неточности, зависящую от ошибок наблюдателя (совпадение двух черточек, оценивание на глаз части деления, т.д.) и чувствительности применяемых методов и приборов (весов, термометров, бюреток и т.п.). Учет этих погрешностей в окончательных заключениях является основным вопросом, стоящим перед экспертом, и от разрешения их зависит ценность исследования. Метод (математическая база) теории погрешностей

– элементы теории вероятностей (нормальный закон распределения случайных величин, обработка распределенных по гауссову закону результатов измерений) и элементы дифференциального исчисления.

Теория погрешностей изучает только погрешности, которые остаются после исключения систематических погрешностей и просчетов/промахов; они называются случайными. Иначе говоря, случайные погрешности и составляют предмет теории погрешностей, а задачей теории погрешностей является оценивание случайной составляющей погрешности результата измерений. Анализ случайной погрешности допускает математическую формализацию, что дает право говорить о теоретических аспектах науки о погрешностях. Случайные погрешности не следуют какой либо определенной закономерности, выражающей значение погрешности в зависимости от времени или какой-либо иной независимой переменной. Они следуют тем законам, которые выводятся в теории вероятностей по отношению к повторению так называемых случайных явлений.

Так, при повторных, даже самых тщательных, измерениях одной и той же величины получаются более или менее расходящиеся результаты. Так как впоследствии необходимо оперировать одним определенным значением, то вводятся известные условия и способ его вычисления. Самый простой и правомерный способ – это взять из полученных чисел среднее арифметическое. Если x1, x2 , ..., xi, ... xn представляют собой n экспериментальных данных, то как вероятнейшее значение берут

n

x = x1 +x2 +…+xi +…+xn n = n-1 xi .

i=1

28

Отклонения от среднего арифметического для каждого опыта будут:

= x –x1, = x –x2, … i= x –xi, … n= x –xn.	n
На основании определения x мы имеем очевидно:	i	0 .
	i 1
	n	n			xi 2
Покажем теперь, что сумма квадратов отклонений	i2			x
	i 1	i 1

есть минимум также вследствие принятого определения числа x , считаемого наивероятнейшим результатом. Предположим, что x – число пока неопределенное, и будем рассматривать сумму квадратов отклонений, как функцию x . Для нахождения условия, при котором сумма квадратов отклонений дает минимум, приравняем первую производную

n

этой функции нулю, в результате чего получим x n 1 x i . То есть

i 1

значение x , при котором сумма квадратов отклонений становится минимальной, является средним арифметическим значением величины x. Эта теорема впервые была доказана Гауссом, а такой способ выравнивания ошибок носит название метода наименьших квадратов (см. Приложение E). Вышеуказанный способ отыскания наивероятнейшего значения правомерен только при большом числе измерений, когда случайные ошибки подчиняются следующей закономерности:

1)существует одинаковая вероятность для равных по модулю положительных и отрицательных погрешностей (т.е. при очень большом числе измерений одной и той же величины равные, но противоположного знака погрешности одинаково часто встречаются);

2)для различных измерений одной и той же величины можно найти такое число k, что все случайные погрешности будут заключаться между +k и –k, причем наименьшие будут встречаться наиболее часто [92].

Изложенные соображения приводят к формулировке постулатов теории погрешностей.

1.3.1.Постулаты.

Воснове теории погрешностей лежат три следующих постулата, не доказанных (а может быть и недоказуемых) теоретически, но подтвержденных практикой.

1. Принцип арифметического среднего – арифметическое среднее из ряда результатов измерений физической величины одинакового достоинства есть наиболее вероятное значение измеряемой величины.

2. Правило больших чисел – при большом числе измерений случайные погрешности одинакового значения, но разного знака, встречаются одинаково часто.

3. Закон Гаусса – плотность вероятности распределения результатов измерений описывается выражением

29

p x		1			2	/ 2	2
	2		exp x x

где x – среднее арифметическое результатов измерений, 2 – дисперсия результатов измерений. Иначе говоря, большие по абсолютному значению погрешности встречаются реже, чем малые. Вид этой зависимости показан на рис. 1.3.1 для x =0 и =1. Здесь использовано общепринятое обозначение гауссовой плотности вероятности распределения Erf(x).

Рис. 1.3.1. Распределение ошибок по закону Гаусса.

ПРИМЕЧАНИЕ. Область применимости постулатов – случай отсутствия динамики систематических погрешностей. Случай на практике отнюдь не всеобъемлющий, хотя бы из-за наличия трендов.

1.3.2. Математические основы теории погрешностей.

Свойства гауссова распределения. Рассмотрим спектральные свойства гауссовой функции [95].

Во-первых, она четная, следовательно, ее фурье-образ действителен (и тоже является четной функцией). Физический смысл этого вывода заключается в том, что все компоненты разложения имеют одинаковую фазу "в нулевой момент времени".

Во-вторых докажем следующую теорему: Фурье-образ одного гауссова распределения представляет собой другое гауссово распределение. На рис. 1.3.2A (слева) изображена гауссова кривая погрешностей высо-

той ( 2 ) 1 , зеркально симметричная относительно оси ординат x=0

Если	f (t) F( ) exp( j2 t)d , то	F( ) f (t) exp( j2 t)dt – фурье-

образ (в смысле результат фурье-преобразования) или фурье-спектр функции f(t).

30

Рис. 1.3.2A. Слева гауссова кривая погрешностей, справа – ее фурье-образ.

(т.е. при x =0) и описываемая выражением

f x	1	exp x 2 / 2 2
	2		(1)

где – параметр ширины кривой, именуемый стандартным отклонени-

ем; он равен тому значению абсциссы x, при котором ордината в e раз меньше максимума. Кривая погрешностей, естественно, и нормируется так, чтобы площадь под ней была равна единице:

1

/ 2 2 dx 1.

2

exp x2

Фурье-образ гауссовой функции имеет вид:

+

F νx =

σ

-1 exp -x2/2σ2 exp -j2πνx x dx=

2π

-

= σ

-1

+

-x2/2σ2 -j2πνx x+2π2 ν2xσ2 exp -2π2 ν2xσ2 dx=

2π

exp

-

-1

+

2

= σ

2π

exp 2π

νx

σ

exp

- x/σ

2+jσ

2πνx

dx

-

Произведем замену переменной:

F x

1

exp 2 2 2x 2 exp 2

2

2d

1

2 exp 2 2 2x 2 exp 2 d

2

Учитывая, что

exp( 2 )d

[96, № 860.11], получим:

1

F

2 exp 2 2 2 2

1 exp(

/ 2 2 )

(2)

x

2

2

x

x

0

Это тоже гауссово распределение (но в пространстве частот x – рис. 1.3.2A справа) с другой – единичной – высотой и другим параметром ширины 0 1/ 2 . На обоих графиках (справа и слева) кривые постро-

ены в одном масштабе: при 2 они, как и следует из (1) и (2), сов-