Конспект лекций статистика

© доц. Бирський В.В.

Статистика

21

До характеристик центру розподілу крім середньої арифметичної належать мода і медіана, їх часто називають порядковими середніми.

Мода (Мо) – це значення варіанти, що найчастіше повторюється в ряді розподілу.

Для дискретного ряду мода – це варіанта, якій відповідає найбільша частота.

Приклад: розподіл проданого взуття за розміром має вигляд, таблиця 13:

Таблиця 13
Розмір взуття	22,0	22,5	23,0	23,5	24,0	24,5	25 і більше	Разом
Кількість пар (f)	15	36	70	102	93	76	58	450
Кумулятивна частота	15	51	121	223	316	392	450	–

fmax = 102, звідси Мо = 23,5. Найбільш ходовим у день реєстрації є розмір 23,5.

Вінтервальному ряді розподілу легко відшукується лише модальний інтервал, а сама мода визначається приблизно.

Вінтервальному ряді розподілу модою приблизно вважають центральний варіант модального інтервалу, тобто інтервалу, який має найбільшу частоту. В цьому випадку формула має вигляд:

Mo = x0 + h				fm	− fm− 1
	( f	m	− f	m− 1	) + ( f	m	− f	m+ 1	)

де х0 – нижня межа модального інтервалу;

h, fm – ширина і частота модального інтервалу;

fm-1, fm+1 – частота попереднього і наступного інтервалів відносно модального.

Приклад: в результаті вибіркового обстеження робітників цеху, їхній розподіл за стажем роботи має вигляд, таблиця 14:

Таблиця 14 Розподіл робітників за стажем роботи
Стаж роботи, років		Чисельність робітників	Кумулятивна частота
До 3-х		40	40
3	– 6	125	165
6	– 9	230	395
9 – 12		225	620
12	– 15	144	764
15 і більше		36	800
Разом		800	–

Модальний інтервал становить від 6 до 9 років, тому що його частота є максимальною, тобто fmах =230. Обчислимо моду:

Mo =		230 − 125
	6 + 3	(230 − 125) + (230 − 225) = 6	+ 2.86	= 8.9

© доц. Бирський В.В.

Статистика

22

Найбільша частка робітників мають стаж роботи 8,9 років.

Медіана (Ме) – це варіанта, що ділить ранжирований ряд на дві рівні за чисельністю частини. Одна з цих частин має значення варіюючої ознаки менше, ніж середній варіант, а інша – більше.

Для проранжованого варіаційного ряду, в якому кількість компонентів непарна, медіаною є варіанта, що знаходиться в середині ряду. Коли число варіант парне, медіана розраховується як середня арифметична двох центральних варіант.

При визначенні медіани за даними ряду розподілу використовують кумулятивні частоти, які полегшують пошук центральної варіанти.

Приклад: визначимо медіану проданого взуття за даними таблиці 13. Для цього встановимо порядковий номер центральної варіанти – розділимо загальну кількість проданих пар на 2: (450 / 2) = 225.

З рядка кумулятивних частот видно, що варіанта приймає значення Ме = 24.0, оскільки її номер (225) знаходиться саме в цій групі.

В інтервальному ряді розподілу по кумулятивній частоті спочатку знаходять медіанний інтервал, а кінцеве значення медіани обчислюють за формулою:

å				f	−	S
Me = x0 + h			2			m− 1
					fm

де x0 – нижня межа медіанного інтервалу; h – ширина медіанного інтервалу;

Sm-1 – кумулятивна частота інтервалу, що передує медіанному; fm – частота медіанного інтервалу.

Приклад: визначимо медіану за даними таблиці 14. Порядковий номер центральної варіанти дорівнює (800 / 2) = 400. З рядка кумулятивних частот отримуємо: 395 < 400 < 620, тобто медіанний інтервал має границі [9; 12]. Медіана буде мати значення:

		800	− 395
	Me = 9 + 3	2		= 9.1
		225

Таким чином, половина робітників має стаж роботи менше 9.1 роки, а половина – більше.

Медіана ділить варіаційний ряд на дві рівні за обсягом частини. В кожній частині, можна знайти варіанту, яка ділить її на підгрупи. Такі варіанти називають квартилями Q. Перший квартиль Q1 відсікає чверть сукупності знизу, третій Q3 – зверху. Другим квартилем є медіана.

Мода і медіана – це особливий вид середніх величин. На відміну від

© доц. Бирський В.В.

Статистика

23

середньої арифметичної на їх величину не впливають значення варіант, не характерних для даної сукупності, скажімо, надмірно малі чи надмірно великі. При обчисленні середньої арифметичної до уваги беруться усі без винятку варіанти. Саме через це мода і медіана в окремих випадках мають свої переваги перед середньою арифметичною і використовуються при вирішенні деяких практичних питань. Так, при плануванні обсягу виробництва, наприклад, взуттєвої фабрики орієнтуються не на середній його розмір, а на найбільш «ходовий», тобто модальний.

© доц. Бирський В.В.

Статистика

24

Тема 5. Статистичне вивчення варіації

План.

1.Суть і характеристика варіації, показники варіації.

2.Методи обчислення дисперсії.

5.1 Суть і характеристика варіації, показники варіації.

Варіація, тобто коливання індивідуальних значень ознаки в межах вивчаємої статистичної сукупності є її властивістю. Вона зумовлена дією основних (систематичних) і другорядних (випадкових) факторів. Основні фактори формують центр розподілу, другорядні – варіацію ознак, сукупна їх дія

– форму розподілу.

Наприклад, урожайність сільськогосподарської культури залежить від якості ґрунту та способів його обробки, якості насіння, кількості внесених добрив, метеорологічних умов і інших об'єктивних та суб'єктивних факторів. Сумісна дія їх і різне поєднання зумовлюють той чи інший рівень урожайності в окремих господарствах, а також закономірність розподілу господарств за цією ознакою.

Аналіз систематичної варіації дозволяє оцінити ступінь залежності змін вивчаємої ознаки в залежності від факторів, що її визначають.

В одних сукупностях індивідуальні значення ознаки значно відхиляються від центру розподілу, в інших – тісно групуються навколо нього, отже виникає потреба оцінити поряд з характеристиками центру розподілу міру і ступінь варіації.

Чим меншою є варіація, тим сукупність більш однорідна, отже, тим надійніші характеристики центру розподілу (середні величини).

Для оцінки ступеня близькості окремих одиниць сукупності хі до середньої x використовують систему абсолютних і відносних показників.

Наприклад, розмах варіації, середнє лінійне і середнє квадратичне відхилення, коефіцієнти варіації, дисперсія – кожна з названих характеристик має певні аналітичні переваги при вирішенні тих чи інших завдань статистичного аналізу.

Методика обчислення характеристик варіації залежить від виду ознаки х (дискретна чи інтервальна) і наявних даних (згруповані чи не згруповані).

Розмах варіації (R) – це різниця між найбільшим і найменшим значеннями ознаки:

R = xmax − xmin

Характеризує межі, в яких змінюється ознака. Перевага – простота розрахунку.

В інтервальному ряді розподілу розмах варіації визначається як різниця між верхньою межею останнього інтервалу і нижньою межею першого або як різниця між середніми значеннями цих інтервалів.

© доц. Бирський В.В.					Статистика							25
Приклад: за даними вибіркового обстеження громадян, їх місячний доход
становив, грн., таблиця 15:
Таблиця 15
№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	Разом
Квітень	400	500	600	550	450	700	750	650	900	800	850	7150
Жовтень	450	550	600	550	500	700	750	650	850	750	800	7150

Середній місячний доход в квітні і жовтні був однаковий і становив:

xквітень = хжовтень = 715011 = 650 грн.

Розмах варіації доходу: Rквітень = 900 – 400 = 500, Rжовтень = 850 – 450 = 400

грн.

Безумовною перевагою розмаху варіації як міри коливання ознаки є простота його обчислення. Але надійність цієї характеристики невисока, оскільки вона базується на двох крайніх значеннях ознаки, які часто не є типовими для сукупності, або мають випадковий характер. Тому розмах варіації використовують для попередньої оцінки варіації.

Узагальнюючі показники варіації. В статистичній практиці широкого застосування набули характеристики варіації, що ґрунтуються на відхиленнях індивідуальних значень ознаки від середньої величини x − x .

Оскільки å (x −

) = 0 , то

при

розрахунку

характеристик

такого роду

x

використовують модулі або квадрати відхилень.

Таблиця 16 – Узагальнюючі показники варіації

Показник

Середнє відхилення

Лінійне

Квадратичне

ån

xi

−

ån

(xi −

)2

За незгрупованими даними

x

x

(просте середнє)

d

=

i= 1

σ

=

i= 1

n

n

ån

xi −

fi

ån (xi −

)2 fi

За згрупованими даними

=

x

x

d

i= 1

n

σ

=

i= 1

(зважене середнє)

å

fi

n

å fi

i= 1

i= 1

Середнє квадратичне відхилення σ вимірює силу взаємодії випадкових факторів. Чим воно менше, тим краще середня x відображує собою вивчаєму статистичну сукупність, тобто дії головних факторів.

При порівнянні варіації різних ознак використовують відносні показники – коефіцієнти варіації, які обчислюють як відношення абсолютних характеристик варіації до характеристик центру розподілу:

1. Лінійний коефіцієнт варіації Kd = dx *100% ;

© доц. Бирський В.В.

Статистика

26

2.Коефіцієнт осциляції KR = Rx *100% ;

3.Квадратичний коефіцієнт варіації Kσ = σx *100% .

Якщо Kσ ≤ 33,3%, то сукупність вважається однорідною. Якщо Kσ ≥ 40,0%, то говорять про великі коливання ознаки в сукупності.

5.2 Методи обчислення дисперсії.

Дисперсія (середній квадрат відхилення σ2) займає особливе місце в статистичному аналізі соціально-економічних явищ. Завдяки своїм математичним властивостям вона має не тільки важливе значення при вивченні варіації, але є невід'ємним елементом інших статистичних методів аналізу, зокрема вибіркового, дисперсійного і кореляційно-регресійного.

Дисперсія – це середнє значення квадрату відхилення варіюючої ознаки від її середньої. В залежності від наявних даних (не згрупованих, згрупованих) може бути простою і зваженою, відповідно:

n

2

n

(xi -

)

2

å (xi - x)

fi

2

å

x

;

σ

2

=

i= 1

σ

=

i= 1

n

å

fi

n

i= 1

Також дисперсію можна обчислити за формулою:

σ 2 =

-

2

x2

x

де

– середній квадрат значень варіюючої ознаки;

x2

2

– квадрат середньої величини.

x

Для не згрупованих і згрупованих

даних

остання формула буде мати

вигляд:

2

å x2

çæ å x

÷ö

2

nå x2 -

(å

x)

2

σ

=

n

- ç

n

÷

=

n2

;

è

ø

å f å x2 f - (å xf )2

2

å

x2 f

æ

å

xf

ö

2

σ

=

-

ç

÷

=

å

å

(å f )2

f

èç

f

ø÷

Якщо статистична сукупність розбита на групи за якоюсь ознакою, то для оцінки впливу різних факторів, що визначають коливання індивідуальних значень ознаки можна скористатись розкладом дисперсії на складові:

σ 2 = σ м2 + σ 2j

© доц. Бирський В.В. Статистика 27

де σ 2 – загальна дисперсія ознаки по всій сукупності, характеризує варіацію ознаки під впливом всіх факторів, які визначають індивідуальні відмінності одиниць сукупності;

σ м2 – міжгрупова дисперсія, характеризує частку варіації, що обумовлена впливом фактору, покладеного в основу групування;

σ 2j – середня внутрішньогрупова дисперсія, характеризує частку варіації

під впливом всіх інших факторів.

Міжгрупова дисперсія розраховується за формулою:

åk (x j − x0 )2 f j

σ 2 = j= 1

м åk f j j= 1

де x j – середня величина в j-ій групі; k – кількість груп сукупності;

x0 – загальна середня по всій сукупності;

fj – кількість одиниць в j-ій групі.

Середня внутрішньогрупова дисперсія розраховується за формулою:

				åk	σ 2j f j
	σ 2j		=	j=	1
				åk f j

j= 1

де σ 2j – внутрішньо групова дисперсія в j-ій групі; Внутрішньогрупова дисперсія розраховується за формулою:

		åf j (xij −		)2
	σ 2j =		x j
		i= 1
		f j

де xij – i-ий елемент сукупності, що увійшов до j-ої групи.

© доц. Бирський В.В.

Статистика

28

Тема 6. Статистичне вивчення динаміки

План.

1.Динамічний ряд та його характеристики.

2.Аналіз структурних зрушень.

6.1 Динамічний ряд та його характеристики.

Суспільні явища безперервно змінюються. Протягом певного часу – місяць за місяцем, рік за роком змінюється чисельність населення, обсяг і структура суспільного виробництва, рівень продуктивності праці тощо. Вивчення поступального розвитку і змін суспільних явищ – одне з основних завдань статистики. Вирішується воно на основі аналізу динамічних рядів.

Динамічний ряд – це послідовність чисел, які характеризують зміну того чи іншого соціально-економічного явища. Кожен елемент динамічного ряду називається рівнем ряду.

Залежно від статистичної природи показника-рівня розрізняють ряди абсолютних, відносних і середніх величин.

За ознакою часу динамічні ряди поділяють на моментні і інтервальні.

Обсяг продукції – інтервальний показник (протягом визначеного періоду часу), а вартість основних виробничих фондів (на визначену дату) – моментний.

Для моментних рядів середню величину визначають за формулами

середньої хронологічної простої і зваженої.

1.

Якщо проміжки часу між датами рівні – середня хронологічна проста:

1

y1 + y2

+ ...+ yn− 1 +

yn

=

2

2

y

n − 1

2.

Для нерівних проміжків часу – середня хронологічна зважена:

å

t ft

y

;

yt− 1 + yt

yt =

y =

t

2

å fi

де yt, t = 1…n – рівень ряду на момент часу t; yt – проміжна середня на момент часу t;

ft – тривалість проміжку часу з моменту (t-1) до t.

Для інтервальних рядів (рівних і нерівних інтервалів) середню величину визначають за формулою середньої арифметичної простої:

			å y
	y =
			n

© доц. Бирський В.В. Статистика 29

де n – загальна тривалість всього досліджуємого періоду.

Приклад: Вартість основних виробничих фондів протягом півріччя становила:

Дата	Вартість, тис. грн.
01.01.2004	150,0
01.02.2004	165,1
01.03.2004	160,3
01.04.2004	155,8
01.05.2004	163,0
01.06.2004	170,0

Розрахувати їхню середню вартість.

			150.0	+ 165.1+ 160.3 + 155.8 + 163.0 +	170.0	= 160.84 тис. грн.
		=	2		2
	y
				6 − 1

Якщо вартість основних виробничих фондів протягом року становила:

Дата

Вартість, тис. грн.

01.01.2004

150,0

01.03.2004

165,1

01.07.2004

160,3

01.08.2004

155,8

01.11.2004

163,0

01.01.2005

170,0

Проміжні середні дорівнюють:

2

=

y1 +

y2

=

150.0 + 165.1

= 157.55 тис. грн.;

y

2

2

3

=

y2 +

y3

=

165.1+ 160.3

= 162.7 тис. грн.;

y

2

2

4

=

y3 +

y4

=

160.3 + 155.8

= 158.05 тис. грн.;

y

2

2

5

=

y4 +

y5

=

155.8 + 163.0

= 159.4 тис. грн.;

y

2

2

6

=

y5 +

y6

=

163.0 + 170.0

= 166.5 тис. грн.;

y

2

2

Відповідно, середньорічна вартість дорівнює:

å

t ft

y

=

t

= 157.55*2 + 162.7*4 + 158.05*1+ 159.4*3 + 166.5*2

= 161.26 тис. грн.

y

å

fi

12

Приклад: Обсяг випуску продукції протягом року становив:

© доц. Бирський В.В.		Статистика	30
Дата	Вартість, тис. грн.
01.01 – 31.03	240,0
01.04 – 31.05	195,0
01.06 – 30.09	244,8
01.10 – 30.11	149,5
01.12 – 31.12	88,6

Розрахувати середньомісячний випуск продукції.

	=	å y	=	240.0 + 195.0 + 244.8 + 149.5 + 88.6	= 76.5	тис. грн.
y
		n		12

Для характеристики динамічних рядів при вивченні соціальноекономічних явищ використовують систему статистичних показників, розрахунок яких базується на зіставленні рівнів ряду. Якщо базою зіставлення прийняти попередній рівень ряду, показник називається ланцюговим, якщо з рівнем прийнятим за базу – базисним.

1.Абсолютний приріст – відображає абсолютну швидкість зміни рівнів ряду за певний інтервал часу:

	– Ланцюговий –		лt =	yt −	yt− 1 ;
	– Базисний – бt	=	yt −	y0 ;	бn = å лt
	– Загальний –	=	yn −	y0 =		;		å	л
	– Середній абсолютний приріст –										yn − y0
									t
						=				=
								n			n

2. Темп росту (зростання) – характеризує інтенсивність зміни рівнів ряду:

– Ланцюговий – Ktл =

yt

*100% ;

yt

yt− 1

– Базисний – Ktб =

*100% ;

y0

– Загальний – K =

yn

*100% =

K1л K2л K3л *...* Knл− 1 ;

y0

– Середній темп росту –

=

n− 1

= n− 1

yn

K

K

y0

3. Темп приросту:

л

– Ланцюговий – Tt л =

t

= (Ktл − 1)*100% ;

б

yt− 1

– Базисний – Ttб =

= (Ktб − 1)*100% ;

t

y0

– Загальний – T =

б

= (Knб − 1)*100% ;

n

y0

–Середній темп приросту – T = (K − 1)*100% .

4.Вагомість 1% приросту: