Учебное пособие, модуль 2

12 b2	а	22	K2
	2
a1		b1	m1
			K
	n1	21	1
11

Рис. 2-28

2.Через 1222 проведем n2 .Через точку К2 проводим m2 параллельно n2.

3.Согласно пятому свойству параллельного проецирования прямая m параллельна прямой n, но n , следовательно, m

12		b2		n2			22	K		m2
				а
				2				2		m1
								K1
		a1					b1
			n1			21
11
							Рис. 2-29

Взаимная параллельность плоскостей

Построение двух взаимно параллельных плоскостей основано на известном положении, что

две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Задача: Через точку К(К1К2) (рис. 2-31.а) провести плоскость , параллельную плоскости Г(АВС). Плоскость задать пересекающимися прямыми.

А	К
2
	2

В2

С2

А1

В1 К1

С1

21

Рис. 2-30

Алгоритм:

1.Плоскость зададим прямыми m n = K (рис. 2-31).

2.Прямую m возьмём параллельно стороне СВ треугольника. Если m СВ, то m1 C1B1, a m2

C2B2

3.Прямую n возьмём параллельно стороне АВ треугольника. Если n AB, mo n1 A1B1, a n2

A2B2.

4.Таким образом, плоскости (АВС) и (m n) параллельны.

А			т
2		К
			2
		2	п
	В
			2
	2
	С		т
			1
А	2		п
1	В		1
		К
	1
		1

С1

Рис. 2-31

Как вы думаете?

1.Сколько решений может иметь задача, представленная на рис. 2-30?

2.Чем можно ещё задать плоскость , кроме решения, приведённого на рис. 2-31?

3.Сколько ответов может быть у задачи, представленной на рис. 2-29? Почему?

Выводы:

1.В общем случае плоскость определяют три точки.

2.Общий признак плоскостей частного положения - одна из проекций вырождается в прямую линию.

3.Точку в плоскости находят по принадлежности какой-нибудь прямой этой плоскости.

4.В любой плоскости можно построить прямые уровня и линии наибольшего наклона плоскости к каждой из плоскостей проекций.

5.Через точку, лежащую вне плоскости, можно провести сколько угодно прямых, параллельных данной плоскости, но только одну плоскость, параллельную заданной.

Справочный материал

Примеры изображения плоскостей общего и частного положения, заданные геометрическими фигурами

Плоскости общего положения

Графический признак плоскости общего положения: ни одна из проекций не есть прямая линия.

22

																		В
		В							а							2
	А				а			2				т
		2					В	с												С
	2			С				2						п	А					2
							2
				2
														2	2
		В				а									А					С
	А	1				1		с
							В								1			1
								1
1				С
							1	а			п
				1										т
								1
										1
														1				В
1. (А,В,С)						2.Г(а,В)		3. (т п)				4. (с а)				1
																5. (АВС)
								Рис. 2-32

Горизонтально проецирующие плоскости

Плоскости горизонтальные проекции которых есть прямые линии не и не Л.С.(линиям

																	связи).
																																В
															В				а											2
							В
		А										а			2			2					т
							2										с																		С
									С			2
		2																					2				п	А
																	2																	2
											2
																В											2	2
													а
							С								1
												1																						С
					В				1								с =а						п =	т
А																																1
					1												1	1					1	1								В
1
																	3. (т п)						4. (с а)					А		1
1. (А,В,С)													2.Г(а,В)																			5. (АВС)
																												1
																	Рис. 2-33
Фронтально проецирующие плоскости
					Плоскости, фронтальные проекции которых есть прямые линии не и не Л.С.
				В			С						В																				С
							2											а =с								т = п				2
												2
					2																										В
2																		2 2						2				2
А													а																	2
																												А
												2
							В									В	с											2								С
			А				1								1								п					А
																	1											1					1
				1							С		а				а										т
																							1
											1	1
																	1										1						В
		1. (А,В,С)											2.Г(а,В)				3. (т п)						4. (с а)							1
																														5. (АВС)
																	Рис. 2-34
Горизонтальные плоскости уровня

Плоскости, фронтальные проекции которых есть прямые линии Л.С.

23

																																			т =	п
																В																				2		А			В				С
				В				С																										2
А																	2						с															2
																						а =																			2				2
2	2						2									а
																						2	2
								В							2					В		с																										С
				А			1												1												п							А
																						1																1							1
	1										С					а							а												т
																													1
							1								1
																							1													1				В
																																									1
	1. (А,В,С)															2.Г(а,В)						3. (т п)										4. (с а)									5. (АВС)

Рис. 2-35

Фронтальные плоскости уровня

Плоскости, горизонтальные проекции которых есть прямые линии Л.С.

																					В						а																В
									В																																2
																								2
				А													а			2													т
								2														с																													С
											2					2														2								п		А
				2								С						а				2	с =а									п =т						2			2									2
																		1			В												1 1						А									В			С
																						1		1
А																																							1								1			1
						В						С								1
1						1
											1											3. (т п)											4. (с а)												5. (АВС)
				1. (А,В,С)													2.Г(а,В)
																							Рис. 2-36

Контрольные вопросы

1.Чем может быть задана плоскость на чертеже?

2.Как могут располагаться плоскости относительно плоскостей проекций и как они называются?

3.Сформулируйте условие взаимной принадлежности точки и прямой плоскости.

4.Какие прямые называются особыми линиями плоскости?

5.Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости, параллельности двух плоскостей.

24

Тест № 1

1

А2

В2 С2 К2

К1 С1

В1

А1

2

	А
	2				К
			т		2
	2				п
					2
				т	п1
	1

А1

К1

			3
М						К
2
А				2
			2				т
			п
							2
			2
А			п1				т1
1
						К
М				1
1

		4					5								6
		М				К			а			А			В				С
А						2								2		2			2
		2					2
2							М
				В			2											В
				2
А															1
										а
1
						К				1
		М		1								А
												1
		1		В					М
																			С
							1
				1															1

1.На каком чертеже точка М принадлежит плоскости?

2.В каком случае АК является фронталью плоскости?

3.На каком чертеже показан прямоугольный треугольник?

4.На каком чертеже АК - горизонталь плоскости?

5.Укажите чертёж плоскости уровня.

6.На каком чертеже АК является линией ската плоскости?

7.Укажите чертёж горизонтально проецирующей плоскости.

8.На каком чертеже имеется натуральная величина треугольника?

Задание поверхности на комплексном чертеже

Самая занимательная для нас поверхность на земле - это человеческое лицо.

Г.Лихтенберг

В этом разделе Вы узнаете, что поверхности подразделяются на линейчатые и нелинейчатые. Научитесь задавать и конструировать поверхности. Строить точки и линии по принадлежности поверхности. Узнаете, чем отличается цилиндрическая линейчатая поверхность от цилиндра вращения и цилиндроида.

Как Вы думаете?

1.Какая поверхность применялась для создания прожекторов и фар автомобилей?

2.Какая поверхность использовалась для создания конструкции радиомачты на Шаболовке высотой 160м в 1921 году?

3.Принадлежит точка А поверхности , или нет (рис. 2-37)?

4.Чем отличается сфера от шара?

	2
А
1	1

25

Рис. 2-37

Мы живем в мире поверхностей - плоских и кривых, простых и сложных, созданных природой и рукой человека. Как их отобразить на чертеже?

Существует несколько способов задания поверхности: аналитический, графический, кинематический.

В начертательной геометрии чаще поверхность задают кинематически - как множество всех положений перемещающейся по определенному закону линии в пространстве. Эта линия называется образующей - l. Как правило, она скользит по некоторой неподвижной линии, называемой направляющей - m, направляющих может быть одна или несколько.

Образующая l , скользя по неподвижной направляющей m, создает плотную сеть линий. Такое упорядоченное множество линий поверхности называется ее каркасом:

s	т	l
	М

Рис. 2-38

Каркасы бывают непрерывными – поверхность задана всем множеством образующих, или дискретными, когда имеется конечное число образующих.

При построении дискретного каркаса поверхности необходимо учитывать закон каркаса.

Закон каркаса - это закон движения образующей.

Любое тело ограничивается своей поверхностью. Тело - конечно и состоит из конкретного материала - металла, пластмассы, древесины. Поверхность является абстрактной фигурой, не имеющей толщины, т.е. образно говоря, это тонкая пленка, натянутая на каркас поверхности.

Например, шар - тело, которое ограничено сферой - поверхностью.

Определитель поверхности

Минимальная информация, необходимая и достаточная для однозначного задания поверхности в пространстве и на чертеже, есть определитель - D поверхности. Определитель состоит из двух частей: D = G + А.

Геометрическая часть - G устанавливает набор геометрических фигур (геометрических элементов), участвующих в образовании поверхности, например: (m,s) (рис 2-38);

Алгоритмическая часть - А устанавливает закон (характер) взаимодействия геометрических фигур в процессе образования поверхности, например: l m, l s (рис. 2-38) При построении чертежа поверхности алгоритмической частью определителя является закон каркаса поверхности.

Очерк проекции поверхности

На рис. 2-39а показана поверхность Г, которую ортогонально проецируют на плоскость проекций П1 (рис. 2-34б). Проецирующие прямые касаются поверхности Г и образуют цилиндрическую поверхность П1. Эти проецирующие прямые касаются поверхности Г в

26

точках, образующих некоторую линию m принадлежащую Г, называемую контурной линией данной поверхности. Проекция контурной линии на плоскость проекций называется

очерком проекции поверхности - m1.

П1 = m1

	т	т-контурная
		линия
	т	т -линия очерка
	1
		1
1	1
		1
Рис. 2-34а	Рис. 2-34б	Рис. 2-34в

m1 - очерк поверхности на горизонтальную плоскость проекций (очертание, линия очерка, очерковая линия). Таким образом, очерком проекции поверхности называется граница, которая отделяет проекцию поверхности от остальной части какой-либо плоскости проекций.

Классификация поверхностей

Мир поверхностей велик и разнообразен. Существует много подходов к вопросу классификации поверхностей. За основу классификации, чаще всего, принимаются форма образующей и закон ее перемещения в пространстве.

Надо иметь в виду, что одни и те же поверхности могут быть отнесены одновременно к нескольким типам. Например, цилиндрическая поверхность вращения: как к поверхностям вращения, так и к линейчатым; прямой геликоид: как к винтовым поверхностям, так и к линейчатым (винтовой коноид).

27

ПОВЕРХНОСТИ

Линейчатые

Винтовые

Циклические

Развертывающиеся

Неразвертывающиеся

поверхности

поверхности

Наклонныйгеликоид

ойгПрямеликоид

Трубчатая

Каналовая

Цилиндроиды

Многогранные

Кривые

Коноиды

Призматические

Цилиндрические

Гиперболические

параболоиды

Пирамидальные

Конические

(касая плоскость)

							Поверхности вращения
			Закономерные							Общего вида
гопорядка-2иностПоверх		Цилиндр
		Гиперболоид
						Поверхности гопоряд-4 ка
		Конус						Тор открытый (кольцо)
		Сфера						Тор закрытый (самосоприкасающийся)
		Эллипсоид
								Тор закрытый (самопересекающийся)
		Параболоид
		Гиперболоид
		однополостный
		двуполостный
								Рис. 2-40

Алгоритм конструирования поверхности

Поверхность считается графически заданной на комплексном чертеже, если можно построить точку на поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на поверхности. Так какую линию лучше выбрать для построения точки на поверхности? Для линейчатых поверхностей выбирают образующую. Для других поверхностей выбирают графически простые линии, к которым относят прямую и окружность.

28

Напомним, что основным требованием, предъявляемым к чертежам, является их обратимость и наглядность. При задании поверхности только геометрической частью определителя можно построить, в принципе, каждую точку поверхности (примером может служить плоскость, заданная тремя точками).

Рассмотрим пример задания замкнутой треугольной призмы проекциями геометрической части определителя (АВС,S) (рис. 2.41).

	С	М			S2
			2
	2
А
2
		В			S
А		2	1
1

В1

С1

Рис. 2-41

Поверхность действительно задана, т.к. можно построить недостающую проекцию точки М(М1) (рис. 2.42), т.е. чертеж обратим, но не является наглядным. Следовательно, необходимо дополнить чертеж поверхности ее очертаниями.

Поэтому конструировать поверхности мы будем с помощью построения дискретного каркаса, проекции которого обеспечат обратимость и наглядность чертежа поверхности.

		С		М			S2
					2
2
А
2				В
				2			S1
А
1				В
				1	М
					1

С1

Рис. 2-42

Сконструировать поверхность - это значит построить проекции поверхности, состоящие из проекций определителя и проекций характерных линий, к которым относятся линии контура и линии обреза.

Алгоритм (последовательность построения чертежа любой поверхности):

1.Задать проекции элементов определителя (будем иметь в виду задание проекций геометрической части определителя).

2.Построить проекции дискретного каркаса, состоящего из конечного числа графически простых линий.

29

3.Построить проекции линии обреза, которые для образования поверхности существенной роли не играют, они лишь ограничивают, обрезают поверхность.

4.Определить видимость проекций поверхности.

5.Обвести видимые линии проекций поверхности сплошной толстой линией.

Задание линейчатых поверхностей на комплексном чертеже

Развертывающиеся поверхности

Многогранные поверхности

Многогранники - геометрические тела, поверхность которых состоит из отсеков плоскостей, ограниченных многоугольниками.

S	l	т		S2
		l2
М					М
		А	В		2
					С
			2
		2			2
		А			т
					2
		1			1
линия		l1
					С
обреза			S1		т
				М
			В		1
				1
			1

Рис. 2-43а Рис. 2-43б

30