Lektsii_Chast3

значениях, называемых собственными значениями. Соответствующие им решения уравнения Шредингера называются собственными функциями.

§ 5. Туннельный эффект

Пусть частица, обладающая энергией Е, движется слева направо и встречает на своем пути потенциальный барьер высотой Еро и шириной l.

Потенциальным барьером называется пространственно-ограниченная область высокой потенциальной энергии частицы в силовом поле, по обе стороны которой

потенциальная энергия более или менее резко спадает.

В классической механике движение частицы возможно лишь при x<x1, т.к. разность (Е-Ер0)=Ек представляет собой кинетическую энергию, которая не может быть отрицательной.

В квантовой механике движение частицы представлено как распространяющиеся колебания ее волновой функции. До барьера частица свободна, ее волновая функция испытывает незатухающие колебания. Из условия непрерывности волновой функции и ее первой производной следует, что в точке x1 волновая функция не может вдруг скачком обратиться в ноль. Она может затухать, как показано на рисунке, но вероятность проникновения частицы внутрь барьера x1<x<x2 отлична от нуля | |2 0.

Если барьер не слишком широкий и к правому его краю волновая функция не затухает окончательно, то из условия непрерывности в точке x2 следует, что волновая функция отлична от нуля и за барьером. Поэтому имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникает сквозь барьер.

Квантовое явление преодоления микрочастицей потенциального барьера, когда ее полная энергия меньше высоты барьера, называется туннельным эффектом.

Туннельный эффект не противоречит закону сохранения энергии. Неопределенность импульса на отрезке x, равном ширине барьера l, составляет:

px h h . Тогда:

x l

E

mV 2

m2V 2

p2

;

E

( p)2

.

k

k

2

2m

2m

2m

Связанная с разбросом в значениях импульса кинетическая энергия частицы может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше высоты потенциального барьера.

Вероятность туннельного просачивания тем больше, чем меньше масса частицы m, толщина l и относительная высота (Еро-Е) барьера. Важную роль играет и форма барьера. Барьеры с крутыми стенками эффективнее отражают частицы, чем барьеры с пологими стенками.

51

Туннельный эффект играет большую роль при -распаде радиоактивных ядер, в термоядерных реакциях, холодной эмиссии электронов из металлов, туннельных диодах.

Наряду с туннельным эффектом возможно так называемое надбарьерное отражение: падающая на барьер частица с энергией E>Ер0 с определенной вероятностью может отразиться от барьера и полетит в обратную сторону. Это явление также обусловлено волновыми свойствами микрочастиц.

§ 6. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»

Ограниченная область пространства, определяемая физической природой взаимодействия частиц, в которой полная энергия E меньше, чем вне ее, называется потенциальной ямой. Иными словами, потенциальная яма, есть область пространства, в которой на частицу действуют силы притяжения.

Пусть яма имеет бесконечно высокие стенки, а частица может двигаться только вдоль оси Х. Уравнение Шредингера

		2m
			E E p 0	в
		2

Введем обозначение

области 0<x<a, где Ер=0:

d 2 2m E 0 . dx2 2

2m2 E k 2 , тогда уравнение примет вид:

d 2 k 2 0 . dx2

Это есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Общее решение этого уравнения: =Аsin(kx+ ). Убедиться в этом можно подстановкой.

Так как на границах ямы E p , то вероятность проникновения частицы за

пределы ямы равна нулю, то есть | |2=0, следовательно (x)=0 за пределами ямы. Из условия непрерывности следует, что (x)=0 и на стенках ямы, то есть

(0)=0, (а)=0.

х=0, (0)=0 А sin =0, т.е. =0;

х=а, (а)=0

А sinkа =0, что дает kа =n , где n= 1, 2, … Отсюда k n

.

a

Осуществим подстановку:

2m

E k 2 ,

2m

E

n2 2

,

h

. Тогда:

2

2

a 2

2

E(n) n2

2 2

n2

h2

, где n= 1, 2, …

2ma 2

8ma 2

Энергия частицы в потенциальной яме принимает только дискретный ряд значений, то есть энергия частицы оказывается квантованной. Квантовые значения

52

энергии Е(n) называются уровнями энергии, а число n называется главным квантовым числом.

	Asin(kx )
	Итак: 0
	k n a

Следовательно, собственные функции уравнения Шредингера для данной

задачи имеют вид:

A sin

n

x .

n

a

2 dV 1,

2 dx 1,

a

n

Из

условия нормировки:

A2 sin 2

x dx 1 найдем:

a

V

x

0

n

A

2

. Отсюда:

n

(x)

2

2

sin 2

x .

a

a

a

2

2

1) n=1,

x=0:

sin 2

0 0 ;

a

a 0 ;

x=а:

2

2

sin 2

α

a

x

a

:

2

2

sin 2

a

2

.

2

α

a

2

α

2

2) n=2;

x=0:

0 ;

x=а:

2

2

sin 2

2

a 0 ;

α

a

x

a

:

2

2

sin 2

2

a

0

2

α

a

2

Из графика следует, что в состоянии с n=2 частица не бывает в середине ямы, но вместе с тем, одинаково часто бывает как в левой так и в правой половинах ямы.

Такое поведение несовместимо с представлением о движении по определенной траектории, так как согласно классической механике, частица с одинаковой вероятностью может находиться в любой точке ямы и обладать произвольным значением энергии.

	Из выражения: E		n2	h2	вытекает, что энергетический интервал между
		n		8ma 2
	двумя соседними уровнями равен: En En 1 En					h2	2n 1 .
						8ma 2

При больших квантовых числах n>>1 En 2 <<1, то есть соседние уровни

En n

располагаются тем теснее, чем больше квантовое число n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов - дискретность - сглаживается. Этот

53

результат является частным случаем принципа соответствия Бора, согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

§ 7. Атом водорода в квантовой механике

Электрон в атоме совершает движение в пространстве трёх измерений и «потенциальная яма» является трёхмерной. Потенциальная энергия электрона в

атоме водорода:

E p

e2

, где r - расстояние между электроном и ядром.

4

0 r

Графическое

изображение

потенциальной

энергии взаимодействия электрона с ядром: при

уменьшении расстояния между электроном и

ядром r, то есть при приближении электрона к

ядру потенциальная энергия Ер

неограниченно

убывает, а по модулю возрастает.

Состояние электрона в атоме водорода

описывается

волновой

функцией

,

удовлетворяющей

стационарному уравнению

Шредингера:

2m

(E

e2

) 0 .

4

2

0 r

Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, пояснив их физический смысл.

Как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими стенками, движение электрона в кулоновском поле ядра приводит при решении уравнения Шредингера к появлению дискретных энергетических уровней E1, E2, E3, ...

При отрицательных значениях энергии E<0 движение электрона является связанным - он находится внутри гиперболической “потенциальной ямы” (см. рисунок). По мере роста квантового числа энергетические уровни располагаются теснее и при n ,E 0 .

При положительных значениях энергии E>0 движение электрона является свободным. Область непрерывного спектра (заштрихована на рисунке) соответствует ионизированному атому. Энергия ионизации атома водорода:

E		E		me4		13,55	эВ, где 1 эВ 1,6 10 19 Дж .
	i
		1		8h2	2
			0

Таким образом, уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода имеет однозначные, конечные и непрерывные значения волновой функции в двух случаях:

1)при дискретных отрицательных значениях энергии;

2)при любых положительных значениях энергии.

Дискретный набор отрицательных значений энергии рассчитывается по формуле:

54

En hcRn2 ,

где c - скорость света в вакууме с=3 108 м/с; R - постоянная Ридберга R=1,1 107 м-1;

n - главное квантовое число, которое определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать целочисленные значения n=1, 2, 3, …. Выражение для энергии En совпадает с формулой, полученной Бором для

энергии атома водорода. Однако, если Бору пришлось вводить дополнительные постулаты, то в квантовой механике дискретные значения энергии являются следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.

§ 8. Квантовые числа

Следствием решений уравнения Шредингера и условий однозначности, непрерывности и конечности, налагаемых на волновую функцию, являются квантовые числа. Их четыре: главное квантовое число n, орбитальное l, магнитное me, магнитное спиновое ms.

1)Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать целочисленные значения:

	En	z 2 hcR	,	n=1, 2, 3, ... ,
		n2

где z – число протонов в ядре, а значит и число электронов в атоме.

2) Орбитальное квантовое число l задает спектр возможных значений модуля орбитального момента импульса электрона:

		l(l 1) , l=0, 1, ..., (n-1).
Le

3)Магнитное квантовое число me характеризует возможные значения проекции орбитального момента импульса электрона на заданное направление (например, ось z):

Lez me , me=0, 1, 2,…, l.

4)Магнитное спиновое квантовое число ms определяет возможные значения проекции спина электрона на любое фиксированное направление в пространстве:

Lsz ms .

Американские физики Уленбек и Гаудсмит предположили, что электрон обладает собственным неуничтожимым, механическим моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве - спином. Спин - квантовая величина, у нее нет классического аналога, это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду, массе.

Модуль спина: Ls s(s 1) , где s - спиновое квантовое число, может

принимать значения s=1/2, тогда магнитное спиновое квантовое число ms 12 .

55

Итак, квантовые числа определяют возможные значения физических величин, характеризующих квантовые системы и отдельные частицы: возможные значения энергии атома, орбитальный момент импульса электрона и собственный момент импульса электрона.

Поскольку при движении электрона в атоме существенны его волновые свойства, квантовая механика вообще отказывается от классического представления об электронных орбитах. Согласно квантовой механике, каждому энергетическому состоянию соответствует волновая функция, квадрат модуля которой определяет вероятность обнаружения электрона в единице объема. Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. Главное n и орбитальное l квантовые числа характеризуют размер и форму электронного облака, магнитное квантовое число me характеризует ориентацию электронного облака в пространстве, а магнитное спиновое квантовое число ms характеризует добавочную степень свободы электрона.

§ 9. Спектр атома водорода

Важнейшее свойство квантовой системы, состоящей из связанных частиц (например, атома, состоящего из ядра и электронов, связанных между собой электрическими силами), заключается в том, что энергия (внутренняя энергия системы, не связанная с ее движением как целого) квантуется, т. е. она может принимать дискретные значения Е1, Е2, ..., Еn. Это мы получили, решая уравнение Шредингера: En hcRn2 .

Возможные значения энергии называются энергетическими уровнями, набор возможных значений энергии - энергетическим спектром системы. Число частиц в единице объема вещества, находящихся на данном энергетическом уровне,

называется населенностью уровня.

Состояние системы с минимально возможным значением энергии называется (нормальным) основным, все остальные состояния - возбужденными.

Скачкообразный переход квантовой системы из одного состояния в другое называется квантовым переходом. Величина, определяющая среднее число квантовых переходов данного типа за единицу времени, рассчитанное на одну частицу, называется вероятностью перехода.

При переходе с более высокого уровня энергии Еk на более низкий Еi система излучает фотон, при обратном переходе - поглощает его. По закону сохранения энергии:

Ek Ei h - условие частот Бора.

В этом выражении h - энергия фотона.

Оптический спектр - распределение по частотам (или длинам волн) интенсивности оптического излучения рассматриваемого тела (спектр испускания) или интенсивности поглощения света при его прохождении через рассматриваемое вещество (спектр поглощения). Спектры атомов газов, находящихся при низком давлении, являются линейчатыми, т.е. состоят из отдельных спектральных линий.

56

В качестве рассматриваемого тела возьмем водород. Формула для частоты спектральной линии, испускаемой при переходе атома водорода из состояния с главным квантовым числом n1=k в состояние с главным квантовым числом n2=i,

получается из формул E			hcR	и E		E h :
	n				k
			n2			i

	1		1		1			1
ν cR										- формула Бальмера.
			k 2		R			k 2
i2					i2

где R 1,1 107 м - постоянная Ридберга, в честь шведского спектроскописта

( cR R 3,29 1015 с-1).

Все спектральные линии в спектре атома водорода могут быть объединены в серии. Спектральная серия - группа спектральных линий, возникающих при переходах атома с разных верхних уровней энергии на один и тот же нижний уровень. Каждой серии спектра атома водорода соответствует определенное значение главного

квантового числа n=i. В каждой серии различают

головную (k=i+1) и граничную (k= ) линии.

Серия Лаймана (i=1, k=2, 3, 4,...) лежит в ультрафиолетовой области спектра.

Серия Бальмера (i=2, k=3, 4, 5...) расположена в видимой области спектра.

Остальные серии находятся в инфракрасной области спектра:

серия Пашена (i=3, k=4, 5, 6,...); серия Брэкета (i=4, k=5, 6, 7,...); серия Пфунда (i=5, k=6, 7, 8,...).

§ 10. Поглощение, спонтанное и вынужденное излучение.

Различают три типа квантовых переходов:

1.Под действием внешнего излучения переход атома с более низкого уровня на более высокий,

сопровождающийся поглощением фотона с энергией

h . Вероятность поглощения пропорциональна плотности излучения, вызывающего этот переход.

2.Спонтанный переход атома (самопроизвольный) с верхнего уровня энергии на нижний, сопровождающийся испусканием фотона с энергией

h . Это происходит без воздействия внешнего электромагнитного излучения. Вероятность такого перехода обратна времени жизни атома в возбужденном состоянии ~ 10-8 c.

3. Вынужденный переход атома с верхнего уровня энергии на нижний под действием внешнего электромагнитного излучения, сопровождающийся испусканием фотона.

57

Вероятность этого перехода пропорциональна числу фотонов в единице объема внешнего электромагнитного излучения.

Частота, фаза, поляризация и направление распространения вынужденного излучения полностью совпадают с характеристиками внешнего излучения. Поэтому фотон вынужденного излучения тождественен фотону вынуждающего излучения.

Взамкнутой системе, в условиях термодинамического равновесия населенность верхних уровней меньше, чем нижних.

Если квантовая система находится в поле электромагнитного излучения, то это поле с одинаковой вероятностью будет вызывать как поглощение, так и вынужденное излучение, то есть фотон внешнего излучения с одинаковой вероятностью либо индуцирует излучение при столкновении с атомом на верхнем уровне, либо поглощается при столкновении с атомом на нижнем уровне. Но так как более высокие уровни имеют меньшую населенность, чем нижние, то акты поглощения фотонов внешнего излучения будут происходить чаще,чем акты вынужденного испускания.

В1939 г. советский физик В.А.Фабрикант впервые указал, что возможны ситуации, когда вынужденное излучение станет играть доминирующую роль. Для этого нужно нарушить равновесное распределение частиц вещества и создать инверсию населенностей. Инверсия - нарушение обычного порядка.

Вещество, в котором осуществлена инверсия населенности, хотя бы двух энергетических уровней, называется активной средой.

Процесс создания инверсии населенностей энергетических уровней называется накачкой.

§ 11. Лазер

Лазером называется устройство, генерирующее оптическое излучение за счёт вынужденных переходов. Лазер содержит три основных элемента: активную среду, систему накачки и оптический резонатор.

Вещество с инверсией населенностей называется активной средой по той причине, что при прохождении через неё электромагнитная волна не ослабляется, а усиливается. В этом состоит суть принципа молекулярного усиления, сформулированного Фабрикантом в 1951 году. В 1953 году на основе этого принципа советские физики Басов, Прохоров и независимо от них американский физик Таунс создали первые молекулярные усилители и генераторы в сантиметровом диапазоне радиоволн – мазеры.

Активная среда может служить не только для усиления, но и генерации света. Для этого необходима обратная положительная связь, состоящая в том, что часть излучения, выходящего из устройства, возвращается обратно для поддержания генерации. При этом отпадает необходимость во внешнем источнике излучения, т.к. фотоны, возникающие за счёт спонтанных переходов, способны привести устройство в автоколебательное состояние, т.е. в такое состояние, при котором устройство генерирует излучение. Вынужденное излучение и обратная связь – главные процессы, приводящие к генерации излучения лазера.

58

Глава 4.5. АТОМНОЕ ЯДРО

§ 1. Строение атомных ядер

Э. Резерфорд, исследуя прохождение -частиц через тонкие пленки золота, пришел к выводу о том, что атом состоит из положительно заряженного ядра и окружающих его электронов. Размеры атомных ядер 10-14 10-15 м (линейные размеры атома 10-10 м).

Атомное ядро состоит из элементарных частиц – протонов и нейтронов. Протон (р) имеет положительный заряд, равный заряду электрона и массу

покоя mp=1,673 10-27 кг 1836 mе.

Нейтрон (n) – нейтральная частица с массой покоя mn=1,675 10-27 кг 1839 mе. Протоны и нейтроны называются нуклонами (от латинского – nucleus - ядро).

Общее число нуклонов в ядре называется массовым числом А.

Атомное ядро характеризуется зарядом q=Ze, где е – заряд протона, Z – зарядовое число ядра, равное числу протонов в ядре и совпадающее с порядковым номером химического элемента в Периодической системе элементов Менделеева. В таблице Менделеева 107 элементов имеют зарядовые числа ядер от Z=1 до Z=107.

Обозначение атомного ядра: X ZA , где X – символ химического элемента, Z – атомный номер (число протонов в ядре), А – массовое число (число нуклонов в ядре).

Сейчас протонно-нейтронная модель ядра не вызывает сомнений. Рассматривалась также гипотеза о протонно-электронном строении ядра, но она не выдержала экспериментальной проверки.

Так как атом нейтрален, то заряд ядра определяет число электронов в атоме. От числа электронов зависит их распределение по состояниям в атоме, а от этого в свою очередь зависят химические свойства атома. Следовательно, заряд ядра определяет специфику данного химического элемента.

Ядра с одинаковыми атомными номерами Z (число протонов в ядре), но разными массовыми числами А (т.е. c разным количеством нейтронов N=A-Z) называются изотопами, а ядра с одинаковыми А, но разными Z называются

изобарами.

Например, водород имеет три изотопа: H 11 - протий (Z=1, N=0) H 21 - дейтерий (Z=1, N=1)

H 31 - тритий (Z=1, N=2).

Олово Sn11950 имеет 10 изотопов. В большинстве случаев изотопы одного и

того же химического элемента обладают одинаковыми химическими и почти одинаковыми физическими свойствами (исключение составляют изотопы водорода).

Пример ядер-изобар: Be104 ,B105 ,C106 .

В настоящее время известно более 2000 ядер различающихся либо Z, либо А, либо и тем и другим. Примерно 1/5 часть этих ядер устойчивы, остальные

59

радиоактивны. Многие ядра были получены искусственным путем с помощью ядерных реакций.

В природе встречаются элементы с атомным номером Z от 1 до 92, исключая технеций (Тс, Z=43) и прометий (Рm, Z=61). Плутоний (Pu, Z=94) после получения его искусственным путем был обнаружен в ничтожных количествах в природном минерале. Остальные трансурановые, т.е. заурановые элементы с Z от 93 до 107 были получены искусственным путем: кюрий (Cm, Z=96 в честь П. и М.Кюри), эйнштейний (Es, Z=99 в честь А.Эйнштейна), фермий (Fm, Z=100 в честь Э.Ферми), менделевий (Md, Z=101 в честь Д.И.Менделеева), лоуренсий (Lr, Z=103 в честь изобретателя циклотрона Э.Лоуренса), курчатовий (Ku, Z=104 в честь И.В.Курчатова).

В России лаборатория ядерных реакций Объединенного института ядерных исследований находится в г.Дубна (Г.Н.Флеров и его сотрудники).

Ядро в первом приближении можно считать шаром. Радиус ядра задается эмпирической формулой: R R0 A13 , где R0=(1,3 1,7) 10-15 м.

Однако, из-за размытости границ ядра радиус R неоднозначен. Из формулы следует, что объем ядра пропорционален числу нуклонов в ядре. Таким образом, плотность вещества во всех ядрах приблизительно одинакова.

§ 2. Дефект массы и энергия связи ядра

Масса ядра mя всегда меньше суммы масс входящих в него частиц. Это обусловлено тем, что при объединении нуклонов в ядро выделяется энергия связи нуклонов друг с другом.

Энергия покоя частицы связана с ее массой соотношением: E0 mc2 .

Следовательно, энергия покоящегося ядра меньше суммарной энергии невзаимодействующих покоящихся нуклонов на величину:

Eсв c2 [Zmp ( A Z )mn mя ] .

Это и есть энергия связи нуклонов в ядре. Она равна работе, которую нужно совершить, чтобы разделить образующие ядро нуклоны и удалить их друг от друга на такие расстояния, при которых они практически не взаимодействуют друг с другом.

Обозначения в формуле: m p - масса протона; mn - масса нейтрона; mя -

масса ядра. Но в таблицах обычно приводятся не массы ядер, а массы атомов. Поэтому пользуются другой формулой:

Eсв c2 [ZmH ( A Z )mn ma ] ,

где ma - масса атома, mH - масса атома водорода.

Если пренебречь сравнительно ничтожной энергией связи электронов с ядрами, указанная замена будет означать добавление к уменьшаемому и вычитаемому одинаковой величины Z me.

Энергия связи, приходящаяся на один нуклон, называется удельной энергией связи нуклонов в ядре:

Eсв Eсв .

A

60