praktikum

ФедоровА.Ф., БаженовД.А.«Системыуправления химико-технологическимипроцессами», лабораторныйпрактикум, 2009 г

Рис. 4.17. Структурная схема АСР с ПИ-регулятором

Система алгебраических и дифференциальных уравнений будет иметь вид

ε = u1 − x5 − x6;

dx1 =

K1

ε−

1

x

;

T

dτ

T

1

1

1

dx2 =

K2 x

−

1

x

2

;

dτ

T2

1

T2

dx3

=

K3

x

2

−

1

x

;

(4.28)

dτ

T3

T3

3

dx4 = x

;

dτ

3

x5 =T5x3 + x4;

dx6 =

K4 u

2

−

1

x

;

dτ

T4

T4

6

x7 = x5 + x6.

Здесь К1 = kоб, К2 = 1,

K3 =

kp

, К4

= kов, u1 = u, u2=хв, Т5=Ти, х7=хвых.

Tи

Расчет параметров настройки регулятора

Лабораторная работа преследует цель исследовать влияние закона регулирования на характер переходного процесса в АСР. Поэтому необходимо определить параметры настройки системы с пропорциональным, интегральным и пропорционально-интегральным регуляторами. Для этого можно воспользоваться приближенными формулами или номограммами

[15, 16].

Так как динамические свойства объекта по каналу управления заданы передаточной функцией (4.24), а для использования номограмм необходимо аппроксимировать переходную характеристику решением диффе-

58

ФедоровА.Ф., БаженовД.А.«Системыуправления химико-технологическимипроцессами», лабораторныйпрактикум, 2009 г

ренциального уравнения с запаздывающим аргументом и найти приближенные численные значения параметров Коб, Тоб, τоб, то поступают следующим образом.

Находят переходную характеристику объекта по каналу управления путем решения системы дифференциальных уравнений, составленных по структурной схеме (рис. 4.18).

dx2

=

K1

x

−

1

dτ

T

T

1

dx3

1

1

=

K2

x

2

−

1

T

dτ

T

dx4

2

2

=

K3

x

−

1

dτ

T

3

T

3

3

x2;

x3; (4.29)

x4,

где К1 = kоб, К2 = К3 = 1.

Рис. 4.18. Структурная схема объекта

По результатам расчета строится график переходной характеристики и находятся значения параметров аппроксимирующей модели

W	( р) =	kоб			е−τоб р
об	Тоб р		+1

любым известным методом [18], например графически (см. рис. 4.19). По найденным значениям kоб, Тоб, τоб находят параметры настройки

регуляторов, используя следующие соотношения [17]:

– для пропорционального регулятора:

	kр =	0,7Тоб	;	(4.30)
		kобτоб
	– для интегрального регулятора:

	εр =	1	;	(4.31)
		1,7kобТоб

– для пропорционально-интегрального регулятора:

	kр =	0,7Тоб	;	(4.32)
		kобτоб
	Ти = 0,7Тоб.			(4.33)

59

ФедоровА.Ф., БаженовД.А.«Системыуправления химико-технологическимипроцессами», лабораторныйпрактикум, 2009 г

Регуляторы с полученными таким образом значениями параметров должны обеспечить заданный запас устойчивости АСР ψ = 0,9.

Рис. 4.19. Аппроксимация переходной функции объекта

Решение системы дифференциальных уравнений АСР на ПЭВМ

Для решения системы дифференциальных уравнений воспользуемся численным методом интегрирования Эйлера.

Приближенное решение задачи Коши

u′ = f (x, y)

(4.34)

вычисляется на сетке ϖh по формулам

yi+1 = yi + h f(xi, yi) + ηi;

I = 0, 1, …, y0 = u0,

(4.35)

где yi – значение приближенного решения на i-м шаге;

h – шаг интегрирования;

ηi – погрешность округления, в том числе погрешность вычисления функции f.

Длительность процесса интегрирования ориентировочно можно оценить по величине постоянных времени объекта

60

ФедоровА.Ф., БаженовД.А.«Системыуправления химико-технологическимипроцессами», лабораторныйпрактикум, 2009 г

n
TK = 5∑Тi ,	(4.36)

i=1

где Тi – постоянная времени объекта;

n – порядок дифференциального уравнения объекта.

Шаг интегрирования h выбирается достаточно малым, однако вели-

чина шага должна удовлетворять условию h ≥	TK	.
	M 1000

Периодичность вывода на экран M задается произвольно и представляет собой целое число (рекомендуемые значения: 1, 2, …, 10).

Порядок выполнения работы

Работа выполняется в следующем порядке:

1.Ознакомиться с методикой составления системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши по структурной схеме АСР.

2.Составить систему дифференциальных уравнений для объекта регулирования, рассчитать коэффициенты уравнений и выполнить расчет переходной характеристики на ПЭВМ.

3.По результатам расчета построить график переходной характеристики объекта и найти значения параметров аппроксимирующей модели

Коб, Тоб, τоб.

4.Используя соотношения (4.30)–(4.34), найти параметры настройки регуляторов.

5.Выполнить расчет процессов регулирования в АСР с различными законами регулированиями и сделать сравнительный анализ качества процессов регулирования.

6.Составить отчет о проделанной работе.

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1.Цель работы.

2.Исходные данные по исследуемым АСР.

3.Порядок выполнения работы.

4.Результаты работы, проиллюстрированные необходимыми схемами, таблицами, графиками.

5.Выводы по работе.

61

ФедоровА.Ф., БаженовД.А.«Системыуправления химико-технологическимипроцессами», лабораторныйпрактикум, 2009 г

4.4. Лабораторная работа № 10 Расчет и исследование одноконтурных АСР

Цель работы

Цель работы заключается в следующем:

Получить практические навыки расчета настройки автоматических систем регулирования с помощью ЭВМ.

Получить практические навыки моделирования и исследования автоматических систем регулирования с помощью ЭВМ.

Расчет одноконтурных АСР

В практике расчета настройки автоматических систем регулирования широкое распространение получил метод Циглера – Никольса из-за своей простоты и легкости алгоритмизации. В соответствии с этим методом расчет настроек регуляторов проводят в два этапа:

• рассчитывается критическая частота пропорциональной составляющей Кркр, при которой АСР будет находиться на границе ус-

тойчивости, и соответствующая ей критическая частота ωкр;

•по найденным значениям Кркр и ωкр определяются оптималь-

ные настройки, обеспечивающие степень затухания переходного процесса

ϕ = 0,8÷0,9.

Уравнения для расчета Кркр и ωкр получают из известных уравнений для П-регулятора [17, 18]:

Aоб(ωкр)Кркр =1;	(4.37)
ϕоб (ω)+ π = 0 .	(4.38)

Оптимальные настройки регуляторов находятся по следующим соотношениям [17]:

• для П-регулятора Wp (P)= Kp ;

Kp

=0,5Kp

;

(4.39)

опт

кр

С0

•

для ПИ-регулятора W

(P)= K

p

+

;

p

Р

Kp

опт

=0,45Kp

кр

;

(4.40)

С0опт = 0,086Kpкрωкр;

(4.41)

•

для ПИД-регулятора W (P)= K

p

+ С0

+Т

д

Р;

p

Р

62

ФедоровА.Ф., БаженовД.А.«Системыуправления химико-технологическимипроцессами», лабораторныйпрактикум, 2009 г

Kp	опт	=0,45Kp	кр	;	(4.42)
С0опт = 0,192Kpкрωкр;					(4.43)

		T		= 0,471		Kp	кр	.		(4.44)
		Допт				ωкр
Пусть динамические свойства объекта заданы в виде передаточной
функции
W	об	(P)=		Коб					е−Рτоб ,	(4.45)
		Т22 Р2 +Т1Р+Т3

для которой можно построить различные модели объектов, получаемых при аппроксимации экспериментальных и аналитических временных характеристик.

Из выражения (4.45) путем замены Р = iω формально можно получить выражение для комплексной частотной характеристики

W	(iω)=			Коб			е−iωτоб .	(4.46)
		Т2	(iω)2	+Т iω+Т
об						3
		2		1
Отсюда амплитудно-частотная характеристика объекта может быть
получена в виде
Аоб	(ω)=			Коб		,		(4.47)
		(Т3 −Т22ω2 )2
					+Т12ω2

а фазо-частотная характеристика объекта может быть получена в виде

		(ω)= −ωτ				Т ω
ϕ	об		об	−arctg		1			.	(4.48)
						2
					Т3		ω	2
						−Т2

Подставив выражение (4.48) в (4.38), получим уравнение для расчета критической частоты

				T ω
−ωτ	об	−arctg		1			+ π = 0 .	(4.49)
					ω2
		T −T 2
			3	2

Комплексная частотная характеристика объекта пересекает отрицательную вещественную полуось бесконечное число раз, так как выражение (4.46) относится к виду трансцендентных (рис. 4.20).

Для расчета критической частоты из уравнения (4.46) нужно определить только один корень, например с помощью метода дихотомии.

Начальный шаг изменения частоты ω и начальное значение частоты ωн нужно выбрать так, чтобы выполнялось неравенство

Т3 ≠Т22 ω2 .

(4.50)

63

ФедоровА.Ф., БаженовД.А.«Системыуправления химико-технологическимипроцессами», лабораторныйпрактикум, 2009 г

Рис. 4.20. График комплексной частотной характеристики объекта

Так,	представляет интерес вычислять значения			ωкр из уравне-
ния (4.49)	при минимальном числе шагов. Начальное значение частоты
можно выбирать, ориентируясь на величину
	ω =	Т3 =	Т3 .	(4.51)
	р	Т22	Т2

Если при данной частоте ωpτоб > π2 , то начальное значение частоты

ωн нужно взять меньше ωр или делать отрицательные приращения частоты Δω, контролируя невязку решения уравнения (4.49).

В результате находят решения уравнения (4.49) до тех пор, пока не выполнится условие

−ωpτоб − arctg		T1ωp	+ π < ,	(4.52)
	T	−T 2ω2
3		2 p

находится значение критической частоты ωкр, и по выражению (4.37) с учетом (4.47) рассчитывается критическое значение настройки П- регулятора ( Кркр), а по выражениям (4.39)–(4.44) рассчитываются опти-

мальные параметры настройки регуляторов.

64

ФедоровА.Ф., БаженовД.А.«Системыуправления химико-технологическимипроцессами», лабораторныйпрактикум, 2009 г

Исследование переходных процессов в одноконтурной АСР

Расчет переходных процессов в одноконтурной АСР можно выполнить путем численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, представленных в нормальной форме Коши.

Передаточная функция (4.45) может быть представлена в виде произ-

ведения двух передаточных функций апериодических звеньев при Т1 > 2

Т2

и Т3 = 1:

	W		( p) =				kоб		1	e− pτоб ,	(4.53)
	об					(Т1′p +1) (T2′ p +1)
где	Т1′ =	Т1		+	Т12		−Т22 ;		Т2′ = Т1 −Т1′.		(4.54)
		2			4

Тогда структурная схема АСР будет иметь вид, представленный на рис. 4.21.

Рис. 4.21. Структурная схема одноконтурной АСР

Путем введения промежуточных переменных динамические свойства объекта и регулятора приводятся к нормальной форме Коши.

Для системы с П-регулятором

ε =U − y(τ);

dx1

kоб

1

х

=

ε−

;

dτ

Т1′

Т1′

1

dx2 = 1

x −

1

x

(4.55)

;

dτ

′

1

′

2

T1

T2

x3 = kp x2;

y(τ) = x3(τ−τоб).

Если систему дифференциальных уравнений записать в векторной форме, то система (4.55) примет вид

65

ФедоровА.Ф., БаженовД.А.«Системыуправления химико-технологическимипроцессами», лабораторныйпрактикум, 2009 г

G

G

εG

=U − yG(τ);

G

x(τ) = Ax(τ) + Bε(τ);

xG3 = Kp xG2;

yG

(τ) = xG

(τ−τ

об

),

где

3

−

1

0

А=

Т1′

;

В =

1

1

−

Т2′

Т2′

kоб

Т1′ . 0

(4.56)

(4.57)

Интегрирование системы дифференциальных уравнений может быть осуществлено по методу Рунге – Кутта.

Для системы с ПИ-регулятором

ε =U − y(τ);

dx1

=

kоб

ε −

1

х

;

dτ

Т1′

Т1′

1

dx2

=

kр

x

−

1

x

2

;

dτ

T2′

1

T2′

dx3

= x2;

dτ

C0

x

=

x

+ x

;

4

2

3

kp

y(τ) = x4 (τ − τоб),

или в векторной форме

εG =U − yG(τ);

xG(τ) = AxG(τ) + BεG(τ);

xG3 = C0 xG3 + xG2; yG(τ) =kpxG4 (τ − τоб),

где

(4.58)

(4.59)

66

ФедоровА.Ф., БаженовД.А.«Системыуправления химико-технологическимипроцессами», лабораторныйпрактикум, 2009 г

		−			1			0		0			kоб
				Т1′
													Т1′
	А=		kр				−	1		0	;	В =
													0			.
		Т2′						Т2′
													0
				0				1		0

Для системы с ПИД-регулятором

ε =U − y(τ);

dx1

=

kоб

ε−

1

х

;

dτ

Т1′

Т1′

1

dx2

=

kр

x

−

1

x

;

2

dτ

T2′

1

T2′

dx3

= x2;

dτ

Т

k

C0

р

1

x4 =

x3

+ x2

д

х1

х2

+

−

;

kp

Т2′

kр Т1′

y(τ) = x4 (τ−τоб),

или в векторной форме

εG =U − yG(τ);

xG(τ) = AxG

(τ) + BεG(τ);

C0

Т

д

k

р

1

xG =

xG

+ xG

+

хG

−

хG

;

3

kp

3

2

k

Т1′

1

Т2′

2

G

р

G

y(τ) = x4 (τ−τоб),

где

1

−

0

0

kоб

Т1′

Т1′

А=

kр

−

1

0

;

В =

0

.

Т2′

Т2′

0

0

1

0

(4.60)

(4.61)

(4.62)

(4.63)

В табл. 4.1 представлены варианты исходных данных для выполнения лабораторной работы.

Таблица 4.1

67